§ 13 Additionstheorem der Geschwindigkeiten — FIZEAUscher Versuch

Da wir Uhren und Maßstäbe in praxi nur mit Geschwindigkeiten bewegen können, die klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit c, so werden die Ergebnisse des vorigen Paragraphen kaum direkt mit der Wirklichkeit verglichen werden können. Da dieselben andererseits dem Leser recht sonderbar vorkommen werden, so will ich nun aus der Theorie eine andere Konsequenz ziehen, die aus dem bisher Dargelegten leicht abzuleiten ist, und die durch das Experiment glänzend bestätigt wird.

In § 6 haben wir das Additionstheorem für gleichgerichtete Geschwindigkeiten abgeleitet, so, wie es sich aus den Hypothesen der klassischen Mechanik ergibt. Dasselbe läßt sich auch leicht aus der GALILEI-Transformation (§ 11) folgern. Statt des gehenden Mannes im Wagen führen wir einen Punkt ein, der sich relativ zum Koordinatensystem K´nach der Gleichung

x´ = wt´

bewegt. Aus der ersten und vierten Gleichung der GALILEI-Transformation kann man x´ und t´ durch x und t ausdrücken und erhält so

x = (v + w)t.

Diese Gleichung drückt nichts anderes aus als das Bewegungsgesetz des Punktes gegenüber dem System K (des Mannes gegenüber dem Bahndamm), welche Geschwindigkeit wir mit W bezeichnen, so daß man, wie in § 6, erhält:
 

W = v + w.

(A)

Wir können aber diese Betrachtung ebenso gut unter Zugrundelegung der Relativitätstheorie durchführen. Man hat dann in der Gleichung

x´ = wt´

x´ und t´ durch x und t auszudrücken unter Verwendung der ersten und vierten Gleichung der LORENTZ-Transformation. Man erhält dann statt der Gleichung (A) die Gleichung:

Wir werden im Sinne des Relativitätsprinzips jedenfalls vorauszusetzen haben, daß relativ zur Flüssigkeit die Lichtausbreitung immer it derselben Geschwindigkeit w erfolgt, mag die Flüssigkeit relativ zu anderen Körpern bewegt sein oder nicht. Es ist also die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Flüssigkeit und die Geschwindigkeit der letzteren relativ zur Röhre bekannt, gesucht ist die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre.

Es ist klar, daß hier wieder die Aufgabe des § 6 vorliegt. Die Röhre spielt die Rolle des Bahndammes bzw. des Koordinatensystems K, die Flüssigkeit die Rolle des Wagens bzw. des Koordinatensystems K´, das Licht endlich die Rolle des im Wagen laufenden Mannes bzw. des bewegten Punktes in diesem Paragraphen. Bezeichnet man also mit W die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre, so ist diese durch die Gleichung (A) bzw. (B) gegeben, je nachdem die GALILEI-Transformation oder die LORENTZ-Transformation der Wirklichkeit entspricht.

Das Experiment¹⁰ entscheidet für die aus der Relativitätstheorie abgeleitete Gleichung (B), und zwar sehr exakt. Der Einfluß der Strömungsgeschwindigkeit v auf die Lichtfortpflanzung wird nach den letzten, ausgezeichneten Messungen von ZEEMAN durch die Formel (B) genauer als auf 1 Proz. genau dargestellt.

10FIZEAU fand W = w + v(1 – 1/n2), wobei n = c/w der Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für (B) wegen der Kleinheit von v w/c2 gegenüber 1 zunächst W = (w + v) (1 – vw/c2), oder mit der gleichen Näherung w + v(1 – 1/n2) gesetzt werden, was mit FIZEAUs Resultat übereinstimmt.

Es ist nun allerdings hervorzuheben, daß eine Theorie dieses Phänomens lange vor der Aufstellung der Relativitätstheorie auf rein elektrodynamischem Wege unter Benutzung bestimmter Hypothesen über die elektromagnetische Struktur der Materie von H. A. LORENTZ gegeben worden ist. Dieser Umstand vermindert aber die Beweiskraft des Versuches als experimentum crucis zugunsten der Relativitätstheorie keineswegs. Denn die MAXWELL-LORENTZsche Elektrodynamik, auf welcher die ursprüngliche Theorie beruhte, steht in keinerlei Gegensatz zur Relativitätstheorie. Letztere ist vielmehr aus der Elektrodynamik herausgewachsen als verblüffend einfache Zusammenfassung und Verallgemeinerung der früher voneinander unabhängigen Hypothesen, auf welchen die Elektrodynamik aufgebaut war.


§ 14 Der heuristische Wert der Relativitätstheorie

Der bisher dargelegte Gedankengang läßt sich wie folgt kurz zusammenfassen. Die Erfahrung hat zu der Überzeugung geführt, daß einerseits das Relativitätsprinzip (im engeren Sinne) gelte und daß andererseits die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Vakuum gleich einer Konstanten c zu setzen sei. Durch Vereinigung dieser beiden Postulate ergab sich das Transformationsgesetz für die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z und die Zeit t der Ereignisse, welche das Naturgeschehen zusammensetzen, und zwar ergab sich nicht die GALILEI-Transformation, sondern (abweichend von der klassischen Mechanik) die LORENTZ-Transformation.

In diesem Gedankengang spielte das Ausbreitungsgesetz des Lichtes eine wichtige Rolle, dessen Annahme sich aus unserem tatsächlichen Wissen rechtfertigt. Wir können aber, nachdem wir einmal im Besitz der LORENTZ-Transformation sind, diese mit dem Relativitätsprinzip vereinigen und die Theorie in die Aussage zusammenfassen:

Jedes allgemeine Naturgesetz muß so beschaffen sein, daß es in ein Gesetz von genau gleicher Fassung übergeht, wenn man statt der Raum-Zeit Variablen x, y, z, t des ursprünglichen Koordinatensystems K neue Raum-Zeit-Variable x´, y´, z´, t´eines Koordinatensystems K´ einführt, wobei der mathematische Zusammenhang zwischen den gestrichenen und ungestrichenen Größen durch die LORENTZ-Transformation gegeben ist. Kurz formuliert: Die allgemeinen Naturgesetze sind kovariant bezüglich LORENTZ-Transformationen.

Es ist dies eine bestimmte mathematische Bedingung, welche die Relativitätstheorie einem Naturgesetze vorschreibt; dadurch wird sie zu einem wertvollen heuristischen Hilfsmittel beim Aufsuchen der allgemeinen Naturgesetze. Würde ein allgemeines Naturgesetz aufgefunden, welches jener Bedingung nicht entspricht, so wäre mindestens eine der beiden Grundvoraussetzungen der Theorie widerlegt. Sehen wir nun zu, was letztere an allgemeinen Ergebnissen bisher gezeigt hat.

§ 15 Allgemeine Ergebnisse der Theorie

Aus den bisherigen Darlegungen ist ersichtlich, daß die (spezielle) Relativitätstheorie aus der Elektrodynamik und Optik herausgewachsen ist. Auf diesen Gebieten hat sie an den Aussagen der Theorie nicht viel geändert, aber sie hat das theoretische Gebäude, d.h. die Ableitung der Gesetze, bedeutend vereinfacht und — was noch ungleich wichtiger ist — die Zahl der voneinander unabhängigen Hypothesen, auf welchen die Theorie beruht, erheblich vermindert. Sie hat der MAXWELL-LORENTZschen Theorie einen solchen Grad von Evidenz verliehen, daß diese auch dann bei den Physikern allgemein durchgedrungen wäre, wenn das Experiment weniger überzeugend zu ihren Gunsten gesprochen hätte.

Die klassische Mechanik bedurfte erst einer Modifikation, um mit der Forderung der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu kommen. Diese Modifikation betrifft jedoch im wesentlichen nur die Gesetze für rasche Bewegungen, bei welchen die Gesehwindigkeiten v der Materie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu klein sind. So rasche Bewegungen zeigt uns die Erfahrung nur an Elektronen und Ionen; bei anderen Bewegungen sind die Abweichungen von den Gesetzen der klassischen Mechanik zu gering, um sich praktisch bemerkbar zu machen. Von der Bewegung der Gestirne wird erst bei der allgemeinen Relativitätstheorie zu sprechen sein. Nach der Relativitätstheorie wird die kinetische Energie eines materiellen Punktes von der Masse m nicht mehr durch den bekannten Ausdruck

gegeben, sondern durch den Ausdruck

Dieser Ausdruck wird unendlich, wenn sich die Geschwindigkeit v der Lichtgeschwindigkeit c nähert. Es muß also die Geschwindigkeit stets kleiner als c bleiben, wie große Energien man auch auf die Beschleunigung verwenden mag. Entwickelt man den Ausdruck für die kinetische Energie in eine Reihe, so erhält man :

Das dritte dieser Glieder ist gegenüber dem zweiten, in der klassischen Mechanik allein berücksichtigten, stets klein, wenn v /c klein gegen 1 ist. Das erste Glied mc  enthält die Geschwindigkeit nicht, kommt also nicht in Betracht, wenn es sich nur um die Frage handelt, wie die Energie eines Massenpunktes von der Geschwindigkeit abhängt. Über seine prinzipielle Bedeutung wird nachher gesprochen werden.

Das wichtigste Ergebnis allgemeiner Art, zu dem die spezielle Relativitätstheorie geführt hat, betrifft den Begriff der Masse. Die vorrelativistische Physik kennt zwei Erhaltungssätze von grundlegender Bedeutung, nämlich den Satz von der Erhaltung der Energie und den Satz von der Erhaltung der Masse; diese beiden Fundamentalsätze erscheinen als ganz unabhängig voneinander. Durch die Relativitätstheorie werden sie zu einem Satze verschmolzen. Wie dies kam, und wie diese Verschmelzung aufzufassen ist, soll nun kurz dargelegt werden.

Das Relativitätsprinzip fordert, daß der Satz von der Erhaltung der Energie nicht nur bezüglich eines Koordinatensystems K gelte, sondern bezüglich eines jeden Koordinatensystems K´, das relativ zu K sich in gleichförmiger Translationsbewegung befindet (kurz gesagt, bezüglich jedes ,,GALILEIschen“ Koordinatensystems). Für den Übergang zwischen zwei solchen Systemen ist im Gegensatz zur klassischen Mechanik die LORENTZ-Transformation maßgebend.

Aus diesen Prämissen in Verbindung mit den Grundgleichungen der MAXWELLschen Elektrodynamik kann man mit zwingender Notwendigkeit durch verhältnismäßig einfache Betrachtungen folgern: Ein mit der Geschwindigkeit v fliegender Körper, der in Form von Strahlung die Energie E₀ aufnimmt,¹¹ ohne hierbei seine Geschwindigkeit zu ändern, erfährt dabei eine Zunahme seiner Energie um den Betrag

Die gesuchte Energie des Körpers ist also dann mit Rücksicht auf den vorher angegebenen Ausdruck für die kinetische Energie gegeben durch:

Der Körper hat also dann dieselbe Energie wie ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Körper von der Masse m + E₀/c. Man kann also sagen: Nimmt ein Körper die Energie E₀ auf, so wächst seine träge Masse um E₀/c; die träge Masse eines Körpers ist keine Konstante, sondern nach Maßgabe seiner Energieänderung veränderlich. Die träge Masse eines Körpersystems kann geradezu als Maß für seine Energie angesehen werden. Der Satz von der Erhaltung der Masse eines Systems fällt mit dem Satze von der Erhaltung der Energie zusammen und gilt nur insoweit, als das System keine Energie aufnimmt und abgibt. Schreibt man den Ausdruck für die Energie in der Form

so sieht man, daß die Form mc² , die uns schon vorhin auffiel, nichts anderes ist als die Energie, welche der Körper schon besaß¹² bevor er die Energie E₀ aufgenommen hatte.

12Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt.

Der direkte Vergleich dieses Satzes mit der Erfahrung scheitert vorläufig daran, daß die Energieänderungen E₀, welche wir einem System erteilen können, nicht groß genug sind, um sich als Änderung der trägen Masse des Systems bemerkbar zu machen. E₀/c²  ist zu klein im Vergleich zu der Masse m, die vor der Energieänderung vorhanden war. Auf diesem Umstande beruht es, daß ein Satz von der Erhaltung der Masse von selbständiger Geltung mit Erfolg aufgestellt werden konnte.

Noch eine letzte Bemerkung prinzipieller Natur. Der Erfolg der FARADAY-MAXWELLschen Deutung der elektrodynamischen Fernwirkung durch intermediäre Vorgänge mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit brachte es mit sich, daß bei den Physikern sich die Überzeugung Bahn brach, daß es unvermittelte, momentane Fernwirkungen vom Typus des NEWTONschen Gravitationsgesetzes nicht gebe. Nach der Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Momentanwirkung in die Ferne bzw. der Fernwirkung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit stets die Fernwirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Es hängt dies zusammen mit der prinzipiellen Rolle, welche die Geschwindigkeit c in dieser Theorie spielt. Im zweiten Teile wird sich zeigen, in welcher Weise dies Ergebnis in der allgemeinen Relativitätstheorie modifiziert wird.

§ 16 Spezielle Relativitätstheorie und Erfahrung

Die Frage, inwieweit die spezielle Relativitätstheorie durch die Erfahrung gestützt wird, ist nicht einfach zu beantworten aus einem Grunde, der schon bei Gelegenheit des Fundamentalversuches von FIZEAU erwähnt ist. Die spezielle Relativitätstheorie ist aus der MAXWELL-LORENTZschen Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen auskristallisiert. Somit stützen alle Erfahrungstatsachen die Relativitätstheorie, welche jene elektromagnetische Theorie stützen. Ich erwähne hier als besonders wichtig, daß die Relativitätstheorie in überaus einfacher Weise in Übereinstimmung mit der Erfahrung die Einflüsse abzuleiten gestattet, welche das von den Fixsternen zu uns gesandte Licht durch die Relativbewegung der Erde gegen jene Fixsterne erfährt. Es ist dies die jährliche Wanderung des scheinbaren Ortes der Fixsterne infolge der Erdbewegung um die Sonne (Aberration) und der Einfluß der Radialkomponente der Relativbewegungen der Fixsterne gegen die Erde auf die Farbe des zu uns gelangenden Lichtes; der letztere Einfluß äußert sich in einer kleinen Verschiebung der Spektrallinien des von einem Fixstern zu uns gelangenden Lichtes gegenüber der spektralen Lage der gleichen mit einer irdischen Lichtquelle erzeugten Spektrallinie (DOPPLERsches Prinzip). Die experimentellen Argumente zugunsten der MAXWELL-LORENTZschen Theorie, welche alle zugleich Argumente zugunsten der Relativitätstheorie sind, sind zu zahlreich, um hier dargelegt zu werden. Sie engen tatsächlich die theoretischen Möglichkeiten derart ein, daß sich keine andere Theorie als die MAXWELL-LORENTZsche der Erfahrung gegenüber hat behaupten können.

Zwei Klassen von bisher ermittelten experimentellen Tatsachen aber gibt es, welche die MAXWELL-LORENTZsche Theorie nur durch Hinzuziehung einer Hilfshypothese darstellen kann, die an sich — d. h. ohne Benutzung der Relativitätstheorie — befremdlich erscheint.

Es ist bekannt, daß die Kathodenstrahlen und die von radioaktiven Substanzen ausgesandten sogenannten ß-Strahlen aus negativ elektrischen Körperchen (Elektronen) von sehr geringer Trägheit und großer Geschwindigkeit bestehen. Dadurch, daß man die Ablenkung dieser Strahlungen unter dem Einfluß elektrischer und magnetischer Felder untersucht, kann man das Bewegungsgesetz dieser Körperchen sehr genau studieren.

Bei der theoretischen Behandlung dieser Elektronen hat man mit der Schwierigkeit zu kämpfen, daß die Elektrodynamik allein von ihrer Natur keine Rechenschaft zu geben vermag. Denn da elektrische Massen eines Vorzeichens sich abstoßen, müßten die das Elektron konstituierenden negativen elektrischen Massen unter dem Einfluß ihrer Wechselwirkung auseinander getrieben werden, wenn nicht noch Kräfte anderer Art zwischen ihnen wirksam wären, deren Natur uns bisher dunkel ist.¹³ Nimmt man nun an, daß die relativen Abstände der das Elektron konstituierenden elektrischen Massen bei den Bewegungen des Elektrons ungeändert bleiben (starre Verbindung im Sinne der klassischen Mechanik), so gelangt man zu einem Bewegungsgesetz des Elektrons, welches mit der Erfahrung nicht übereinstimmt. H. A. LORENTZ hat als erster, geführt durch rein formale Überlegungen, die Hypothese eingeführt, daß der Körper des Elektrons durch die Bewegung eine Kontraktion in der Bewegungsrichtung erfahre, proportional dem Ausdruck Ö(1 – v²/c²). Diese Hypothese, welche sich elektrodynamisch durch nichts rechtfertigen läßt, liefert dann dasjenige Bewegungsgesetz, welches die Erfahrung mit großer Präzision in den letzten Jahren bestätigt hat.

13Die allgemeine Relativitätstheorie legt die Auffassung nahe, daß die elektrischen Massen eines Elektrons durch Gravitationskräfte zusammengehalten werden.

Die Relativitätstheorie liefert dasselbe Bewegungsgesetz, ohne daß sie irgendeiner speziellen Hypothese über den Bau und das Verhalten des Elektrons bedürfte. Analog liegen die Dinge, wie wir in § 13 gesehen haben, bei dem Versuch von FIZEAU, dessen Ergebnis die Relativitätstheorie lieferte, ohne daß Hypothesen über die physikalische Natur der Flüssigkeit gemacht werden mußten.

Die zweite Klasse von Tatsachen, auf die hier hingewiesen ist, bezieht sich auf die Frage, ob bei Versuchen auf der Erde deren Bewegung im Weltenraume sich bemerkbar mache. Es wurde schon in § 5 bemerkt, daß alle derartigen Bemühungen ein negatives Resultat lieferten. Vor der Aufstellung der Relativitätstheorie hatte es die Wissenschaft schwer, sich mit diesem negativen Befunde auseinanderzusetzen; die Sachlage war nämlich folgende. Die überkommenen Vorurteile über Zeit und Raum ließen keinen Zweifel darüber aufkommen, daß die GALILEI-Transformation für den Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen maßgebend sei. Angenommen nun, die MAXWELL-LORENTZschen Gleichungen gelten für einen Bezugskörper K, so findet man, daß sie nicht gelten für einen relativ zu K gleichförmig bewegten Bezugskörper K´, wenn man annimmt, daß zwischen den Koordinaten von K und K´ die Beziehungen der GALILEI-Transformation bestehen. Dadurch scheint es, daß von allen GALILEIschen Koordinatensystemen eines (K) von bestimmtem Bewegungszustande physikalisch ausgezeichnet sei. Physikalisch interpretierte man dies Ergebnis dahin, daß man K als relativ zu einem hypothetischen Lichtäther ruhend ansah. Dagegen sollten alle gegen K bewegten Koordinatensysteme K´gegen den Äther bewegt sein. Dieser Bewegung von K´gegen den Äther (,,Ätherwind“ relativ zu K´) schrieb man die komplizierteren Gesetze zu, welche relativ zu K´gelten sollten. Auch relativ zur Erde mußte folgerichtig ein solcher Ätherwind angenommen werden, und das Bestreben der Physiker war lange darauf gerichtet, diesen nachzuweisen.

Hierfür hatte MICHELSON einen Weg gefunden, der nicht fehlschlagen zu können schien. Man denke sich an einem starren Körper zwei Spiegel angeordnet, welche einander die reflektierende Seite zukehren. Ein Lichtstrahl braucht eine ganz bestimmte Zeit T, um von einem Spiegel zum anderen und wieder zurück zu gelangen, falls dies ganze System gegen den Lichtäther ruht. Man findet für diesen Vorgang aber (durch Rechnung) eine etwas andere Zeit T´, wenn der Körper nebst Spiegeln relativ zum Äther bewegt ist. Ja, noch mehr! Die Rechnung ergibt, daß diese Zeit T´bei gegebener Geschwindigkeit v gegen den Äther eine andere sei, wenn der Körper senkrecht zu den Spiegelebenen bewegt ist, als wenn er parallel zu den Spiegelebenen bewegt ist. So winzig die so berechnete Differenz zwischen diesen beiden Zeitdauern auch sich ergab, MICHELSON und MORLEY führten ein Interferenzexperiment aus, bei welchem die Differenz deutlich hätte in Erscheinung treten müssen. Das Experiment fiel aber negativ aus, zur großen Verlegenheit der Physiker. LORENTZ und FIZ GERALD zogen die Theorie aus dieser Verlegenheit, indem sie annahmen, daß die Bewegung des Körpers gegen den Äther eine Kontraktion desselben in der Bewegungsrichtung bewirke, welche das Verschwinden der genannten Zeitdifferenz gerade bewirken sollte. Ein Vergleich mit den Darlegungen des § 12 zeigt, daß dieser Ausweg auch vom Standpunkt der Relativitätstheorie der richtige war. Die Auffassung der Sachlage ist aber nach der Relativitätstheorie eine unvergleichlich befriedigendere. Nach ihr gibt es kein bevorzugtes Koordinatensystem, welches zur Einführung der Ätheridee Anlaß gibt, mithin auch keinen Ätherwind und kein Experiment, um einen solchen in Evidenz zu setzen. Die Kontraktion bewegter Körper folgt hier ohne besondere Hypothesen aus den beiden Grundprinzipien der Theorie; und zwar ergibt sich als maßgebend für diese Kontraktion nicht die Bewegung an sich, welcher wir keinen Sinn beizulegen vermögen, sondern die Bewegung gegen denjeweiligen gewählten Bezugskörper. So ist also für ein mit der Erde bewegtes Bezugssystem der Spiegelkörper von MICHELSON und MORLEY nicht verkürzt, wohl aber für ein relativ zur Sonne ruhendes Bezugssystem.

§ 17 MINKOWSKIs vierdimensionaler Raum

Ein mystischer Schauer ergreift den Nichtmathematiker, wenn er von ,,vierdimensional“ hört, ein Gefühl, das dem vom Theatergespenst erzeugten nicht unähnlich ist. Und doch ist keine Aussage banaler als die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales zeiträumliches Kontinuum ist.

Der Raum ist ein dreidimensionales Kontinuum. Dies will sagen, daß es möglich ist, die Lage eines (ruhenden) Punktes durch drei Zahlen (Koordinaten), x, y, z, zu beschreiben, und daß es zu jedem Punkte beliebig ,,benachbarte“ Punkte gibt, deren Lage durch solche Koordinatenwerte (Koordinaten) x₁, y₁, z₁ beschrieben werden kann, die den Koordinaten x, y, z des erstgenannten beliebig nahe kommen. Wegen der letzteren Eigenschaft sprechen wir von ,,Kontinuum“, wegen der Dreizahl der Koordinaten von ,,dreidimensional“.

Analog ist die Welt des physikalischen Geschehens, von MINKOWSKI kurz ,,Welt“ genannt, natürlich vierdimensional in zeiträumlichem Sinne. Denn sie setzt sich aus Einzelereignissen zusammen, deren jedes durch vier Zahlen, nämlich drei räumliche Koordinaten x, y, z und eine zeitliche Koordinate, den Zeitwert t, beschrieben ist. Die ,,Welt“ ist in diesem Sinne auch ein Kontinuum; denn es gibt zu jedem Ereignis beliebig ,,benachbarte“ (realisierte oder doch denkbare) Ereignisse, deren Koordinaten x₁, y₁, z₁, t₁ sich von denen des ursprünglich betrachteten Ereignisses x, y, z, t beliebig wenig unterscheiden. Daß wir nicht daran gewöhnt sind, die Welt in diesem Sinne als vierdimensionales Kontinuum aufzufassen, liegt daran, daß die Zeit in der vorrelativistischen Physik gegenüber den räumlichen Koordinaten eine verschiedene, mehr selbständige Rolle spielt. Darum haben wir uns daran gewöhnt, die Zeit als ein selbständiges Kontinuum zu behandeln. In der Tat ist die Zeit gemäß der klassischen Physik absolut, d. h. von der Lage und dem Bewegungszustande des Bezugssystems unabhängig. Dies kommt in der letzten Gleichung der GALILEI-Transformation (t´ = t) zum Ausdruck.

Durch die Relativitätstheorie ist die vierdimensionale Betrachtungsweise der ,,Welt“ geboten, da ja gemäß dieser Theorie die Zeit ihrer Selbständigkeit beraubt wird, wie die vierte der Gleichungen der LORENTZ-Transformation

lehrt. Denn nach dieser Gleichung verschwindet die Zeitdifferenz Dt´ zweier Ereignisse in bezug auf K´auch dann im allgemeinen nicht, wenn die Zeitdifferenz Dt derselben in bezug auf K verschwindet. Rein räumliche Distanz zweier Ereignisse in bezug auf K hat zeitliche Distanz derselben in bezug auf K´ zur Folge. Auch hierin liegt nicht MINKOWSKIs für die formale Entwicklung der Relativitätstheorie wichtige Entdeckung. Diese liegt vielmehr in der Erkenntnis, daß das vierdimensionale Kontinuum der Relativitätstheorie in seinen maßgebenden formalen Eigenschaften die weitgehendste Verwandtschaft zeigt zu dem dreidimesionalen Kontinuum des euklidischen geometrischen Raumes.¹⁴ Um diese Verwandtschaft ganz hervortreten zu lassen, muß man allerdings statt der üblichen Zeitkoordinaten t die ihr proportionale imaginäre Größe Ö(–1) ct einführen. Dann aber nehmen die den Forderungen der (speziellen) Relativitätstheorie genügenden Naturgesetze mathematische Formen an, in denen die Zeitkoordinate genau dieselbe Rolle spielt wie die drei räumlichen Koordinaten. Diese vier Koordinaten entspechen formal genau den drei räumlichen Koordinaten der euklidischen Geometrie. Es muß auch dem Nichtmathematiker einleuchten, daß durch diese rein formale Erkenntnis die Theorie außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen mußte.

14Vgl. die etwas ausführlichere Darlegung im Anhang.

Diese dürftigen Andeutungen geben dem Leser nur eine vage Idee von dem wichtigen Gedanken MINKOWSKIs, ohne den die im folgenden in ihren Grundgedanken entwickelte allgemeine Relativitätstheorie vielleicht in den Windeln stecken geblieben wäre. Da aber ein exakteres Erfassen dieses für den mathematisch nichtgeübten Leser zweifellos schwer zugänglichen Gegenstandes für das Verständnis der Grundgedanken weder der speziellen noch der allgemeinen Relativitätstheorie nötig ist, so will ich denselben hier verlassen, um erst in den letzten Darlegungen dieses Büchleins wieder darauf zurückzukommen.

¹⁰FIZEAU fand W = w + v(1 – 1/n²), wobei n = c/w der Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für (B) wegen der Kleinheit von v w/c² gegenüber 1 zunächst W = (w + v) (1 – vw/c²), oder mit der gleichen Näherung w + v(1 – 1/n²) gesetzt werden, was mit FIZEAUs Resultat übereinstimmt. Back

¹¹E₀ ist die aufgenommene Energie, von einem mit dem Körper bewegten Koordinatensystem aus beurteilt.Back

¹²Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt. Back

¹³Die allgemeine Relativitätstheorie legt die Auffassung nahe, daß die elektrischen Massen eines Elektrons durch Gravitationskräfte zusammengehalten werden. Back

¹⁴Vgl. die etwas ausführlichere Darlegung im Anhang. Back