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Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie
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Zweiter Teil
(Über die allgemeine 
Relativitätstheorie) 
Betrachtungen über die Welt als Ganzes

§ 30 Kosmologische Schwierigkeiten der NEWTONschen Theorie

Außer der im § 21 dargelegten Schwierigkeit haftet der klassischen Himmelsmechanik noch eine zweite prinzipielle Schwierigkeit an, welche meines Wissens zuerst von dem Astronomen SEELIGER ausführlich diskutiert wurde. Wenn man sich die Frage überlegt, wie die Welt als Ganzes etwa zu denken sei, so ist die nächstliegende Antwort wohl diese. Die Welt ist räumlich (und zeitlich) unendlich. Allenthalben gibt es Sterne, so daß die Dichte der Materie zwar im einzelnen sehr verschieden, aber im großen Durchschnitt überall dieselbe ist. Anders ausgedrückt: Wie weit man auch durch den Weltraum reisen mag, überall findet sich ein loses Gewimmel von Fixsternen von etwa der gleichen Art und gleichen Dichte.

Diese Auffassung ist mit der NEWTONschen Theorie unvereinbar. Letztere verlangt vielmehr, daß die Welt eine Art Mitte habe, in welcher die Dichte der Sterne eine maximale ist, und daß die Sterndichte von dieser Mitte nach außen abnehme, um weit außen einer unendlichen Leere Platz zu machen. Die Sternenwelt müßte eine endliche Insel im unendlichen Ozean des Raumes bilden.22

22Begründung. Nach der NEWTONschen Theorie enden in einer Masse m eine Anzahl ,,Kraftlinien,“ welche aus dem Unendlichen kommen, und deren Zahl der Masse m proportional ist. Ist die Dichte p0 der Masse in der Welt im Mittel konstant, so umschließt eine Kugel vom Volumen V im Durchschnitt die Masse p0V. Die Zahl der durch die Oberfläche F ins Innere der Kugel eintretenden Kraftlinien ist also proportional p0V. Durch die Oberflächeneinheit der Kugel treten also Kraftlinien ein, deren Zahl p0V/F oder p0R proportional ist. Die Feldstärke an der Oberfläche würde also mit wachsendem Kugelradius R ins Unendliche wachsen, was unmöglich ist.

Diese Vorstellung ist an sich wenig befriedigend. Sie ist es um so weniger, als man so zu der Konsequenz kommt, daß unausgesetzt das von den Sternen ausgesandte Licht sowie einzelne Sterne des Sternsystems nach dem Unendlichen fortwandern, ohne jemals wiederzukehren und ohne je wieder mit anderen Naturobjekten in Wechselwirkung zu kommen. Die Welt der im Endlichen zusammengeballten Materie müßte so allmählich systematisch verarmen.

Um diesen Konsequenzen zu entgehen, hat SEELIGER das NEWTONsche Gesetz dahin modifiziert, daß er die Anziehung zweier Massen bei großen Distanzen stärker als nach dem Gesetz 1/r2 abnehmen läßt. Dadurch wird erzielt, daß die mittlere Dichte der Materie allenthalben bis ins Unendliche konstant sein kann, ohne daß unendlich große Gravitationsfelder entstehen. Man kommt so von der unsympathischen Vorstellung los, daß die materielle Welt eine Art Mittelpunkt besitzen müsse. Freilich erkauft man diese Befreiung aus den geschilderten prinzipiellen Nöten durch eine weder aus der Erfahrung noch theoretisch begründbare Modifikation und Komplizierung des NEWTONschen Gesetzes. Beliebig viele denkbare Gesetze leisten das gleiche, ohne daß man einen Grund dafür angeben könnte, daß eines von ihnen vor den anderen zu bevorzugen wäre; denn so wenig wie das NEWTONsche Gesetz ist eines jener Gesetze in allgemeineren theoretischen Prinzipien begründet.


§ 31 Die Möglichkeit einer endlichen und doch nicht begrenzten Welt

Die Spekulationen über den Bau der Welt bewegten sich aber auch noch nach einer ganz anderen Richtung. Die Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie führte nämlich zu der Erkenntnis, daß man an der Unendlichkeit unseres Raumes zweifeln kann, ohne mit den Denkgesetzen oder mit der Erfahrung in Kollision zu geraten (RIEMANN, HELMHOLTZ). Diese Dinge sind von HELMHOLTZ und POINCARÉ bereits mit unübertrefflicher Durchsichtigkeit ausführlich klargestellt worden, während ich sie hier nur kurz berühren kann.

Wir denken uns zunächst ein zweidimensionales Geschehen. Flache Geschöpfe mit flachen Werkzeugen, insbesondere flachen starren Meßstäbchen seien in einer Ebene frei beweglich. Außerhalb dieser Ebene existiere für sie nichts, sondern es sei das Geschehen in ihrer Ebene, welches sie an sich selbst und ihren flachen Dingen beobachten, ein kausal geschlossenes. Insbesondere sind die Konstruktionen der ebenen euklidischen Geometrie mit den Stäbchen realisierbar, z. B. die in § 24 betrachtete Netzkonstruktion auf der Tischplatte. Die Welt dieser Wesen ist im Gegensatz zu der unsrigen räumlich zweidimensional, aber wie unsere Welt unendlich ausgedehnt. Unendlich viele gleiche Stäbchenquadrate haben auf ihr Platz, d.h. ihr Volumen (Fläche) ist unendlich. Es hat einen Sinn, wenn diese Wesen sagen, ihre Welt sei ,,eben“, nämlich den Sinn, daß sich mit ihren Stäbchen die Konstruktionen der euklidischen Geometrie der Ebene ausführen lassen, wobei das einzelne Stäbchen unabhängig von seiner Lage stets dieselbe Strecke repräsentiert.


Wir denken uns nun abermals ein zweidimensionales Geschehen, aber nicht auf einer Ebene, sondern auf einer Kugelfläche. Die flachen Geschöpfe mit ihren Maßstäben und sonstigen Gegenständen liegen genau in dieser Fläche und können dieselbe nicht verlassen; ihre ganze Wahrnehmungswelt erstrecke sich vielmehr ausschließlich auf die Kugeloberfläche. Können diese Geschöpfe die Geometrie ihrer Welt als zweidimensional euklidische Geometrie und dabei ihre Stäbchen als die Realisierung der ,,Strecke“ betrachten? Das können sie nicht. Denn bei dem Versuch, eine Gerade zu realisieren, werden sie eine Kurve erhalten, welche wir ,,Dreidimensionale“ als größten Kreis bezeichnen, also eine in sich geschlossene Linie von bestimmter endlicher Länge, die sich mit einem Stäbchen ausmessen läßt. Ebenso hat diese Welt eine endliche Fläche, die sich mit der eines Stäbchenquadrates vergleichen läßt. Der große Reiz, den die Versenkung in diese Überlegung bereitet, liegt in der Erkenntnis: Die Welt dieser Wesen ist endlich und hat doch keine Grenzen.


Aber die Kugelgeschöpfe brauchen keine Weltreise zu machen, um zu bemerken, daß sie in keiner euklidischen Welt wohnen. Auf jedem Stück ihrer Welt, das nicht allzu klein ist, können sie sich davon überzeugen. Sie ziehen von einem Punkt nach allen Richtungen ,,gerade Strecken“ (dreidimensional beurteilt, Kreisbögen) von gleicher Länge. Die Verbindung der freien Enden dieser Strecken werden sie als ,,Kreis“ bezeichnen. Das Verhältnis des mit einem Stäbchen gemessenen Kreisumfanges zu den mit demselben Stäbchen gemessenen Durchmesser des Radius ist nach der euklidischen Geometrie in der Ebene gleich einer Konstanten p, welche unabhängig ist vom Durchmesser des Kreises. Unsere Geschöpfe würden für dies Verhältnis auf ihrer Kugelfläche den Wert

finden, d. h. einen Wert, der kleiner ist als p, und zwar um so erheblicher, je größer der Radius des Kreises im Vergleich zum Radius R der ,,Kugelwert“ ist. Aus dieser Beziehung können die Kugelgeschöpfe den Radius R ihrer Welt bestimmen, auch wenn ihnen nur ein relativ geringer Teil ihrer Kugelwelt für ihre Messungen zur Verfügung steht. Ist aber dieser Teil allzu klein, so können sie nicht mehr konstatieren, daß sie sich auf einer Kugelwelt und nicht auf einer euklidischen Ebene befinden; ein kleines Stück einer Kugelfläche unterscheidet sich wenig von einem gleich großen Stück einer Ebene.

Wenn also die Kugelgeschöpfe auf einem Planeten wohnen, dessen Sonnensystem nur einen verschwindend kleinen Teil der Kugelwelt einnimmt, so haben sie keine Möglichkeit, darüber zu entscheiden, ob sie in einer endlichen Welt oder einer unendlichen Welt leben, weil das Stück Welt, das ihrer Erfahrung zugänglich ist, in beiden Fällen praktisch eben bzw. euklidisch ist. Die Anschauung zeigt unmittelbar, daß für unsere Kugelgeschöpfe der Kreisumfang mit dem Radius zunächst bis zum ,,Weltumfang“ wächst, um dann bei noch weiter wachsendem Radius allmählich wieder bis zu Null abzunehmen. Die Kreisfläche wächst dabei immer mehr, bis sie schließlich gleich wird der Gesamtfläche der ganzen Kugelwelt.


Vielleicht wird sich der Leser wundern, daß wir unsere Geschöpfe gerade auf eine Kugel und nicht auf eine andere geschlossene Fläche gesetzt haben. Aber dies hat seine Berechtigung, weil die Kugelfläche gegenüber allen anderen geschlossenen Flächen durch die Eigenschaft ausgezeichnet ist, daß all ihre Punkte gleichwertig sind. Das Verhältnis des Umfanges u eines Kreises zu seinem Radius r ist zwar von r abhängig, aber bei gegebenem r für alle Punkte der Kugelwelt das gleiche; die Kugelwelt ist eine ,,Fläche konstanter Krümmung“.


Es gibt zu dieser zweidimensionalen Kugelwelt ein dreidimensionales Analogon, den dreidimensionalen sphärischen Raum, welcher von RIEMANN entdeckt worden ist. Seine Punkte sind ebenfalls alle gleichwertig. Er besitzt ein endliches Volumen, welches durch seinen ,,Radius“ R bestimmt ist (2p2R3). Kann man sich einen sphärischen Raum vorstellen? Sich einen Raum vorstellen, heißt nichts anderes, als sich einen Inbegriff ,,räumlicher“ Erfahrungen vorstellen, d. h. von Erfahrungen, die man beim Bewegen ,,starrer“ Körper haben kann. In diesem Sinne ist ein sphärischer Raum vorstellbar.


Von einem Punkte aus ziehen wir Gerade (spannen wir Schnüre) nach allen Richtungen und tragen auf jeder derselben Strecke r mit dem Maßstabe auf. Alle freien Endpunkte dieser Strecken liegen auf einer Kugelfläche. Die Fläche dieser (F) können wir mit einem Maßstabquadrat besonders ausmessen. Ist die Welt euklidisch, so ist F = 4pr2; ist die Welt sphärisch, so ist F stets kleiner als 4pr2. F wächst mit wachsendem r von Null bis zu einem durch den ,,Weltradius“ bestimmten Maximum, um bei weiter wachsendem Kugelradius r allmählich wieder bis zu Null abzunehmen. Die vom Ausgangspunkt ausgehenden radialen Geraden entfernen sich zunächst immer weiter voneinander, nähern sich später wieder, um schließlich im ,,Gegenpunkte“ des Ausgangspunktes wieder zusammenzulaufen; sie haben dann den ganzen sphärischen Raum durchmessen. Man überzeugt sich leicht, daß der dreidimensionale sphärische Raum dem zweidimensionalen (Kugelfläche) völlig analog ist. Er ist endlich (d. h. von endlichem Volumen), ohne Grenzen zu haben.


Es sei bemerkt, daß es noch eine Abart des sphärischen Raumes gibt, den ,,elliptischen Raum“. Er kann als ein sphärischer Raum aufgefaßt werden, in welchem die ,,Gegenpunkte“ identisch (nicht unterscheidbar) sind. Eine elliptische Welt kann also gewissermaßen als eine zentrisch symmetrische, sphärische Welt angesehen werden.

Aus dem Gesagten ergibt sich, daß geschlossene Räume ohne Grenzen denkbar sind. Unter diesen zeichnen sich der sphärische (bzw. der elliptische) Raum durch Einfachheit aus, indem alle seine Punkte gleichwertig sind. Nach dem Gesagten erhebt sich für die Astronomen und Physiker die höchst interessante Frage, ob die Welt, in der wir leben, unendlich oder nach Art der sphärischen Welt endlich ist. Unsere Erfahrung reicht zur Beantwortung dieser Frage nicht im entferntesten aus. Die allgemeine Relativitätstheorie aber erlaubt, sie mit ziemlicher Sicherheit zu beantworten; dabei löst sich auch die im § 30 dargelegte Schwierigkeit.


§ 32 Die Struktur des Raumes
nach der allgemeinen Relativitätstheorie

Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie sind die geometrischen Eigenschaften des Raumes nicht selbständig, sondern durch die Materie bedingt. Man kann daher über die geometrische Struktur der Welt nur etwas schließen, wenn man den Zustand der Materie als bekannt der Betrachtung zugrunde legt. Wir wissen aus der Erfahrung, daß bei passend gewähltem Koordinatensystem die Geschwindigkeiten der Sterne klein sind gegenüber der Geschwindigkeit der Lichtausbreitung. Wir können deshalb die Beschaffenheit der Welt im großen in rohester Annäherung erfahren, indem wir die Materie als ruhend behandeln.

Wir wissen bereits aus früheren Überlegungen, daß das Verhalten der Maßstäbe und Uhren durch die Gravitationsfelder, d. h. durch die Verteilung der Materie beeinflußt wird. Hieraus folgt schon, daß von einer exakten Gültigkeit der euklidischen Geometrie in unserer Welt keine Rede sein kann. Aber es ist an sich denkbar, daß unsere Welt von einer euklidischen wenig abweicht, diese Auffassung liegt um so näher, als die Rechnung ergibt, daß selbst Massen von der Größe unserer Sonne die Metrik des umgebenden Raumes nur ganz minimal beeinflussen. Man könnte sich vorstellen, daß sich unsere Welt in geometrischer Hinsicht analog verhält einer im einzelnen unregelmäßig gekrümmten Fläche, die aber nirgends bedeutend von einer Ebene abweicht, wie etwa die durch schwache Wellen gekräuselte Oberfläche eines Sees. Eine derartige Welt könnten wir passend eine quasi-euklidische nennen. Sie wäre räumlich unendlich. Die Rechnung ergibt aber, daß in einer quasi-euklidischen Welt die mittlere Dichte der Materie Null sein müßte. Eine solche Welt könnte also nicht überall mit Materie bevölkert sein; sie böte das unbefriedigende Bild, das wir im § 30 entworfen haben.


Soll es aber in der Welt eine wenn auch noch so wenig von Null abweichende mittlere Dichte der Materie geben, so ist die Welt nicht quasi-euklidisch. Die Rechnung ergibt vielmehr, daß sie bei gleichmäßig verteilter Materie notwendig sphärisch (bzw. elliptisch) sein müßte. Da die Materie in Wahrheit im einzelnen ungleichmäßig verteilt ist, wird die wirkliche Welt vom sphärischen Verhalten im einzelnen abweichen, sie wird quasi-sphärisch sein. Aber sie wird notwendig endlich sein müssen. Die Theorie liefert sogar einen einfachen Zusammenhang23
zwischen der räumlichen Ausdehnung der Welt und der mittleren Dichte der Materie in derselben.

23Für den ,,Radius“ R der Welt ergibt sich nämlich die Gleichung

R2 = 2/kr.

Bei Verwendung des C-G-S-Systems ist hierbei 2/k = 1,08 ´ 1027; r ist die mittlere Dichte der Materie.




Anhang

1 Einfache Ableitung der LORENTZ-Transformation
[Ergänzung zu § 11]

Bei der in Abb. 2 angedeuteten relativen Orientierung der Koordinatensysteme fallen die X-Achsen beider Systeme dauernd zusammen. Wir können hier das Problem teilen, indem wir zunächst nur Ereignisse betrachten, die auf der X-Achse lokalisiert sind. Ein solches Ereignis ist bezüglich des Koordinatensystems K durch die Abszisse x und die Zeit t, bezuüglich K´ durch die Abszisse x´ und die Zeit t' gegeben. Gesucht sind x´ und t´, wenn x und t gegeben sind.

Ein Lichtsignal, welches längs der positiven X-Achse vorschreitet, pflanzt sich nach der Gleichung


x = ct

 
oder

x — ct = 0

(1)
fort. Da dasselbe Lichtsignal sich auch relativ zu K´ mit der Geschwindigkeit c fortpflanzen soll, so wird die Fortpflanzung relativ zu K´ durch die analoge Formel

x' — ct' = 0

(2)
beschrieben. Diejenigen Raum-Zeit-Punkte (Ereignisse), welche (1) erfüllen, müssen auch (2) erfüllen. Dies wird offenbar der Fall sein, wenn allgemein die Beziehung

(x' — ct') = l (x — ct)

(3)
erfüllt ist, wobei l eine Konstante bedeutet; denn gemäß (3) bedingt das Verschwinden von xct das Verschwinden von x'ct'.

Eine ganz analoge Betrachtung, angewandt auf längs der negativen X-Achse sich fortpflanzende Lichtstrahlen, liefert die Bedingung:

x' + ct' = m (x + ct).

(4)
Addiert bzw. subtrahiert man die Gleichungen (3) und (4), wobei man statt der Konstanten l und m bequemlichkeitshalber die Konstanten

a = (l + m) / 2
b = (lm) / 2

einführt, so erhält man

x' = ax — bct
ct' = act — bx.

(5)

Damit wäre unsere Aufgabe gelöst, wenn die Konstanten a und b bekannt wären; diese ergeben sich durch die folgenden Überlegungen.

Für den Anfangspunkt von K´ ist dauernd x´ = 0, also nach der ersten der Gleichungen (5):

Nennen wir v die Geschwindigkeit, mit welcher der Anfangspunkt von K´ relativ zu K bewegt ist, so ist also

(6)

Den gleichen Wert v erhält man aus (5), wenn man die Geschwindigkeit eines anderen Punktes von K´ relativ zu K oder die (nach der negativen X-Achse gerichtete) Geschwindigkeit eines Punktes von K gegenüber K´ berechnet. Man kann also v kurz als die Relativgeschwindigkeit beider Systeme bezeichnen.

Ferner ist nach dem Relativitätsprinzip klar, daß die von K aus beurteilte Länge eines relativ zu K´ ruhenden Einheitsmaßstabes genau dieselbe sein muß, wie die von K´ aus beurteilte Länge eines relativ zu K ruhenden Einheitsmaßstabes. Um zu sehen, wie die Punkte der X´-Achse von K aus betrachtet aussehen, brauchen wir nur eine ,,Momentaufnahme“ von K´ von K aus aufzunehmen; dieses bedeutet, daß wir für t (Zeit von K) einen bestimmten Wert, z.B. t = 0 einzusetzen haben. Für diesen erhält man aus der ersten der Gleichungen (5):


x' = ax.

Zwei Punkte der X´-Achse, welche, in K´ gemessen, den Abstand x´ = 1 haben, haben also auf unserer Momentphotographie den Abstand:

(7)

Bildet man aber die Momentphotographie von K´ aus (t' = 0), so erhalt man aus (5) durch Eliminieren von t mit Rücksicht auf (6):

Hieraus schließt man, daß zwei Punkte der X-Achse vom Abstand 1 (relativ zu K) auf unserer Momentphotographie den Abstand

(7a)

haben.

Da nach dem Gesagten die beiden Momentphotographien gleich sein müssen, muß Dx in (7) gleich sein Dx´ in (7a), so daß man erhält:

(7b)

Die Gleichungen (6) und (7b) bestimmen die Konstanten a und b. Durch Einsetzen in (5) erhält man die erste und vierte der in § 11 angegebenen Gleichungen.

(8)

Damit ist die LORENTZ-Transformation für Ereignisse auf der X-Achse gewonnen. Sie genügt der Bedingung

(8a)

Die Erweiterung dieses Resultates auf Ereignisse, die außerhalb der X-Achse stattfinden, ergibt sich, indem man die Gleichungen (8) beibehält und die Beziehungen

(9)

hinzufügt. Daß man so dem Postulat von der Konstanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit für beliebig gerichtete Lichtstrahlen sowohl für das System K als auch für das System K´ genügt, erkennt man auf folgende Weise.

Zur Zeit t = 0 werde vom Anfangspunkt von K ein Lichtsignal ausgesandt. Seine Ausbreitung geschieht nach der Gleichung:

oder, wie man durch Quadrieren dieser Gleichung findet, nach der Gleichung

(10)

Das Gesetz von der Lichtausbreitung in Verbindung mit dem Relativitätspostulat verlangt, daß die Ausbreitung des nämlichen Signals — von K´ aus beurteilt — nach der entsprechenden Formel

oder

(10a)

erfolge. Damit die Gleichung (10a) eine Folge der Gleichung (10) sei, muß sein:

(10b)

Da für Punkte auf der X-Achse die Gleichung (8a) gelten muß, muß s = 1 sein. Daß die LORENTZ-Transformation der Gleichung (11) mit s = 1 wirklich genügt, erkennt man leicht; (11) ist nämlich eine Folge von (8a) und (9), also auch von (8) und (9). Damit ist die LORENTZ-Transformation abgeleitet.
  Die durch (8) und (9) dargestellte LORENTZ-Transformation bedarf noch der Verallgemeinerung. Es ist offenbar unwesentlich, daß die Achsen von K´ denen von K räumlich parallel gewählt werden. Es ist auch unwesentlich, daß die Translationsgeschwindigkeit von K´ gegenüber K die Richtung der X-Achse hat. Man kann die LORENTZ-Transformation in diesem allgemeinen Sinne — wie eine einfache Überlegung ergibt — zusammensetzen aus zweierlei Transformationen, nämlich aus LORENTZ-Transformationen im speziellen Sinne und aus rein räumlichen Transformationen, welche der Ersetzung des rechtwinkligen Koordinatensystems durch ein neues mit anders gerichteten Achsen entsprechen.


Mathematisch läßt sich die verailgemeinerte LORENTZ-Transformation so charakterisieren: Sie drückt x´, y´, z´, t´ durch derartige lineare homogene Funktionen von x, y, z, t aus, daß die Relation

(11a)

identisch erfüllt wird. Dies will sagen: Setzt man links statt x´ usw. ihre Ausdrücke in x, y, z, t ein, so stimmt die linke Seite von (11a) mit der rechten überein.


2 MINKOWSKIs vierdimensionale Welt

(Ergänzung zu § 17)

Die verallgemeinerte LORENTZ-Transformation läßt sich noch einfacher charakterisieren, wenn man statt t als Zeitvariable die imaginäre Ö(–1) ct einführt. Setzt man demgemäß

und analog für das gestrichene System K´, so lautet die Bedingung, welche von der Transformation identisch erfüllt wird:

(12)

In diese Gleichung geht nämlich (11a) bei der angegebenen Wahl der ,,Koordinaten“ über.

Man sieht aus (12), daß die imaginäre Zeitkoordinate x4 in die Transformationsbedingung genau gleich eingeht wie die räumlichen Koordinaten x1, x2, x3. Hierauf beruht es, daß in die Naturgesetze nach der Relativitätstheorie die ,,Zeit“ x4 in derselben Form eingeht wie die räumlichen Koordinaten x1, x2, x3.


Das durch die ,,Koordinaten“ x1, x2, x3, x4 beschriebene vierdimensionale Kontinuum hat MINKOWSKI ,,Welt“ genannt, das Punktereignis ,,Weltpunkt“. Die Physik wird aus einem Geschehen im dreidimensionalen Raum gewissermaßen ein Sein in der vierdimensionalen ,,Welt“.


Diese vierdimensionale ,,Welt“ hat eine tiefgehende Ähnlichkeit mit dem dreidimensionalen ,,Raum“ der (euklidischen) analytischen Geometrie. Führt man nämlich in letztere ein neues kartesisches Koordinatensystem (x´1, x´2, x´3) ein mit demselben Anfangspunkte, so sind x´1, x´2, x´3 lineare homogene Funktionen von x1, x2, x3, welche die Gleichung

identisch erfüllen. Die Analogie mit (12) ist eine vollständige. Man kann die MINKOWSKIsche Welt formal als einen vierdimensionalen euklidischen Raum (mit imaginärer Zeitkoordinate) ansehen; die LORENTZ-Transformation entspricht einer ,,Drehung“ des Koordinatensystems in der vierdimensionalen ,,Welt“.


3 Über die Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie durch die Erfahrung

Den Prozeß des Werdens einer Erfahrungswissenschaft denkt man sich bei schematisch erkenntnistheoretischer Betrachtungsweise als einen fortgesetzten Induktionsprozeß. Die Theorien erscheinen als Zusammenfassungen einer großen Menge von Einzelerfahrungen in Erfahrungsgesetze, aus denen durch Vergleichung die allgemeinen Gesetze ermittelt werden. Die Entwicklung der Wissenschaft erscheint von diesem Standpunkt aus ähnlich einem Katalogisierungswerk, als ein Werk der bloßen Empirie.

Diese Auffassung erschöpft aber den wirklichen Prozeß keineswegs. Sie übersieht nämlich die wichtige Rolle, welche Intuition und deduktives Denken in der Entwicklung der exakten Wissenchaft spielen. Sobald nämlich eine Wissenschaft über das primitivste Stadium hinausgekommen ist, entstehen die theoretischen Fortschritte nicht mehr durch eme bloß ordnende Tätigkeit. Der Forscher entwickelt vielmehr, angeregt durch Erfahrungstatsachen, ein Gedankensystem, das logisch auf eine meist geringe Zahl von Grundannahmen, die sogenannten Axiome, aufgebaut ist. Ein solches Gedankensystem nennen wir eine Theorie. Die Theorie schöpft ihre Daseinsberechtigung daraus, daß sie eine größere Zahl von Einzelerfahrungen verknüpft; hierin liegt ihre ,,Wahrheit“.

Es kann nun zu demselben Komplex von Erfahrungstatsachen verschiedene Theorien geben, die sich sehr bedeutend voneinander unterscheiden. Die Übereinstimmung der Theorien in den der Erfahrung zugänglichen Konsequenzen kann eine so weitgehende sein, daß es schwer fällt, der Erfahrung zugängliche Konsequenzen zu finden, bezüglich weicher sich die Theorien voneinander unterscheiden. Ein solcher Fall von allgemeinem Interesse liegt beispielsweise auf dem Gebiete der Biologie vor in der DARWINschen Theorie der Entwicklung durch Zuchtwahl im Kampf ums Dasein und in derjenigen Entwicklungstheorie, die sich auf die Hypothese von der Vererbung erworbener Eigenschaften gründet.


Ein derartiger Fall von weitgehender Übereinstimmung der Konsequenzen liegt vor bei der NEWTONschen Mechanik einerseits und der allgemeinen Relativitätstheorie andererseits. Diese Übereinstimmung geht so weit, daß bisher nur wenige der Erfahrung zugängliche Folgerungen der allgemeinen Relativitätstheorie haben gefunden werden können, zu denen die frühere Physik nicht führt — trotz der tiefgehenden Verschiedenheit der Grundvoraussetzungen der Theorien. Diese wichtigen Konsequenzen wollen wir hier noch einmal betrachten und auch die bisher darüber gesammelten Erfahrungen kurz besprechen.


a) Die Perihelbewegung des Merkur

Nach der NEWTONschen Mechanik und dem NEWTONschen Gravitationsgesetz würde ein einziger um eine Sonne kreisender Planet eine Ellipse um die Sonne (bzw. genauer um den gemeinsamen Schwerpunkt von Sonne und Planet) beschreiben. Die Sonne (bzw. der gemeinsame Schwerpunkt) liegt hierbei in dem einen Brennpunkt der Bahnellipse, derart, daß der Abstand Sonne-Planet im Laufe eines Planetenjahres von emem Minimum zu einem Maximum wächst und dann wieder zu dem Minimum zurückgeht. Setzt man statt des NEWTONschen Anziehungsgesetzes ein etwas anderes in die Rechnung ein, so findet man, daß die Bewegung nach diesem Gesetz immer noch so stattfinden müßte, daß der Abstand Sonne-Planet hin und her schwankt; aber der bei einer solchen Periode [von Perihel (Sonnennähe) zu Perihel] von der Linie Sonne-Planet beschriebene Winkel würde von 360° abweichen. Die Linie der Bahn würde dann keine geschlossene sein, sondern würde im Laufe der Zeit einen ringförmigen Teil der Bahnebene (zwischen dem Kreise des kleinsten und dem Kreise des größten Planetenabstandes) ausfüllen.

Nach der allgemeinen Relativitätstheorie, welche ja von der NEWTONschen etwas abweicht, soll nun ebenfalls eine derartige kleine Abweichung von der KEPLERNEWTONschen Bahnbewegung stattfinden, derart, daß der vom Radius Sonne-Planet zwischen einem Perihel und dem folgenden beschriebene Winkel von einem vollen Umlaufswinkel (d.h. vom Winkel 2p in dem in der Physik üblichen absoluten Winkelmaße) um

abweicht. (Hierbei ist a die große Halbachse der Ellipse, e deren Exzentrizität, c die Lichtgeschwindigkeit, T die Umlaufsdauer.) Man kann dies auch so ausdrücken: Nach der allgemeinen Relativitätstheorie rotiert die große Achse der Ellipse im Sinne der Bahnbewegung um die Sonne. Diese Drehung soll nach der Theorie beim Planeten Merkur 43 Bogen-Sekunden in 100 Jahren betragen, bei den anderen Planeten unserer Sonne aber so klein sein, daß sie sich der Konstatierung entziehen muß.

Tatsächlich haben die Astronomen gefunden, daß die NEWTONsche Theorie nicht ausreicht, um die beobachtete Bewegung des Merkur mit der der heutigen Beobachtung zugänglichen Exaktheit zu berechnen. Nach Berücksichtigung aller störenden Einflüsse, welche die übrigen Planeten auf Merkur ausüben, zeigt es sich (LEVERRIER 1859 und NEWCOMB 1895), daß eine unerklärte Perihelbewegung der Merkurbahn übrig blieb, welche sich von den eben genannten + 43 Sek. pro Jahrhundert nicht merkbar unterscheidet. Die Unsicherheit dieses mit dem Ergebnis der allgemeinen Relativitätstheorie übereinstimmenden empirischen Resultats beträgt wenige Sekunden.


b) Die Lichtablenkung durch das Gravitationsfeld

In § 22 ist dargelegt, daß nach der allgemeinen Relativitätstheorie der Lichtstrahl durch ein Gravitationsfeld eine Krümmung erfahren muß, welche der Krümmung ähnlich ist, welche die Bahn eines durch das Gravitationsfeld geschleuderten Körpers erfahren muß. Ein an einem Himmelskörper vorbeigehender Lichtstrahl wird nach der Theorie nach diesem hin abgebogen; dieser Ablenkungswinkel a soll bei einem Lichtstrahl, der in einem Abstand von D Sonnenradien an diesem vorbeigeht,

[saniye=Sekunde]

betragen. Es sei hinzugefügt, daß diese Ablenkung nach der Theorie zur Hälfte durch das (NEWTONsche) Anziehungsfeld der Sonne, zur Hälfte durch die von der Sonne herrührende geometrische Modifikation (,,Krümmung“) des Raumes erzeugt wird.

Dies Ergebnis erlaubt eine experimentelle Prüfung durch photographische Sternaufnahmen während einer totalen Sonnenfinsternis. Letztere muß nur deshalb abgewartet werden, weil zu jeder anderen Zeit die durch das Sonnenlicht bestrahlte Atmosphäre so stark leuchtet, daß die sonnennahen Sterne unsichtbar sind.


Die zu erwartende Erscheinung ergibt sich leicht aus neben-stehender Abb. 4. Wäre die Sonne S nicht vorhanden, so würde man einen praktisch unendlich weiten Stern in der Richtung R1 sehen. Infolge der Ablenkung durch die Sonne sieht man ihn aber in der Richtung R2, d.h. in einer etwas größeren Entfernung von der Sonnenmitte, als der Wirklichkeit entspricht.


Abb. 4

In praxi geschieht die Prüfung in folgender Weise. Die Sterne in der Umgebung der Sonne werden bei einer Sonnenfinsternis photographiert. Es wird ferner eine zweite photographische Aufnahme derselben Sterne hergestellt, wenn die Sonne an einer anderen Stelle des Himmels ist (d.h. einige Monate später oder früher). Die bei der Sonnenfinsternis aufgenommenen Sternbilder müssen dann gegenüber der Vergleichsaufnahme radial nach außen (vom Sonnenmittelpunkt weg) verschoben sein um einen Betrag, der dem Winkel a entspricht.

Der Astronomical Royal Society verdanken wir die Prüfung dieses wichtigen Ergebnisses. Ohne sich durch den Krieg und die durch diesen geschaffenen Schwierigkeiten psychologischer Art beirren zu lassen, hat sie mehrere ihrer bedeutendsten Astronomen (EDDINGTON, GROMMELIN, DAVIDSON) ausgesandt und zwei Expeditionen ausgerüstet, um bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919 in Sobral (Brasilien) und auf der Insel Principe (Westafrika) die photographischen Aufnahmen zu machen. Die zu erwartenden relativen Abweichungen der Sonnenfinsternisaufnahmen gegenüber den Vergleichsaufnahmen betrugen nur wenige hundertstel Millimeter. Die Anforderungen, welche an die Präzision der Aufnahmen und deren Vermessung gestellt wurden, waren also keine geringen.


  Das Ergebnis der Messung bestätigte die Theorie in durchaus befriedigender Weise. Die rechtwinkligen Komponenten der beobachteten und berechneten Abweichungen der Sterne (in Bogen-Sekunden) sind in folgender Tabelle enthalten:


Nummer des Sternes 1. Koordinate 2. Koordinate
beobachtet berechnet beobachtet berechnet
11 —0,19 —0,22 +0,16 +0,02
5 —0,29 —0,31 —0,46 —0,43
4 —0,11 —0,10 +0,83 +0,74
3 —0,20 —0,12 +1,00 +0,87
6 —0,10 —0,04 +0,57 +0,40
10 —0,08 +0,09 +0,35 +0,32
2 +0,95 +0,85 —0,27 —0,09



c) Die Rotverschiebung der Spektrallinien

Im § 23 ist gezeigt, daß in einem gegen ein GALILEIsches System K rotierenden System K´ die Geschwindigkeit des Ganges ruhender gleichbeschaffener Uhren vom Orte abhängig ist. Wir wollen diese Abhängigkeit quantitativ untersuchen. Eine Uhr, die im Abstande r vom Zentrum der Scheibe angeordnet ist, hat relativ zu K die Geschwindigkeit

wenn w die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe (K´) gegenüber K bezeichnet. Bezeichnet v0 die Zahl der Schläge der Uhr pro Zeiteinheit (Ganggeschwindigkeit) relativ zu K, falls die Uhr unbewegt ist, so ist die Ganggeschwindigkeit T, der mit der Geschwindigkeit v relativ zu K bewegten, relativ zur Scheibe ruhenden Uhr gemäß § 12

oder mit hinreichender Genauigkeit

oder auch gleich

Bezeichnet man mit + F die Differenz des Potentials der Zentrifugalkraft zwischen dem Standort der Uhr und dem Scheibenmittelpunkt, d.h. die negativ genommene Arbeit, welche man entgegen der Zentrifugalkraft der Masseneinheit zuführen muß, um sie vom Standpunkt der Uhr auf der bewegten Scheibe zum Mittelpunkt zu transportieren, so ist

so daß man hat

Hieraus ersieht man zunächst, daß zwei gleichbeschaffene Uhren in verschiedenem Abstand vom Scheibenmittelpunkt verschieden rasch laufen, welches Ergebnis auch vom Standpunkt eines mit der Scheibe rotierenden Beobachters Gültigkeit hat.

Da nun von der Scheibe aus beurteilt — ein Gravitationsfeld existiert, dessen Potential F ist, so wird das gewonnene Resultat überhaupt für Gravitationsfelder gelten. Da wir ferner ein Spektrallinien emittierendes Atom als eine Uhr ansehen dürfen, so gilt der Satz:


Ein Atom absorbiert bzw. emittiert eine Frequenz, welche vom Potential des Gravitationsfeldes abhängt, in welchem es sich befindet.


Die Frequenz eines Atoms, das sich an der Oberfläche eines Himmelskörpers befindet, ist etwas kleiner als die Frequenz eines Atoms des gleichen Elementes, das sich im freien Weltraum (oder an der Oberfläche eines kleineren Weltkörpers) befindet. Da F = – KM/r ist, wobei K die NEWTONsche Gravitationskonstante, M die Masse, r den Radius des Himmelskörpers bedeutet, so müßte eine Rotverschiebung der an der Oberfläche von Sternen erzeugten Spektrallinien gegenüber den an der Erdoberfläche erzeugten Spektrallinien im Betrage

stattfinden.

Bei der Sonne beträgt die zu erwartende Rotverschiebung etwa zwei Millionstel der Wellenlänge. Bei den Fixsternen ist eine zuverlässige Berechnung nicht möglich, weil weder die Masse M noch der Radius r im allgemeinen bekannt sind.


Ob dieser Effekt tatsächlich existiert, ist eine offene Frage, an deren Beantwortung gegenwärtig von den Astronomen mit großem Eifer gearbeitet wird. Bei der Sonne ist die Existenz des Effektes wegen seiner Kleinheit schwer zu beurteilen. Während GREBE und BACHEM (Bonn) auf Grund ihrer eigenen Messungen sowie derjenigen von EVERSHED und SCHWARZSCHILD an der sogenannten Cyanbande, ebenso PEROT auf Grund eigener Beobachtungen, die Existenz des Effektes für sichergestellt erachten, sind andere Forscher, insbesondere W. H. JULIUS und S. JOHN, auf Grund ihrer Messungen der entgegengesetzten Ansicht bzw. von der Beweiskraft des bisherigen empirischen Materials nicht überzeugt.


Bei den statistischen Untersuchungen an den Fixsternen sind mittlere Linienverschiebungen nach der langwelligen Spektralseite sicher vorhanden. Aber die bisherige Bearbeitung des Materials erlaubt noch keine sichere Entscheidung darüber, ob jene Verschiebungen wirklich auf die Wirkung der Gravitation zurückzuführen sind. Eine Zusammenstellung des Beobachtungsmaterials nebst eingehender Diskussion vom Standpunkt der uns hier interessierenden Frage findet man in der Abhandlung von E. FREUNDLICH ,,Prüfung der allgemeinen Relativitätstheorie“ (Die Naturwissenschaften 1919, H. 35, S. 520. Verlag Jul. Springer, Berlin).


Jedenfalls werden die nächsten Jahre die sichere Entscheidung bringen. Wenn die Rotverschiebung der Spektrallinien durch das Gravitationspotential nicht existierte, wäre die allgemeine Relativitätstheorie unhaltbar. Andererseits wird das Studium der Linienverschiebung, wenn sein Ursprung aus dem Gravitationspotential sichergestellt sein wird, wichtige Aufschlüsse über die Massen der Himmelskörper liefern.


4 Die Struktur des Raumes im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie

Seit dem Erscheinen der ersten Auflage dieses Büchleins hat unsere Erkenntnis über die Struktur des Raumes im Großen (,,kosmologisches Problem“) eine wichtige Entwicklung erfahren, die auch in einer populären Darstellung des Gegenstandes erwähnt werden muß.

Meinen ursprünglichen Überlegungen über den Gegenstand waren zwei Hypothesen zugrunde gelegt worden:

1. Es gibt eine von 0 verschiedene mittlere Dichte der Materie im ganzen Raume, welche überall dieselbe ist.
2. Die Größe (bzw. der ,,Radius“) des Raumes ist von der Zeit unabhängig.

Diese beiden Hypothesen erwiesen sich nach der allgemeinen Relativitätstheorie als miteinander vereinbar, aber nur dann, wenn man den Feldgleichungen ein hypothetisches Glied beifügte, welches die Theorie an sich weder forderte, noch vom theoretischen Standpunkte als natürlich erschien (,,kosmologisches Glied der Feldgleichungen“).

Die Hypothese 2 schien mir damals unvermeidlich, da es mir damals erschien, daß man in uferlose Spekulationen geraten würde, wenn man von ihr abginge.


Bereits in den 20er Jahren jedoch entdeckte der russische Mathematiker FRIEDMAN, daß vom rein theoretischen Standpunkte eine abweichende Annahme natürlicher war. Er erkannte nämlich, daß es möglich war, die Hypothese 1 beizubehalten, ohne das an sich wenig natürliche kosmologische Glied in die Feldgleichungen der Gravitation einzuführen, wenn man sich dazu entschloß, die Hypothese 2 fallen zu lassen. Die ursprünglichen Feldgleichungen erlauben nämlich eine Lösung, in welcher der ,,Weltradius“ von der Zeit abhängt (expandierender Raum). In diesem Sinne kann man mit FRIEDMAN behaupten, daß die Theorie eine Expansion des Raumes verlange.


Wenige Jahre später zeigte HUBBLE durch seine spektralen Untersuchungen an extra-galaktischen Nebeln (,,Milchstraßen“), daß die von diesen ausgesandten Spektrallinien eine mit der Distanz der Nebel regelmäßig wachsende Rotverschiebung zeigen. Diese kann nach unserem gegenwärtigen Wissen im Sinne des DOPPLERschen Prinzips nur als eine Expansionsbewegung des Sternsystems im Großen gedeutet werden — wie sie nach FRIEDMANs Untersuchung von den Feldgleichungen der Gravitation gefordert wird. Die HUBBLEsche Entdeckung kann insofern also als eine Bestätigung der Theorie gedeutet werden.


Es ergibt sich aber eine merkwürdige Schwierigkeit. Die (theoretisch kaum bezweifelbare) Interpretation der von HUBBLE gefundenen galaktischen Linienverschiebungen als Expansion führt auf einen Anfang der Expansion, die ,,nur“ etwa 109 Jahre zurückliegt, während die physikalische Astronomie es wahrscheinlich erscheinen läßt, daß die Entwicklung der einzelnen Sterne und Sternsysteme erheblich größere Zeiten erforderte. Es ist gegenwärtig noch keineswegs sicher, wie diese Inkongruenzen zu überwinden sind.


Es sei auch bemerkt, daß die Theorie des expandierenden Raumes zusammen mit den empirischen Daten der Astronomie keine Entscheidung über die Endlichkeit oder Unendlichkeit des Raumes (dreidimensional) zuläßt, während die ursprüngliche statische Hypothese des Raumes die Geschlossenheit (Endlichkeit) des Raumes ergeben hatte.

 

5 Relativität und Raumproblem

Für die NEWTONsche Physik ist es charakteristisch, daß sie dem Raume und der Zeit neben der Materie unabhängige reale Existenz zuschreiben muß. Denn im NEWTONschen Bewegungsgesetz tritt der Begriff der Beschleunigung auf. Beschleunigung kann aber in dieser Theorie nur bedeuten ,,Beschleunigung gegenüber dem Raume“. Der NEWTONsche Raum muß also als ,,ruhend“, oder mindestens als ,,unbeschleunigt“ gedacht werden, daß man die Beschleunigung, die im Bewegungsgesetz auftritt, als eine sinnvolle Größe betrachten kann. Analoges gilt von der Zeit, welche ja ebenfalls in den Beschleunigungsbegriff eingeht. NEWTON selbst und seine kritischsten Zeitgenossen haben es als störend empfunden, daß man sowohl dem Raume selbst als auch dessen Bewegungszustand physikalische Realität zuschreiben mußte; aber es gab damals keinen anderen Ausweg, wenn man der Mechanik einen klaren Sinn zuschreiben wollte.

Es ist schon eine harte Zumutung, daß man dem Raum überhaupt physikalische Realität zuschreiben soll, insbesondere dem leeren Raume. Die Philosophen haben seit den ältesten Zeiten immer wieder gegen eine solche Zumutung sich gesträubt. DESCARTES argumentierte etwa so: Raum ist wesensgleich mit Ausdehnung. Ausdehnung aber ist an Körper gebunden. Also kein Raum ohne Körper, d.h. kein leerer Raum. Die Schwäche dieser Schlußweise liegt in erster Linie darin: Es ist zwar richtig, daß der Begriff Ausdehnung seine Entstehung Erfahrungen verdankt, die wir an der Lagerung (Berührung) von festen Körpern gemacht haben. Daraus kann man aber nicht folgern, daß der Begriff der Ausdehnung nicht berechtigt sei in Fällen, die nicht zur Bildung dieses Begriffes Anlaß gegeben hätten. Solche Erweiterung von Begriffen kann auch indirekt durch ihren Wert für das Begreifen von empirischen Befunden gerechtfertigt werden. Die Behauptung, Ausdehnung sei an Körper gebunden, ist daher zwar an sich unbegründet. Wir werden aber später sehen, daß die allgemeine Relativitätstheorie DESCARTES' Auffassung auf einem Umweg bestätigt. Was DESCARTES zu seiner merkwürdig anmutenden Auffassung gebracht hat, war wohl das Gefühl, daß man einem nicht ,,direkt erfahrbaren“24 Dinge wie dem Raume ohne dringende Notwendigkeit keine Realität zuschreiben dürfe.


24Dieser Ausdruck ist cum grano salis zu nehmen.

Der psychologische Ursprung des Raumbegriffes, bzw. dessen Notwendigkeit, ist gar nicht so offenbar, wie es auf Grund unserer Denkgewohnheiten erscheinen mag. Die alten Geometer handeln von gedanklichen Objekten (Gerade, Punkt, Fläche) aber nicht eigentlich vom Raum als solchem, wie es die analytische Geometrie später getan hat. Der Begriff Raum wird aber nahegelegt durch gewisse primitive Erfahrungen. Man habe eine Schachtel hergestellt. Man kann Objekte in gewisser Anordnung darin unterbringen, so daß die Schachtel voll wird. Die Möglichkeit solcher Anordnungen ist eine Eigenschaft des körperlichen Objektes Schachtel, etwas, was mit der Schachtel gegeben ist, der von der Schachtel ,,umschlossene Raum“. Dies ist etwas, was für verschiedene Schachteln verschieden ist, etwas, was ganz natürlich als unabhängig davon gedacht wird, ob jeweilen überhaupt Objekte in der Schachtel sind oder nicht. Wenn keine Objekte in der Schachtel liegen, so erscheint ihr Raum ,,leer“.

Bisher ist unser Raumbegriff an die Schachtel gebunden. Es erweist sich aber, daß die den Schachtel-Raum konstituierenden Lagerungsmöglichkeiten davon unabhängig sind, wie dick die Schachtelwände sind. Kann man diese Dicke nicht auf Null herabsinken lassen, ohne daß dabei der ,,Raum“ verlorengeht? Die Natürlichkeit eines solchen Grenzprozesses ist einleuchtend, und nun besteht für unser Denken der Raum ohne Schachtel, ein selbständiges Ding, das doch als so unwirklich erscheint, wenn man die Herkunft dieses Begriffes vergißt. Man versteht, daß es DESCARTES widerstrebt hat, den Raum als ein Ding zu betrachten, unabhängig von körperlichen Objekten, das ohne Materie existieren könne.25
(Dies hindert ihn allerdings nicht daran, den Raum als fundamentalen Begriff zu behandeln in seiner analytischen Geometrie.) Ein Hinweis auf das Vakuum im Quecksilber-Barometer hat wohl die letzten Kartesianer entwaffnet. Aber es ist nicht zu leugnen, daß schon auf dieser primitiven Stufe dem Raumbegriff bzw. dem Raum, gedacht als selbständiges reales Ding, etwas Unbefriedigendes anhaftet.

25KANTs Versuch, das Unbehagen durch Leugnung der Objektivität des Raumes abzuschaffen, kann doch kaum ernst genommen werden. Die Lagerungsmöglichkeiten, verkörpert durch den Innenraum einer Schachtel, sind in demselben Sinne objektiv wie die Schachtel selbst und die in demselben lagerbaren Objekte.

Die Arten, wie Körper in dem Raume (Schachtel) gelagert werden können, sind der Gegenstand der dreidimensionalen euklidischen Geometrie, deren axiomatischer Aufbau leicht darüber täuscht, daß sie sich auf erlebbare Situationen bezieht.

Wenn nun in der oben skizzierten Weise, anschließend an Erfahrungen über das ,,Ausfüllen“ der Schachtel, der Begriff Raum gebildet ist, so ist dies zunächst ein begrenzter Raum. Diese Begrenztheit erscheint aber unwesentlich, weil man anscheinend stets eine größere Schachtel einführen kann, welche die kleinere umschließt. Der Raum erscheint so als etwas Unbegrenztes.


Ich will nun hier nicht darüber handeln, daß die Auffassungen von der Dreidimensionalität und der ,,Euklidizität“ des Raumes auf (relativ primitive) Erfahrungen zurückgehen, sondern die Rolle des Raumbegriffes in der Entwicklung des physikalischen Denkens zunächst nach anderen Gesichtspunkten betrachten.


Wenn eine kleinere Schachtel s sich im Innern des Hohlraumes einer größeren Schachtel S in relativer Ruhe befindet, so ist der Hohlraum von s ein Teil des Hohlraumes von S, und zu beiden Schachteln gehört derselbe sie beide enthaltende ,,Raum“. Weniger einfach aber ist die Auffassung, wenn s gegenüber S in Bewegung ist. Dann ist man geneigt zu denken, s umschließe stets denselben Raum, aber einen veränderlichen Teil des Raumes S. Man ist dann genötigt, jeder Schachtel ihren besonderen (nicht als begrenzt gedachten) Raum zuzuordnen und anzunehmen, daß diese beiden Räume gegeneinander bewegt seien.


Bevor man auf diese Komplikation aufmerksam geworden ist, erscheint der Raum als ein begrenztes Medium (Behälter), in dem die körperlichen Objekte herumschwimmen. Nun aber muß man denken, daß es unendlich viele Räume gibt, die gegeneinander bewegt sind. Der Begriff Raum als ein unabhängig von den Dingen objektiv Existierendes gehört schon dem vorwissenschaftlichen Denken an, nicht aber die Idee von der Existenz einer unendlichen Zahl von gegeneinander bewegten Räumen. Diese letztere Idee ist zwar logisch unvermeidlich, spielte aber selbst im wissenschaftlichen Denken lange keine erhebliche Rolle.

Wie steht es aber mit dem psychologischen Ursprung des Zeitbegriffes? Dieser Begriff hängt unzweifelhaft zusammen mit der Tatsache des ,,Sich-Erinnerns“, sowie mit der Unterscheidung zwischen Sinnen-Erlebnissen und der Erinnerung an solche. An sich ist es fraglich, ob uns die Unterscheidung zwischen Sinnen-Erlebnis und Erinnerung (bzw. bloße Vorstellung) etwas psychologisch unmittelbar Gegebenes ist. Jeder hat erlebt, daß er im Zweifel war, ob er etwas sinnlich erlebt oder bloß geträumt hat. Wahrscheinlich kommt diese Unterscheidung erst als Akt des ordnenden Verstandes zustande.


Der ,,Erinnerung“ wird ein Erlebnis zugeordnet, welches als ,,früher“ betrachtet wird im Vergleich zu ,,gegenwärtigen Erlebnissen“. Es ist dies ein begriffliches Ordnungsprinzip für (gedachte) Erlebnisse, dessen Durchführbarkeit Anlaß gibt zu dem subjektiven Zeitbegriff, d.h. jenem Zeitbegriff, der sich auf die Ordnung der Erlebnisse des Individuums bezieht.


Objektivierung des Zeithegriffes.
Beispiel. Person A (,,ich“) hat das Erlebnis ,,es blitzt“. Person A erlebt dabei auch ein solches Verhalten der Person B, das das Verhalten von B mit dem eigenen Erlebnis ,,es blitzt“ in Beziehung bringt. So kommt es dazu, daß A dem B das Erlebnis ,,es blitzt“ zuordnet. Für Person A entsteht die Auffassung, daß an dem ,,es blitzt“ auch andere Personen teilhaben. Das ,,es blitzt“ wird nun nicht mehr als ausschließlich persönliches Erlebnis aufgefaßt, sondern als Erlebnis (oder endlich nur als ,,potentielles Erlebnis“) anderer Personen. Es entsteht so die Auffassung, daß das ,,es blitzt“, welches ursprünglich als ,,Erlebnis“ seinen Einzug in das Bewußtsein hielt, nun auch als (objektives) ,,Ereignis“ (event) aufgefaßt wird. Der Inbegriff aller Ereignisse aber ist es, was wir meinen, wenn wir von der ,,realen Außenwelt“ sprechen.


Wir haben gesehen, daß wir uns dazu bewogen fühlen, den Erlebnissen eine zeitliche Ordnung zuzuschreiben von der Art: Wenn b später als a und g später als b, so ist auch g später als a (Reihenfolge der ,,Erlebnisse“). Wie steht es nun in dieser Hinsicht mit den Ereignissen, die wir den Erlebnissen zugeordnet haben? Am nächsten liegt es offenbar anzunehmen, daß eine zeitliche Ordnung der Ereignisse existiert, die mit der zeitlichen Ordnung der Erlebnisse übereinstimmt. Dies tat man auch allgemein und unbewußt, bis sich skeptische Bedenken geltend machten.26

26Zum Beispiel kann die auf akustischem Wege erlangte zeitliche Ordnung von Erlebnissen mit der visuell gewonnenen zeitlichen Ordnung differieren, so daß man die zeitliche Ordnung der Ereignisse mit der zeitlichen Ordnung der Erlebnisse nicht einfach identifizieren kann.

Um zu einer Objektivierung der Welt zu gelangen, bedarf es noch einer zusätzlichen konstruktiven Idee: Das event ist auch im Raume lokalisiert, nicht nur in der Zeit.

Im Vorstehenden haben wir zu schildern versucht, wie die Begriffe Raum, Zeit und event mit den Erlebnissen in psychologische Beziehung gesetzt werden können. Logisch betrachtet sind es freie Schöpfungen der menschlichen Intelligenz, Werkzeuge des Denkens, die dazu dienen sollen, die Erlebnisse in Zusammenhang zu bringen und sie dadurch besser überschauen zu können. Der Versuch, sich der empirischen Quellen dieser Grundbegriffe bewußt zu werden, soll zeigen, inwieweit wir an diese Begriffe tatsächlich gebunden sind. Wir werden so unserer Freiheit bewußt, von der im Falle der Notwendigkeit einen vernünftigen Gebrauch zu machen, stets ein hartes Geschäft ist.


Zu dieser Skizze betreffend den psychologischen Ursprung der Begriffe Raum-Zeit-event (wir wollen sie kürzer ,,raumartig“ nennen im Gegensatz zu Begriffen aus der psychologischen Sphäre) haben wir noch etwas Wesentliches nachzutragen. Wir haben den Raumbegriff an Erlebnisse an Schachteln und Anordnung von körperlichen Objekten in diesen angeknüpft. Diese Begriffsbildung setzt also schon den Begriff des körperlichen Objektes voraus (z.B. ,,Schachtel“). Ebenso spielen auch die Personen, welche für die Bildung eines objektiven Zeitbegriffes eingeführt werden mußten, in diesem Zusammenhang die Rolle von körperlichen Objekten. Es scheint mir deshalb, daß unseren Begriffen von Zeit und Raum die Bildung des Begriffes des körperlichen Objektes vorausgehen muß.

Diese raumartigen Begriffe gehören alle bereits dem vorwissenschaftlichen Denken an neben Begriffen aus der psychologischen Sphäre, wie Schmerz, Ziel, Zweck usw. Für das physikalische wie überhaupt naturwissenschaftliche Denken ist es nun charakteristisch, daß es im Prinzip mit den ,,raumartigen“ Begriffen allein auszukommen trachtet und mit ihnen alle gesetzlichen Beziehungen auszudrücken strebt. Der Physiker sucht Farben und Töne auf Schwingungen zu reduzieren, der Physiologe Denken und Schmerz auf nervöse Prozesse, derart, daß das Psychische als solches aus dem Kausal-Nexus des Seienden eliminiert wird, also nirgends als selbständiges Bindeglied in den kausalen Zusammenhängen auftritt. Diese Einstellung, welche die Erfassung aller Zusammenhänge unter exklusiver Verwendung nur ,,raumartiger“ Begriffe für im Prinzip möglich betrachtet, ist es wohl, was man gegenwärtig unter ,,Materialismus“ versteht (nachdem ,,Materie“ ihre Rolle als Fundamental-begriff verloren hat).


Warum ist es nötig, die Grundbegriffe naturwissenschaftlichen Denkens aus den platonischen olympischen Gefilden herunterzuholen und zu versuchen, deren irdische Herkunft aufzudecken? Antwort: Um diese Begriffe von dem an ihnen haftenden Tabu zu befreien, und damit größere Freiheit in der Begriffsbildung zu erlangen. Diese kritische Besinnung eingeleitet zu haben, ist in erster Linie das unvergängliche Verdienst von D. HUME und E. MACH.

Die Wissenschaft hat die Begriffe Raum, Zeit, körperliches Objekt (mit dem wichtigen Spezialfall ,,fester Körper“) aus dem vorwissenschaftlichen Denken übernommen, präzisiert und modifiziert. Ihre erste bedeutende Leistung war die Entwicklung der euklidischen Geometrie. Deren axiomatische Formulierung darf uns nicht über deren empirischen Ursprung (Lagerungsmöglichkeiten fester Körper) hinwegtäuschen. Empirischen Ursprungs ist im besonderen auch die Dreidimensionalität des Raumes sowie dessen euklidischer Charakter (er läßt sich lückenlos durch gleichbeschaffene ,,Kuben“ ausfüllen).


Die Subtilität des Raumbegriffes wurde erhöht durch die Entdeckung, daß es keine völlig starren Körper gibt. Alle Körper sind elastisch deformierbar und ändern ihr Volumen bei Temperaturänderung. Die Gebilde, deren mögliche Lagerungen durch die euklidische Geometrie beschrieben werden sollen, lassen sich deshalb nicht losgelöst von dem Inhalte der Physik angeben. Da aber die Physik bei Festlegung ihrer Begriffe schon von der Geometrie Gebrauch machen muß, so läßt sich der empirische Gehalt der Geometrie nur im Rahmen der gesamten Physik angeben und prüfen.


In diesem Zusammenhange muß auch der Atomistik gedacht werden und ihrer Auffassung der endlichen Teilbarkeit. Denn Räume subatomistischer Ausdehnung lassen sich nicht ausmessen. Auch zwingt die Atomistik dazu, die Idee scharf und statisch definierter Begrenzungsflächen fester Körper im Prinzip aufzugeben. Dann gibt es strenggenommen keine selbständigen Gesetze für die Lagerungsmöglichkeiten fester Körper, selbst nicht im Makrogebiet.


Trotzdem dachte niemand daran, den Raumbegriff aufzugeben; denn er schien unentbehrlich in dem vortrefflich sich bewährenden Gesamtsystem der Naturwissenschaft. MACH war im 19. Jahrhundert der einzige, der ernsthaft an eine Elimination des Raumbegriffes dachte, indem er ihn durch den Begriff der Gesamtheit der gegenwärtigen Distanzen aller materiellen Punkte zu ersetzen suchte. (Er machte diesen Versuch, um zu einer befriedigenden Auffassung der Trägheit zu gelangen.)


Das Feld.
In der NEWTONschen Mechanik spielen Raum und Zeit eine doppelte Rolle. Erstens als Träger bzw. Rahmen für das physikalische Geschehen, in bezug auf welchen die Ereignisse durch die Raum-Koordinaten und die Zeit beschrieben werden. Die Materie wird im Prinzip als aus ,,materiellen Punkten“ bestehend gesucht, deren Bewegungen das physikalische Geschehen ausmachen. Wenn die Materie als kontinuierlich gedacht wird, so geschieht dies gewissermaßen als provisorisch in solchen Fällen, in denen man die diskrete Struktur nicht beschreiben will oder kann. In diesem Falle werden kleine Teile (Volumelemente) der Materie ähnlich behandelt wie materielle Punkte, wenigstens soweit es sich bloß um Bewegungen handelt und nicht um Vorgänge, deren Zurückführung auf Bewegungen einstweilen nicht möglich oder nicht zweckmäßig war (z.B. Temperaturänderungen, chemische Vorgänge). Die zweite Rolle von Raum und Zeit war die als ,,Inertialsystem“. Inertialsysteme waren von allen denkbaren Bezugssystemen dadurch bevorzugt gedacht, daß in bezug auf sie der Trägheitssatz Gültigkeit beanspruchte.


Das Wesentliche ist dabei, daß das unabhängig von den erlebenden Subjekten gedachte ,,physikalisch Reale“ als aus Raum und Zeit einerseits und aus, mit Bezug auf diese, bewegten dauernd existierenden materiellen Punkten andererseits aufgefaßt wurde — wenigstens im Prinzip. Die Idee der unabhängigen Existenz von Raum und Zeit kann man drastisch so aussprechen: Wenn die Materie verschwände, so würden Raum und Zeit allein übrig bleiben (als eine Art Bühne für physikalisches Geschehen).


Die Überwindung dieses Standpunktes hat sich aus einer Entwicklung ergeben, die zunächst mit dem Raum-Zeit-Problem nichts zu tun zu haben schien — das Auftreten des Feldbegriffes und dessen schließlichen Anspruch, den Partikelbegriff (materiellen Punkt) im Prinzip zu ersetzen. Im Rahmen der klassischen Physik stellte sich der Feldbegriff als Hilfsbegriff ein, in Fällen, in denen man die Materie als Kontinuum behandelte. Bei der Betrachtung der Wärme-leitung in einem festen Körper z.B. wird der Zustand dadurch beschrieben, daß in jedem Punkte des Körpers für jede bestimmte Zeit die Temperatur angegeben wird. Mathematisch bedeutet dies: die Temperatur T wird als mathematischer Ausdruck (Funktion) der räumlichen Koordination mit der Zeit t dargestellt (Temperatur-feld). Das Gesetz der Wärmeleitung wird als eine lokale Beziehung (Differentialgleichung) dargestellt, welche alle Sonderfälle der Wärmeleitung umfaßt. Die Temperatur ist hier ein einfaches Beispiel für den Begriff des Feldes. Es ist dies eine Größe (oder ein Komplex von Größen), welche Funktion der Koordinaten und der Zeit ist. Ein anderes Beispiel ist die Beschreibung der Bewegung einer Flüssigkeit. In jedem Punkte gibt es zu jeder Zeit eine Geschwindigkeit, die durch ihre drei ,,Komponenten“ in bezug auf die Achsen eines Koordinatensystems quantitativ beschrieben wird (Vektor). Die Komponenten der Geschwindigkeit in einem Punkte (Feldkomponenten) sind auch hier Funktionen von Koordinaten (x y z) und Zeit (t).


Für die genannten Felder ist es charakteristisch, daß sie nur im Innern einer ponderablen Masse auftreten; sie wollen nur einen Zustand dieser Materie beschreiben. Wo keine Materie vorhanden war, da konnte — gemäß der Entstehungsgeschichte des Feldbegriffes — auch kein Feld existieren. Nun zeigte es sich aber im ersten Viertel des 19. Jahrhunderts, daß die Interferenz- und Beugungserscheinungen des Lichtes sich mit erstaunlicher Schärfe erklären ließen, wenn man das Licht als ein Wellenfeld auffaßte, das dem mechanischen Schwingungsfelde in einem elastischen festen Körper völlig analog war. So fühlte man sich dazu genötigt, ein Feld einzuführen, das auch in der Abwesenheit ponderabler Materie im leeren Raume existieren konnte.


Diese Sachlage schuf eine paradoxe Situation, weil der Feldbegriff gemäß seinem Ursprung darauf beschränkt schien, Zustände im Innern eines ponderablen Körpers zu beschreiben. Dies schien um so sicherer zu sein, als man davon überzeugt war, daß jegliches Feld als mechanisch interpretierbarer Zustand aufzufassen sei, was die Anwesenheit von Materie voraussetzte. So fühlte man sich gezwungen, auch in dem bisher als leer aufgefaßten Raume überall die Existenz einer Materie anzunehmen, die man ,,Äther“ nannte.


Die Emanzipation des Feldbegriffes von der Annahme der Setzung eines materiellen Trägers gehört zu den psychologisch interessantesten Vorgängen in der Entwicklung des physikalischen Denkens. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde es im Anschluß an FARADAYs und MAXWELLs Forschungen immer klarer, daß die feldartige Beschreibung der elektromagnetischen Vorgänge einer Behandlung auf der Basis punktmechanischer Begriffe weit überlegen war. Durch die Einführung des Feldbegriffes in die Elektrodynamik gelang es MAXWELL, die Existenz elektromagnetischer Wellen vorauszusagen, deren prinzipielle Identität mit den Lichtwellen schon wegen der Gleichheit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit nicht zu bezweifeln war. Dadurch wurde die Optik im Prinzip von der Elektrodynamik absorbiert. Eine psychologische Wirkung dieses gewaltigen Erfolges war die, daß der Feldbegriff gegenüber dem mechanistischen Rahmen der klassischen Physik allmählich größere Selbständigkeit gewann.


Aber dennoch war zunächst als selbstverständlich angenommen, daß die elektromagnetischen Felder als Zustände des Äthers gedeutet werden müssen, und man suchte mit großem Eifer diese Zustände als mechanische zu erklären. Erst als diese Bemühungen stets scheiterten, gewöhnte man sich langsam daran, auf solche mechanische Interpretation zu verzichten. Immer noch haftete jedoch die Überzeugung, daß die elektromagnetischen Felder Zustände des Äthers seien; so stand es um die Jahrhundertwende.


Die Äthertheorie brachte die Frage mit sich: Wie verhält sich der Äther in mechanischer Beziehung zu den ponderablen Körpern? Nimmt er an den Bewegungen der Körper teil oder ruhen seine Teile relativ zueinander? Viele geistreiche Experimente wurden zur Entscheidung dieser Frage unternommen. Als in diesem Zusammenhange wichtige Tatsachen kamen auch in Betracht die Aberration der Fixsterne infolge der jährlichen Bewegung der Erde sowie der ,,DOPPLER-Effekt“ (Einfluß der Relativbewegung der Fixsterne auf die Frequenz des zu uns gelangenden Lichtes von bekannter Emissionsfrequenz). Die Ergebnisse dieser Tatsachen und Experimente (bis auf eines, das MICHELSON-MORLEY-Experiment) erklärte H. A. LORENTZ unter der Annahme, daß der Äther an den Bewegungen der ponderablen Körper nicht teilnimmt, und daß die Teile des Äthers überhaupt keine Relativbewegungen zueinander haben. Der Äther erschien so gewissermaßen als die Verkörperung eines absolut ruhenden Raumes. Die LORENTZsche Untersuchung leistete aber noch mehr. Sie erklärte die damals bekannten elektromagnetischen und optischen Vorgänge im Innern ponderabler Körper unter der Annahme, daß der Einfluß der ponderablen Materie auf das elektrische Feld (und umgekehrt) nur darauf zurückzuführen sei, daß die Teilchen der Materie elektrische Ladungen tragen, die an der Bewegung der Teilchen teilnehmen. Betreffend den Versuch von MICHELSON und MORLEY zeigte H. A. LORENTZ, daß dessen Ergebnis wenigstens nicht im Widerspruch sei mit der Theorie des ruhenden Äthers.


Trotz aller dieser schönen Erfolge war der Stand der Theorie doch nicht voll befriedigend, und zwar aus folgendem Grunde. Die klassische Mechanik, von der doch nicht bezweifelt werden konnte, daß sie mit großer Näherung gilt, lehrt die Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme (bzw. Intertialräume) für die Formulierung der Naturgesetze (Invarianz der Naturgesetze in bezug auf den Übergang von einem Inertialsystem auf ein anderes). Die elektromagnetischen und optischen Experimente lehrten dasselbe mit erheblicher Genauigkeit. Aber das Fundament der elektromagnetischen Theorie lehrte die Bevorzugung eines besonderen Inertialsystems, nämlich das des ruhenden Lichtäthers. Diese Auffassung des theoretischen Fundamentes war gar zu unbefriedigend. Gab es keine Modifikation des letzteren, welche — wie die klassische Mechanik — der Gleichwertigkeit der Inertialsysteme (spezielles Relativitätsprinzip) gerecht wird?

Die Antwort auf diese Frage ist die spezielle Relativitätstheorie. Diese übernimmt von der MAXWELL-LORENTZschen Theorie die Voraussetzung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum. Um diese mit der Gleichwertigkeit der Inertialsysteme (spezielles Relativitätsprinzip) in Einklang zu bringen, muß der absolute Charakter der Gleichzeitigkeit aufgegeben werden; außerdem folgen die LORENTZ-Transformationen für die Zeit und die Raum-Koordinaten für den Übergang von einem Inertialsystem zu einem andern. Der ganze Inhalt der speziellen Relativitätstheorie ist in dem Postulat eingeschlossen: Die Naturgesetze sind invariant in bezug auf die LORENTZ-Transformationen. Das Wichtige dieser Forderung liegt darin, daß sie die möglichen Naturgesetze in bestimmter Weise einschränkt.


Wie steht die spezielle Relativitätstheorie zum Raumproblem? Zuerst muß man sich vor der Meinung hüten, daß die Vierdimensionalität der Realität durch diese Theorie erst neu eingeführt worden sei. Auch in der klassischen Mechanik ist das Ereignis (event) durch vier Zahlen lokalisiert, nämlich durch drei räumliche Koordinaten und eine zeitliche Koordinate; die Gesamtheit der physikalischen ,,events“ ist also als in eine vierdimensionale kontinuierliche Mannigfaltigkeit eingebettet gedacht. Aber gemäß der klassischen Mechanik zerfällt dieses vierdimensionale Kontinuum objektiv in die eindimensionale Zeit und in dreidimensionale räumliche Schnitte, welch letztere nur gleichzeitige events enthalten. Dieser Zerfall ist für alle Inertialsysteme derselbe. Die Gleichzeitigkeit zweier bestimmter events in bezug auf ein Inertialsystem involviert die Gleichzeitigkeit dieser events in bezug auf alle Inertialsysteme. Dies ist gemeint, wenn man sagt, die Zeit der klassischen Mechanik ist absolut. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist es anders. Der Inbegriff der events, welche mit einem ins Auge gefaßten event gleichzeitig sind, existiert zwar in bezug auf ein bestimmtes Inertialsystem, aber nicht mehr unabhängig von der Wahl des Inertialsystems. Das vierdimensionale Kontinuum zerfällt nun nicht mehr objektiv in Schnitte, welche alle gleichzeitigen events enthalten; das ,,Jetzt“ verliert für die räumlich ausgedehnte Welt seine objektive Bedeutung. Damit hängt es zusammen, daß man Raum und Zeit objektiv unauflösbar als vierdimensionales Kontinuum auffassen muß, wenn man den Inhalt der objektiven Beziehungen ohne entbehrliche konventionelle Willkür ausdrücken will.


Indem die spezielle Relativitätstheorie die physikalische Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme aufzeigte, erwies sie die Unhaltbarkeit der Hypothese des ruhenden Äthers. Man mußte daher auf die Idee verzichten, daß das elektromagnetische Feld als Zustand eines materiellen Trägers aufzufassen sei. Das Feld wird damit zu einem irreduziblen Element der physikalischen Beschreibung, irreduzibel in demselben Sinne wie der Begriff der Materie in der NEWTONschen Theorie.


Bis hierher haben wir unsere Aufmerksamkeit darauf gerichtet, inwiefern die Begriffe Raum und Zeit durch die spezielle Relativitätstheorie modifiziert wurden. Nun aber wollen wir jene Elemente ins Auge fassen, welche diese Theorie von der klassischen Mechanik genommen haben. Auch hier beanspruchen die Naturgesetze nur dann Geltung, wenn der raum-zeitlichen Beschreibung ein Inertialsystem zugrunde gelegt wird. Nur in bezug auf ein Inertialsystem soll das Trägheitsprinzip und das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gelten. Auch die Feldgesetze beanspruchen Sinn und Geltung nur in bezug auf Inertialsysteme. Wie in der klassischen Mechanik ist also auch hier der Raum eine selbständige Komponente der Darstellung des physikalischen Realen. Der (Inertial-)Raum — oder genauer gesagt, dieser Raum zusammen mit der zugehörigen Zeit — bleibt übrig, wenn man Materie und Feld weggenommen denkt. Dies vierdimensionale Gebilde (MINKOWSKI-Raum) ist als Träger der Materie und des Feldes gedacht. Die Inertialräume mit ihren zugehörigen Zeiten sind nur privilegierte vierdimensionale Koordinatensysteme, die miteinander durch die linearen LORENTZ-Transformationen verknüpft sind. Da es in diesem vierdimensionalen Gebilde keine Schnitte mehr gibt, welche das ,,Jetzt“ objektiv repräsentieren, wird der Begriff des Geschehens und Werdens zwar nicht völlig aufgehoben, aber doch kompliziert. Es erscheint deshalb natürlicher, das physikalisch Reale als ein vierdimensionales Sein zu denken statt wie bisher als das Werden eines dreidimensionalen Seins.


Dieser starre vierdimensionale Raum der speziellen Relativitätstheorie ist gewissermaßen ein vierdimensionales Analogon des H. A. LORENTZschen starren dreidimensionalen Äthers. Auch für diese Theorie gilt die Aussage: Die Beschreibung der physikalischen Zustände setzt den Raum als von vornherein gegeben und als unabhängig existierend voraus. Auch diese Theorie beseitigt also nicht DESCARTES' Unbehagen betreffend die selbständige, ja sogar A-priori-Existenz des ,,leeren Raumes“. Inwiefern dieses Bedenken durch die allgemeine Relativitätstheorie überwunden wird, dies zu zeigen, ist das eigentliche Ziel der hier gegebenen elementaren Überlegungen.


Der Raumbegriff in der allgemeinen Relativitätstheorie.
Diese Theorie ist in erster Linie aus der Bestrebung hervorgegangen, die Gleichheit der trägen und schweren Masse zu begreifen. Man geht aus von einem Inertialsystem S1, dessen Raum physikalisch leer ist. Das heißt, es existiere in dem ins Auge gefaßten Teil des Raumes weder Materie (im üblichen Sinne) noch ein Feld im Sinne der speziellen Relativitätstheorie. Mit Bezug auf S1 sei ein zweites Bezugssystem S2 gleichförmig beschleunigt. S2 ist dann also kein Inertialsystem. In bezug auf S2 würde sich jede Probemasse beschleunigt bewegen, und zwar unabhängig von ihrer physikalischen und chemischen Beschaffenheit. In bezug auf S2 besteht also ein Zustand, den man — wenigstens in erster Näherung — von einem Gravitationsfelde nicht unterscheiden kann. Mit dem wahrnehmbaren Tatbestand ist also die Auffassung vereinbar: Auch S2 ist gleichwertig mit einem ,,Inertialsystem“; es ist aber in bezug auf S2 ein (homogenes) Gravitationsfeld vorhanden (um dessen Ursprung man sich in diesem Zusammenhang nicht kümmert). Wenn man also das Gravitationsfeld in den Rahmen der Betrachtung einbezieht, so verliert das Inertialsystem seine objektive Bedeutung, vorausgesetzt, daß dieses ,,Äquivalenzprinzip“ auf beliebige Relativbewegung der Bezugssysteme ausgedehnt werden kann. Wenn es möglich ist, auf diesen Grundgedanken eine konsistente Theorie zu gründen, so genügt sie von selbst der empirisch stark begründeten Tatsache der Gleichheit der trägen und schweren Masse.


Vierdimensional betrachtet entspricht dem Übergang von S1 zu S2 eine nichtlineare Transformation der vier Koordinaten. Es entsteht nun die Frage: Was für nichtlineare Transformationen soll man zulassen bzw. wie ist die LORENTZ-Transformation zu verallgemeinern? Für die Beantwortung dieser Frage ist folgende Überlegung maßgebend.


Dem Inertialsystem der früheren Theorien wird die Eigenschaft zugeschrieben: Koordinatendifferenzen werden durch (ruhende) ,,starre“ Maßstäbe gemessen. Zeitdifferenzen durch (ruhende) Uhren. Die erste Annahme wird ergänzt durch die Annahme, daß für die relativen Lagerungsmöglichkeiten ruhender Maßstäbe die Sätze der ,,Strecken“ der euklidischen Geometrie gelten. Aus den Ergebnissen der speziellen Relativitätstheorie folgert man dann durch elementare Betrachtungen, daß diese unmittelbare physikalische Deutung der Koordinaten für relative zu Inertialsystemen (S1) beschleunigte Bezugssysteme (S2) verlorengeht. Ist dies aber der Fall, so drücken die Koordinaten nur mehr die Ordnung des ,,Nebeneinander“ (und damit auch den Dimensionsgrad des Raumes) aus, aber keine metrischen Eigenschaften des Raumes. Man kommt so dazu, die Transformationen auf beliebige stetige Transformationen27

auszudehnen. Dies impliziert das allgemeine Relativitätsprinzip. Die Naturgesetze müssen kovariant sein in bezug auf beliebige kontinuierliche Transformationen der Koordinaten. Diese Forderung (in Verbindung mit der Forderung möglichster logischer Einfachheit der Gesetze) schränkt die in Betracht kommenden Naturgesetze unvergleichlich stärker ein als das spezielle Relativitätsprinzip.

27Diese nicht exakte Ausdrucksweise mag hier genügen.

Dieser Gedankengang ist wesentlich auf das Feld als selbständigen Begriff gegründet. Denn die in bezug auf (S2) obwaltenden Verhältnisse werden als Gravitationsfeld gedeutet, ohne daß die Frage nach der Existenz von Massen aufgeworfen wird, welche dieses Feld erzeugen. Dieser Gedankengang läßt es auch begreifen, warum die Gesetze des reinen Gravitationsfeldes unmittelbarer mit der Idee der allgemeinen Relativität verknüpft sind als die Gesetze für die Felder allgemeiner Art (wenn z.B. ein elektromagnetisches Feld vorhanden ist). Wir haben nämlich guten Grund zu der Annahme, daß der ,,feldfreie“ MINKOWSKI-Raum einen naturgesetzlich möglichen Sonderfall darstellt, und zwar den denkbar einfachsten Sonderfall. Ein solcher Raum ist bezüglich seiner metrischen Eigenschaft dadurch charakterisiert, dx12 + dx22 + dx32 das Quadrat des mit einem Einheitsmaß gemessenen räumlichen Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Punkte eines dreidimensionalen raumartigen Querschnittes ist (PYTHAGOREIScher Satz), während dx4 der mit geeignetem Zeitmaß gemessene zeitliche Abstand zweier Ereignisse mit gemeinsamen (x1, x2, x3) ist. Dies zusammen kommt — wie mit Hilfe der LORENTZ-Transformationen leicht zu zeigen ist — darauf hinaus, daß der Größe

(1)

eine objektive metrische Bedeutung zukommt. Mathematisch entspricht dieser Tatsache der Umstand, daß ds2 in bezug auf LORENTZ-Transformationen invariant ist.

Unterwirft man nun diesen Raum im Sinne des allgemeinen Relativitätsprinzips einer beliebigen stetigen Transformation der Koordinaten, so drückt sich die objektiv sinnvolle Größe im neuen Koordinatensystem durch die Beziehung aus

(1a)

wobei über die Indices i und k über alle Kombinationen 11,12, ... bis 44 zu summieren ist. Die gik sind aber nun nicht Konstante, sondern Funktionen der Koordinaten, welche durch die willkürlich gewählte Transformation bestimmt sind. Trotzdem sind die gik nicht willkürliche Funktionen der neuen Koordinaten, sondern eben solche Funktionen, daß die Form (1a) durch eine stetige Transformation der vier Koordinaten wieder in die Form (1) zurücktransformiert werden kann. Damit dies möglich sei, müssen die Funktionen gik gewisse allgemein kovariante Bedingungsgleichungen erfüllen, welche B. RIEMANN mehr als ein halbes Jahrhundert vor Aufstellung der allgemeinen Relativitätstheorie abgeleitet hat (,,RIEMANN-Bedingung“). Nach dem Äquivalenzprinzip beschreibt (1a) in allgemein kovarianter Form ein Gravitationsfeld spezieller Art, wenn die gik die RIEMANN-Bedingung erfüllen.

Das Gesetz für das reine Gravitationsfeld allgemeiner Art muß also folgende Bedingungen erfüllen. Es muß erfüllt sein, wenn die RIEMANN-Bedingung erfüllt ist; es muß aber schwächer sein, also weniger einschränken, als die RIEMANN-Bedingung. Dadurch ist das Feldgesetz der reinen Gravitation praktisch vollständig bestimmt, was hier nicht näher begründet werden soll.


Nun sind wir vorbereitet zu sehen, inwiefern der Übergang zur allgemeinen Relativitätstheorie den Raumbegriff modifiziert. Gemäß der klassischen Mechanik und gemäß der speziellen Relativitätstheorie hat der Raum (Raum — Zeit) eine selbständige Existenz gegenüber Materie bzw. Feld. Um das Raum-Erfüllende, von den Koordinaten Abhängige, überhaupt beschreiben zu können, muß Raum-Zeit bzw. das Inertialsystem mit seinen metrischen Eigenschaften schon von vornherein als vorhanden gedacht werden, weil sonst die Beschreibung des ,,Raum-Erfüllenden“ nicht sinnvoll wäre.28
Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen hat der Raum gegenüber dem ,,Raum-Erfüllenden“, von den Koordinaten Abhängigen, keine Sonderexistenz. Man habe z.B. ein reines Gravitationsfeld durch die gik (als Funktionen der Koordinaten) beschrieben durch Lösung der Gravitationsgleichungen. Wenn man das Gravitationsfeld, d.h. die Funktionen gik weggenommen denkt, so bleibt nicht etwa ein Raum vom Typus (1), sondern überhaupt nichts übrig, auch kein ,,topologischer Raum“. Denn die Funktionen gik beschreiben nicht nur das Feld, sondern gleichzeitig auch die topologische und metrische Struktur-Eigenschaften der Mannigfaltigkeit. Ein Raum vom Typus (1) ist im Sinne der allgemeinen Relativitätstheorie nicht etwa ein Raum ohne Feld, sondern ein Spezialfall des gik-Feldes, für welchen die gik (für das verwendete Koordinatensystem, das an sich keine objektive Bedeutung hat) Werte haben, die nicht von den Koordinaten abhängen; einen leeren Raum, d.h. einen Raum ohne Feld, gibt es nicht.

28Denkt man das Raum-Erfüllende (z.B. das Feld) weggenommen, so bleibt immer noch der metrische Raum gemäß (1) übrig, der auch für das Trägheits-Verhalten eines in ihn gebrachten Probekörpers bestimmend wäre.

DESCARTES hatte demnach nicht so unrecht, wenn er die Existenz eines leeren Raumes ausschließen zu müssen glaubte. Die Meinung erscheint zwar absurd, solange man das physikalische Reale ausschließlich in den ponderablen Körpern sieht. Erst die Idee des Feldes als Darsteller des Realen in Verbindung mit dem allgemeinen Relativitätsprinzip zeigt den wahren Kern von DESCARTES' Idee: es gibt keinen ,,feld-leeren“ Raum.

Verallgemeinerte Gravitationstheorie.
Die Theorie des reinen Gravitationsfeldes auf dem Boden der allgemeinen Relativitätstheorie ist darum leicht zugänglich, weil wir darauf vertrauen dürfen, daß der ,,feldfreie“ MINKOWSKI-Raum mit der Metrik gemäß (1) den allgemeinen Feldgesetzen entsprechen muß. Aus diesem Sonderfall folgt das Gravitationsgesetz durch eine so gut wie keine Willkür enthaltende Verallgemeinerung. Die weitere Entwicklung der Theorie ist durch das allgemeine Relativitatsprinzip nicht so eindeutig bestimmt; sie ist in den letzten Jahrzehnten in verschiedenen Richtungen versucht worden. Allen diesen Versuchen gemeinsam ist es, das Physikalisch-Reale als Feld aufzufassen, wobei dies Feld eine Verallgemeinerung des Gravitationsfeldes, das Feldgesetz eine Verallgemeinerung des Gesetzes für das reine Gravitationsfeld ist. Ich glaube nun, nach langem Tasten die natürlichste Form für diese Verallgemeinerung gefunden zu haben,29
war aber bisher nicht imstande herauszufinden, ob dies verallgemeinerte Gesetz den Erfahrungstatsachen gegenüber standhält.

29Die Verallgemeinerung kann man wie folgt charakterisieren. Das reine Gravitationsfeld der gik hat gemäß seiner Herleitung aus dem leeren ,,MINKOW5KI-Raum“ die Symmetrie-Eigenschaft gik = gki (g12 = g21 usw.). Das verallgemeinerte Feld ist von derselben Art, aber ohne die genannte Symmetrie-Eigenschaft. Die Ableitung des Feldgesetzes ist der des Spezialfalles der reinen Gravitation völlig analog.

Für die vorstehende allgemeine Betrachtung ist die Frage nach dem besonderen Feldgesetz sekundär. Die Hauptfrage ist gegenwärtig, ob eine Feldtheorie von der hier ins Auge gefaßten Art überhaupt zum Ziele führen kann. Es ist damit eine Theorie gemeint, welche das Physikalisch-Reale (mit Einschluß des vierdimensionalen Raumes) durch ein Feld erschöpfend beschreibt. Die gegenwärtige Physiker-Generation ist geneigt, diese Frage mit Nein zu beantworten; sie glaubt im Anschluß an die gegenwärtige Form der Quantentheorie, daß der Zustand eines Systems nicht direkt, sondern nur indirekt durch Angabe der Statistik der an dem System erzielbaren Meßresultate charakterisiert werden kann; es ist die Überzeugung vorherrschend, daß die experimentell gesicherte Doppelnatur (Korpuskulare und Wellenstruktur) nur durch solche Abschwächung des Realitätsbegriffes erzielbar sei. Ich denke, daß ein so weitgehender theoretischer Verzicht durch unser tatsächliches Wissen einstweilen nicht begründet ist und daß man sich nicht davon abhalten lassen soll, den Weg der relativistischen Feldtheorie zu Ende zu denken.


Notes

22Begründung. Nach der NEWTONschen Theorie enden in einer Masse m eine Anzahl ,,Kraftlinien,“ welche aus dem Unendlichen kommen, und deren Zahl der Masse m proportional ist. Ist die Dichte p0 der Masse in der Welt im Mittel konstant, so umschließt eine Kugel vom Volumen V im Durchschnitt die Masse p0V. Die Zahl der durch die Oberfläche F ins Innere der Kugel eintretenden Kraftlinien ist also proportional p0V. Durch die Oberflächeneinheit der Kugel treten also Kraftlinien ein, deren Zahl p0V/F oder p0R proportional ist. Die Feldstärke an der Oberfläche würde also mit wachsendem Kugelradius R ins Unendliche wachsen, was unmöglich ist. Back

23Für den ,,Radius“ R der Welt ergibt sich nämlich die Gleichung
  R2 = 2/kr.
Bei Verwendung des C-G-S-Systems ist hierbei 2/k = 1,08 ´ 1027; r ist die mittlere Dichte der Materie. Back

24Dieser Ausdruck ist cum grano salis zu nehmen. Back

25KANTs Versuch, das Unbehagen durch Leugnung der Objektivität des Raumes abzuschaffen, kann doch kaum ernst genommen werden. Die Lagerungsmöglichkeiten, verkörpert durch den Innenraum einer Schachtel, sind in demselben Sinne objektiv wie die Schachtel selbst und die in demselben lagerbaren Objekte. Back

26Zum Beispiel kann die auf akustischem Wege erlangte zeitliche Ordnung von Erlebnissen mit der visuell gewonnenen zeitlichen Ordnung differieren, so daß man die zeitliche Ordnung der Ereignisse mit der zeitlichen Ordnung der Erlebnisse nicht einfach identifizieren kann. Back

27Diese nicht exakte Ausdrucksweise mag hier genügen. Back

28Denkt man das Raum-Erfüllende (z.B. das Feld) weggenommen, so bleibt immer noch der metrische Raum gemäß (1) übrig, der auch für das Trägheits-Verhalten eines in ihn gebrachten Probekörpers bestimmend wäre. Back

29Die Verallgemeinerung kann man wie folgt charakterisieren. Das reine Gravitationsfeld der gik hat gemäß seiner Herleitung aus dem leeren ,,MINKOW5KI-Raum“ die Symmetrie-Eigenschaft gik = gki (g12 = g21 usw.). Das verallgemeinerte Feld ist von derselben Art, aber ohne die genannte Symmetrie-Eigenschaft. Die Ableitung des Feldgesetzes ist der des Spezialfalles der reinen Gravitation völlig analog. Back
 
 


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