Non-Euclidean ‘Geometri’

Geometride ‘non-Euclidean’ Parodi

Görelilik kuramı bir uzay ve zaman kuramıdır. Einstein’ın yorumunda, fiziksel uzay-zaman süreklisi özdek tarafından ‘etkilenir.’ Yerçekimi kuvveti yoktur ve cisimler yalnızca geodezikler boyunca ‘kayarlar.’ Etkilenmenin anlamı bükülme, genleşme, kısalma gibi ‘geometrik’ olaylardır. Böyle etkilenmeyen uzay (ve zaman) ‘saltık’tır ve ‘saltık’ uzayın belirlenimi ‘saltık’ geometriyi öngerektirir. Ama, Einstein’ın yorumunda, yalnızca ‘göreli’ uzay-zaman vardır ve bunun geometrisi saltık olmayan bir ‘geometri’dir. Göreli ‘geometri’ nasıl üretilir? Bu algılamaya değer bir olaydır.

Birkaç noktayı anımsamak gerekli olacaktır. Geometrinin tanım, belit ve konutlamaları arasında burada izleyeceğimiz uslamlamalarla yakından ilgili olanları şunlardır:

‘‘Koşutluk konutlaması’’ olarak adlandırılan bu konutlama açıkça görüldüğü gibi aslında koşutluğu değil ama tam tersini, koşut-olmamayı belirtir (yalnızca bir anımsatma). Bu konutlamanın salt anlatımındaki ‘‘uzunluk ve karışıklık’’ nedeniyle, ve kullanımının teoremleri tanıtlamada ancak ‘ileri’ bir evrede başlaması nedeniyle — sık sık böyle bildirilen ‘gerekçelerle’ — önceki daha yalın anlatımlı konutlamalardan ayrı bir doğada olduğu, eş deyişle bir konutlama olmadığı, ve onlardan türetilmesi, ya da daha iyisi, bir teorem olarak tanıtlanması gerektiği düşünülür. Konutlama hiç kuşkusuz bir tanıtlama gerektirmediği için konutlamadır, ve işlevi kavramın ‘‘varoluşunu’’ ileri sürmektir, örneğin 1. Konutlamada olduğu gibi: ‘‘Bir noktadan bir başka noktaya doğru bir çizgi çizilebilir.’’ Geçerken yine belirtebiliriz ki, tanımlar yalnızca anlamı ilgilendirirler.

Düzlem geometride tanımlara bağlı bu iki sonurgunun (a ve b) yarattığı hiçbir mantıksal sorun yoktur. Düzlem için geçerlidirler, ve bu düzeye dek herşey doğal usun istediği gibidir. Ama küre yüzeyinde ‘doğruluk’ kavramı ortadan kaldırılır ve ‘iki nokta arasındaki en kısa yol’ bundan böyle bir doğru değil ama özel bir eğri, bir geodezik olur. Bu en kısa eğri çizgi küre yüzeyindeki başka eğri çizgilerden ayrıdır ve özeği kürenin özeği olan büyük dairenin üzerindeki bir yay dilimidir (küreyi iki eşit parçaya bölen daire üzerinde olmayan tüm eğriler ‘en kısa’ yoldan daha uzundurlar). Bu noktaya dek herşey doğal usun belirlenimleri ile uyum içindedir. ‘Euklides’ Geometrisi, ya da kısaca Geometri, tüm karmaşa görünüşüne karşın, yalın olarak düzlem yüzey ve eğri yüzey kavramları arasındaki ayrımın silinmesine bağlıdır. Şimdi Euklides-dışı ya da irrasyonel bakış açısına geçelim, ve kürenin ‘DÜZLEM’ yüzeyi üzerindeki iki koşut ‘DOĞRU’ çizginin durumuna bakalım.

İlk olarak kürenin ‘DÜZLEM’ yüzeyinin üzerinde olan ve büyük dairesinden geçen bir D ‘DOĞRU’ çizgisi ve bu çizginin dışında bir nokta alalım. Bu noktadan sonsuz sayıda yöne sonsuz sayıda ‘DOĞRU’ çizgi çizilebilir. Ama eğer bu noktadan D ‘DOĞRU’ çizgisine koşut bir ‘DOĞRU’ çizgi çizmeyi istersek, bunun olanaksız olduğunu buluruz. Bu ‘DOĞRU’ çizgilerin tümü de D ‘DOĞRU’ çizgisi ile kesişirler. Başka bir deyişle, küre yüzeyi üzerinde birbirine koşut iki ‘DOĞRU’ çizgi çizmek olanaksızdır. Tüm ‘DOĞRU’ çizgiler kesişirler, ve bu geodeziklerin, küre yüzeyindeki en kısa ya da ‘DOĞRU’ çizgilerin mantığıdır.

Şimdi ‘DOĞRU’ları ‘EĞRİ’ olarak ve kürenin ‘DÜZLEM’ yüzeyini ‘KÜRESEL’ olarak gerçek niteliklerinde görürsek, herşey anlaşılırlık kazanır, ve herşey bir kez daha bütünüyle ussaldır. En kısa eğri çizginin (geodezik) davranışı bir doğru çizginin davranışı değildir. TÜM EKVATORLAR KESİŞİR. Ama bu Euklides’in koşutluk konutlamasının çürütülüşü ya da gerçeksizliği de değildir.

Kendinde bütünüyle ussal olan küre geometrisi irrasyonalizm tarafından koşutluk konutlamasını dışlayan ‘non-Euclidean’ ‘geometriler’den yalnızca biri olarak görülür ve Riemann geometrisi adıyla da bilinir. Eğer küresel yüzey yerine hiperbolik bir yüzey alınırsak, ‘non-Euclidean’ tanımlar temelinde bu kez yüzey üzerinde sonsuz sayıda koşut ‘doğru’ çizgi çizmek olanaklıdır (Lobatchevski ‘‘Geometrisi’’). Bu özellikleriyle bu iki geometri de ‘Euklides’ geometrisine, Geometrinin kendisine aittir.

Ama irrasyonalizm doğal usun geometrik tanımlarını ve belitlerini reddedip karşıtlarını ileri sürer. Küre geometriyi düzlem geometrinin çürütülmesi olarak alır, ve uzay-zaman süreklisi dediği fiziksel yapıntıyı geometrinin tözselleşmesi olarak kabul eder. Non-Euclidean ‘geometri’ler tam olarak bu parodi biçiminde öğretilir. Ussal küre geometrisinin usdışı non-Euklidean ‘geometri’ye nasıl dönüştürüldüğünü anlamak kesinlikle önemlidir. Örneğin The Structure of the Universe’de (O.U.P. 1978, s. 154) Jayant Narlikar non-Euclidean geometrinin bir uygulamasını verir (italikler sonradan):

‘‘Dünyanın yüzeyi yassı / flat değildir. Dünyanın yüzeyinde sürünen yassı yaratıklar dünyanın yüzeyindeki geometrinin Euklides geometrisi olduğu vargısını çıkarmayacaklardır.

Bunu görmek için, iyi bir yaklaşıklık olarak yüzeyin küresel olduğunu ve yassı bir yaratığın Şekilde A noktası ile belirtilen Kuzey Kutbundan yola çıkmak üzere üçgen bir yolcuğa başladığını varsayalım. Greenwich boylamı boyunca güneye doğru yola çıkar ve B noktasında ekvatora ulaşır. Sonra sola döner ve ekvator boyunca doğru/straight bir yolda ilerleyerek Dünya çevresindeki uzaklığın bir çeyreği kadar gidip C noktasına varır. Sonra C’den geçen boylam boyunca sola döner ve A başlangıç noktasına ulaşır. Yolculuğuna başladığı yöne bakmak için yine sola dönmek zorunda olduğunu görür. Başka bir deyişle, bir Euklides üçgeninin üç açısının toplamının yalnızca 180° olması gerekirken, kendisi sola üç kez dönerek toplam 270° olan bir dönüş yapmıştır. Bu dönüşleri yapmış olması dışında, yassı yaratığımız doğru bir yoldan sapmamıştır; böylece doğru çizgilerden yapılan gerçek bir üçgen betimlememiş olmakla suçlanamaz.’’

Non-Euclidean geometrinin önemini anlayabilmek için kesinlikle yassı bir yaratık olmaktan başka bir yol yoktur.

Burada ussal olanın nasıl bastırıldığını doğal bilinç dolaysızca algılar. Bu işin : 2 + 2 = 5 denklemini doğrulamaktan hiçbir ayrımı yoktur. (Gerçekten de, bu tür aritmetiksel ‘işlemleri’ geçerli gören bakış açıları da ‘geliştirilmiştir,’ ve nasıl ‘uslamlamalar’ kullanıldığını merak etsek de, çocuklaşmayı bu düzeye dek götürmenin burada gereği yoktur.)

Böyle bir kitap kararlı durum / steady-state modelini savunan biri tarafından bile yazılsa da yerleşik ideoloji tarafından övgülerle karşılanır, ve Nature’da yazan Paul Davies’e göre ‘‘this is a nicely written, attractive book ... from an author of international repute :: bu uluslararası ünü olan bir yazardan ... güzel yazılmış, çekici bir kitaptır.’’ Yüzlercesi gibi.

Geometrinin ussal olması ölçüsünde, realiteye uygulanması, bilimlerde kullanılması realitenin ussallığı / yasallığı varsayımı üzerine olanaklıdır. Özdeksel evrenin sonsuzluğu kavramı üzerine olanaklıdır. Ama usdışı bir ‘geometri’ yasal / ussal bir evrenle bağdaşmaz. Çılgın bir evrenle bağdaşır. Ve özdeksel evrenin ‘çılgın,’ ‘saçma,’ ‘usdışı’ olduğunu doğrulamak modern görecilik ve nice kuramları için bütünüyle ‘normal’dir. Us kendine karşı dönebilir.

Ama, herşeye karşın, irrasyonalizmin bir tür ‘budalalık’ olduğunu görmede herhangi bir güçlük yatmaz. Tüm güçlük kavramlarla hokkabazlık yapma becerisini ciddiye almama kararını ilgilendirir. Ve bu usdışına uyarlanmış bilinç için bütünüyle ruhbilimsel bir sorun olur. Küresel ve hiperbolik yüzeylerde çizgilerin kendi özellikleri vardır, ve burada doğal us doğru değil ama eğri çizgilerle, daire ya da hiperbol yayları ile ilgilendiğini kolayca görür. Geometrinin belitleri kişinin dilediği gibi belirlediği varsayımlar, rasgele seçilen önermeler değildir. Tersine, ussaldırlar ve ancak ussal oldukları ölçüde edimsel dünya ile, realite ile matematiğin ilişkisine olanak verirler. Usdışı düşünce eğilimi tam bu ussallıkları yadsıyışında usdışıdır, ve usun kendisinin perspektifinden ele alınacak sorunlar yaratmaz. Yaratılan sorun tıpkı bu irrasyonalizmin sözde kavramlarını üretme yolu için vurgulandığı gibi bütünüyle ‘ruhbilimsel’dir. Ve bu yüzden yalnızca ‘ruhbilimsel’ çözüme açıktır.

Belitler tanıtlanabilir mi? Görünürde felsefecilerin kendilerinin çelişkili bildirimleri vardır. Platon ve Aristoteles tanıtlanamaz olduklarını söylerken, örneğin Descartes ve Hegel ise tanıtlanabilir olduklarını söylerler.*

*Belit Ve Tanıtlama Burada bu yazının birinci ‘‘kitap’’ yayımında (Özel ve Genel Görelilik Kuramı, Einstein için Sunuş yazısı: ‘‘Görelilik Kuramı Felsefesiz Bilim’’) Descartes yerine yanlışlıkla Leibniz’in adı yazılmış ve yineleyen okumalara karşın gözden kaçmıştır. Leibniz, Descartes’ın tersine, Platon ve Aristoteles’in belit üzerine söylediklerini yineler ve hiç kuşkusuz onları doğrular. Ama konu üzerine biraz düşünürsek, tüm ussalcılar arasında belitlerin tanıtlanabilirliği konusunda hiçbir ayrım olmadığını, aslında olamayacağını görürüz. Birkaç noktayı anımsayabiliriz. Leibniz Monadoloji’de, § 35, belitlerin ve konutlamaların tanıtlama gerektirmediklerini yazar: ‘‘Kısaca, hiçbir tanımları verilemeyen yalın düşünceler vardır; ayrıca Belitler ve Konutlamalar, tek bir sözcükle Birincil İlkeler de vardır ki tanıtlanamazlar, ve aslında hiçbir tanıta gereksinmezler; bunlar Özdeş Önermelerdir ki karşıtları açık bir çelişki içerir.’’ Descartes ise, bilindiği gibi, ister belit ister kavram olsun insan bilincinde sorgusuzca gerçeklik sayılan herşeyi kuşku altına düşürür. Eş deyişle, tümü de aklanma, çıkarsama, tanıtlama ya da gerçekleme gereksinimi içinde dururlar. Onun kuşku yöntemini uygulayışında, belitlerin doğruluğu bile aldatıcı bir etmene bağlı olabilir. Dolayısıyla, felsefe söz konusu olduğunda, gerçeklik söz konusu olduğunda, hiçbirşey felsefi tanıtlamadan bağışık görülmemeli, herşey en son aklanışını usun kurgul yöntemi önünde kazanmalıdır. Görüş ayrılıkları gibi görülen sorun tanıtlama sözcüğüne verilen tanıma bağlıdır ve bu bağlamda çözülür. Tanıtlama tasımlar zemininde uslamlamalar zinciri olarak anlaşıldığı sürece, hiç kuşkusuz belitler uslamlamaların vargıları değildirler. Bu anlamda Hegel’in kendisi Descartes’ın ‘Cogito ergo sum’unun bir tasım olmadığını, dolaysız bir bilgi olduğunu belirtir. Gene de bu dolaysız bilginin, tasım olmayan ve bu anlamda tanıtlanmış olmayan bilginin gerçek olamayacağı demek değildir. Leibniz’in ‘‘hiçbir tanımları verilemeyen yalın düşünceler’’ dediği şeyler hiç kuşkusuz Kavramların kendileridir. Hegel’in örgütlediği bütün bir Mantık dizgesinin soyut Varlık kavramından Saltık İdeaya gelişimi, her biri yalın olarak salt kendisi olan kavramların gerçekte o denli de yalnızca ve yalnızca karşıtlarında ve böylece birliklerinde olmaları zemininde anlaşılan eytişimsel yapı sıradan tasımlar zemininde ilerleyen bir uslamlama süreci değildir. Ama bu mantıksal dizgenin bir tanıtlama yapısı olmadığını değil, tersine tanıtlamanın ideal uygulanışı olduğunu anlatır. Bilgide, gerçeklikte saltık olarak belirleyici olan şey mantıksal bağdır, eytişimdir. Öte yandan, tasım yapısında önermelerin yerine kavramları geçirerek kurgul yöntemin baştan sona bir tasımlar zinciri olduğunu, varolan herşeyin bir tasım olduğunu söyleyebiliriz. Tüm bunları toparlamak için, tasım biçiminin bir tanıtlama aracı olarak kullanıldığı düzeye dek, tasımın kendisinin bir tanıtlamadan geçtiğini, bu biçimsel tanıtlama yönteminin kendisinni kavram mantığının bütün dizgesinde tanıtlanması gerektiğini söylemek yeterli olmalıdır. (Kavram, Yargı ve Tasım ilişkilerini uygun bir zamanda burada ele alacağız.)

Ama sorun yalınlaştırılabilir:

1) Felsefede tanıtlamasız hiçbirşey geçerli değildir;
2) Bilimlerde tanıtlamasız belitler geçerlidir.

Gene de bilimlerde belitlere izin verilmesi belitlerin gerçeklikten yoksun keyfi önermeler oldukları anlamına gelmez.

Aristoteles’e göre geometrinin belitleri tanıtlanamaz ve tanıtlama gerektirmezler, tersine kendileri tanıtlamanın başlangıç noktalarını verirler. Ama Aristoteles tanıtlama sözcüğünü kullanırken onunla anladığı şeyin ‘‘bilimsel bilgi üreten bir TASIM’’ olduğunu belirtir (İkinci Çözümlem, 2). Ve bir belitin bir tasımlama/uslamlama süreci olmadığı açıktır. Aristoteles geometrik yöntemin doğasını belirlerken, Platon’un Devlet, VI Kitaptaki çözümlemesini izler: ‘‘Geometri, aritmetik ve yakın bilimler’’ ‘‘kendilerinin ve başka herkesin bilmesi gereken, ve kendilerine ya da başkalarına herhangi bir ‘açıklamalarını’ vermeleri gerekmeyen varsayımları’’ ilkeleri olarak alırlar ‘‘ve sonunda vargılarına ulaşıncaya’’ dek uslamlamalarını sürdürürler. Burada ‘‘görülür biçimleri’’ kullansalar da, ‘‘onları değil ama andırımları oldukları ‘idealleri’ düşünürler; çizdikleri betileri değil, ama saltık kareyi ve saltık çapı vb.’’ düşünürler. Yine Platon’un belirttiği gibi geometrinin alanı Usun değil ama Anlağın alanıdır, ve burada varsayımlara izin vardır. Aristoteles İkinci Çözümlem’de anlak bilimlerinin yöntemlerini tam ayrıntıda verir ve Euklides Öğeler’de Aristoteles’in saptadığı bu yöntemi uygular. Gerçekten de, tanıtlamanın tasım süreçlerini, doğal uslamlama aygıtını gerektirmesi ölçüsünde, geometrinin belitleri öylesine temel gerçekliklerdir ki, onları teoremleri tanıtlamada kullanılan uslamlama yöntemleriyle gerçeklemek olanaksız ve anlamsızdır. Nokta, çizgi, yüzey gibi yalın uzay belirlenimleri ancak anlamlarını belirtmek için tanımlanırlar, ama tanıtlamaları istenmez. Geometri bu tanımlarla bütünüyle yetinebilir. Gene de mantıksal doğalarının aklanması gibi bir sorun vardır, ve örneğin Hume iki doğru çizgi birden çok noktada kesişir dediği zaman, ya da Protagoras bir teğet bir eğriyi birden çok noktada keser dediği zaman, ya da Einstein ısıtılan bir fiziksel çubuk genleştiğinde düzlem ve doğruluk kavramları da yiter dediği zaman, tümü de geometrinin kavramlarının mantığını anlama konusunda ussal bir güçlük yaşandığını gösterirler. Bu düzeye dek, bu yalın uzaysal belirlenimler de mantıksal olarak aklanmalı, keyfi ya da görgül sayıltılar olmadıkları gösterilmeli, anlamları gibi varoluşlarının da ussal olduğu, ve bu yüzden keyfi olarak ortadan kaldırılamayacakları kabul edilmelidir. Felsefenin tüm kavramlar durumunda yerine getirmesi gereken yükümlülük onların çıkarsanmasıdır. Bu çıkarsama aynı zamanda varoluşlarının gerçeklenmesi, mantıksal zorunlukların gösterilmesi olduğu ölçüde, hiç kuşkusuz tasımlara dayalı tanıtlama ile bir ve aynı amacı, gerçekliği paylaşır. Ama burada, arı kavramın alanında, eytişimsel düşüncenin alanında tanıtlama tasımlar ya da doğal uslamlama süreçleri yoluyla gerçeklemeden bütünüyle başka birşeydir. Kavramın kendini eytişimsel doğasında gerçeklemesi, karşıtların birliği olarak kendini kendi iç deviminde açındırmasıdır. Bu süreçte tasımlardan yararlanmak bir yana, tersine tasımın, yargının, genel olarak önermenin kendisi kavramın kendi eytişiminin tanıtlanan verileri olarak görünürler.

‘Doğru çizgi iki nokta arasındaki en kısa yoldur’ önermesinin geometrideki bütün bir modern şaşkınlığa neden olan belit olması en azından ilk bakışta tuhaf görünür. Nokta, çizgi, doğru, eğri: Tüm bu saltık olarak yalın ve kendiliğinden-açık geometrik kavramların üzerinde durmanın hiçbir gereği yok gibi görünür. Ama bu bakış açısı rasyonalizminde bile pragmatik olan modern eğitimin geometriyi ele alış ve yorumlayış yolunun bir kalıtıdır. Usa ilgisiz bu sözde eğitimin sonunda, belitler kafalarda gerçeklenemeyen ya da tanıtlanmaları, aklanmaları olanaksız keyfi varsayımlar olarak kalırlar. Ve bu irrasyonalizme aradığı en uygun zemini sağlar. İnsanlara belitlerin tanıtlanamaz olduğu söylenir. Tanıtlamanın doğası konusunda, usun doğrulaması konusunda düşünmeyen doğal bilinç bunu anlamaksızın kabul eder. İnsanlara belitler keyfidir denir. Ve bu da düşüncesizce kabul edilir. Ve koşutluk beliti yanlıştır, işin doğrusu iki koşut çizginin kesiştikleridir denir. Ve bunu da kraldan fazla kralcı bir tutumla kabul edenler çıkar. Bu bilinçler uslarını durdururlar. Düşünmeye, giderek kuşku duymaya, reddetmeye son verirler. Aynı tutum insanların boşinanca, falcılara ve bilicilere yatkınlıklarının da temelinde yatar. Eğri çizgi doğru çizgiden kısadır dendiği zaman, doğal us buna güler. Ama böylesine irrasyonel bir önerme bilimsel bir yetke konumundan bildirildiği zaman, buyruğa boyun eğmenin kendisi rasyonel görünür.

Arşimed’in Küre ve Silindir üzerine birinci kitabında ‘‘Uçları aynı olan tüm çizgilerden doğru çizgi en küçüğüdür’’ önermesi daha sonraki önermelerinin tanıtlarına temel aldığı varsayımlar/belitler arasında bulunur. Söylemeye gerek yok ki, daha ‘büyük’ ya da ‘uzun’ olanlar eğri çizgilerdir. Kant bu beliti ‘‘İki nokta arasındaki doğru çizgi en kısa çizgidir’’ [AUE, B 16] olarak anlar ve a priori bireşimli yargı örneği olarak alır:

1) Bir önermenin çözümsel/analitik olması yüklemin öznede kapsanmasını, bireşimli olması ise kapsanmamasını anlatır;

2) A priori olması ‘‘saltık olarak deneyim ve tüm duyu izlenimlerinden bağımsız bir bilgi’’ olması anlamına gelir. ‘‘Zorunluk ve sağın evrensellik bir a priori bilginin güvenilir ırasallarıdırlar ve ayrılamamacasına birbirlerine aittirler [zorunluk=evrensellik]’’ (AUE, B 4). Ve Kant bu zorunluk ve evrenselliğin mantıksal değil ama sezgisel olduğunu ekler. ‘‘Burada da sezgiden yardım alınmalıdır ve bireşim ancak onun aracılığıyla olanaklıdır.’’

Kant’ın mantıktan ne anladığını anlamanın ‘felsefe’sinin değerini anlama konusunda sonsuz önemi vardır ve bu değerlendirme sık sık ona başvuran yazarların ‘felsefe’ konusunda ne anladıklarını ve ne beklediklerini de gösterecektir.

Önerme bireşimlidir, der, çünkü ‘‘doğru kavramım [mein Begriff vom Geraden] büyüklük/nicelik ile ilgili hiçbirşey kapsamaz; tersine, kapsadığı salt bir niteliktir.’’ Böylece, Kant’a göre, ‘en kısalık’ doğru çizgi kavramına özünlü değil ama dışardan yapılan bir katkıdır. Her nasılsa yapılmayabilir: Ve bu durumda geometrik belitlerin olumsal olgu gerçeklikleri olacakları, ve hiçbir çelişkiye düşülmeksizin karşıtlarının da ileri sürülebileceği düşünülebilir. Non-E. denilen geometriye Kant tarafından verildiği söylenen onayın mantığı budur.

Ama Kant bu denli irrasyonel değildir ve buna izin vermez: ‘‘Yüklem [‘en kısalık’] hiç kuşkusuz o kavrama [‘doğru çizgi’] zorunlu olarak bağlı olsa da, kavramın kendisinde düşünülmüş olarak değil, ama kavrama eklenmesi gereken bir sezgi aracılığıyla böyledir’’ [AUE, B 17] derken, burada ‘sezgi’ evrensellik ve zorunluk imler. Kant’ın yolu ne denli kaba saba olsa da, niyeti herşeye karşın bağlantıyı zorunlu görmektir, ve bu ‘dışsal’ zorunluk sezginin güvencesi altındadır. Bu sezgisel yapıştırma, ekleme, katma vb. edimi yargının a priori olmasını, yine Kant’a göre zorunlu=evrensel olmasını sağlar. ‘Sezgi’nin a priori öğeyi sağladığının kabul edilmesi ya da edilmemesi, bu yöntemin geçerliği başka bir sorundur.

Gerçekten de, bağlantının zorunlu ve evrensel olması ayrılabilir olan yüklemin özneden ayrılamaz olmasından başka birşeyi anlatmaz. Ama Kant a priori bireşimli dediği yargının bu eytişimsel doğasını da görmez. Kant o zaman en azından irrasyonel ‘non-Euclidean’ geometriye izin vermekle suçlanamaz. Ama aslında verse bile suçlanamaz. Çünkü Kant’ın geometriyi de yalnızca görüngüye sınırlayan ve realite ile ilgisini koparan ‘kendinde-şey’i görelilik kuramının istediği ‘nesnel fizikselliğe’ olanak tanımaz ve Kant’ın kabul edeceği ‘her’ geometri yalnızca imgesel, görüngüsel, öznel bir ‘geometri’ olur. Kant’ın öznelciliğinin gözardı edilmesi hiç kuşkusuz onun dizgesini bütünüyle başka birşeye çevirir, Aşkınsal Felsefe solipsistik kimliğini yitirir.

Ama Kant’ın sanılarının tersine, geometri ne olgusallığa ilgisizdir, ne de temellerinde sentetiktir. İşin gerçeği ‘doğru çizgi’nin ‘en kısalık’ özelliğini kapsadığı, ve geometrinin belitlerinin hiçbir biçimde bireşimli olmadıklarıdır. Geometrik belitte söz konusu olan ‘DOĞRULUK’ niteliği değil, ama ‘DOĞRU ÇİZGİ’dir, ve doğru çizgi özsel olarak uzunluktur, NİCELİKtir (Kant sözcüklere açıkça dikkat etmez — ya da, nicelik kavramından kaçınması gerektiğini görür). Kant’ın doğru çizgide kapsanmadığını ve kavrama dışardan getirilmesi gerektiğini vurguladığı şey bu nicelik kategorisidir. Ama doğru çizgi uzaysallığın en yalın biçimi olarak genelde niceliktir. Doğru çizgi, uzayın saltık olumsuzlanmasını anlatan, tüm uzayı kendi dışına atan ve uzay ile ilişkisi yalnızca bu olumsuzlama olan ‘nokta’dan ayrı olarak, en yalın uzaysal belirlenimdir, ilk uzaysal kategoridir. Uzunluk (ya da kısalık) dışında hiçbir belirlenimi yoktur, ve başka bir bağlamda boyut denilen şeydir. Salt doğru çizgi olarak, dışında başka herhangi bir nokta ile, düzlem vb. ile ilişki içinde değildir (eğrilik dolaysızca bir düzleme geçildiğini gösterir). Bu yalınlık içinde, doğru çizgi niceliğin arı biçimidir, ‘en’ yalın, eş deyişle ‘en’ küçük niceliktir, ve çizgi durumunda ‘en’ küçük hiç kuşkusuz ‘en’ kısa olandır. Nicelik çizgiye dışardan bir ‘bireşim’ yoluyla katılan bir eklenti değil, tersine ‘en kısa uzunluk’ belirlenimi ile doğru çizginin mantıksal olanağıdır ve ‘çözümsel’ sözcüğüne verilen mantıksal anlama eksiksiz olarak karşılık düşer.

Buna karşı irrasyonalist tutum ‘Kısa olan eğri olandır’ der. Bunun bir abartma olduğunu, gerçekte böyle birşeyin ileri sürülmediğini düşünmemeliyiz, çünkü irrasyonalizm bu çelişki nedeniyle irrasyonalizmdir, ve bu sapık önesürümü yadsıdığı zaman, geriye karşı çıkılacak hiçbirşey kalmaz. Geodezik bir eğridir, ve küre yüzeyinde en kısa çizgi koşulunu yalnızca o yerine getirir. Bu ussaldır. Ama geometrinin ‘non-Euclidean’ olması için bu eksiksiz olarak ussal olan belirlenimler uygun değildir. Bunun için özellikle eğri çizginin ‘doğru’ olduğunun ileri sürülmesi gerekir! Ve sürülür! Yoksa geometri non-Euklidean olmayacak, usdışı olmayacaktır! Ussal olacaktır.

Göreci irrasyonalizmin savunucuları Geometriyi irrasyonalize etmek için koşutluk konutlamasını reddetmenin yeterli olmadığını görürler ve beşincinin yanında ikinci konutlamanın, ‘doğru çizgi’ konutlamasının da reddedilmesi gerektiğini ileri sürerler. Burada bu tutuma açıkça bönlüğün eşlik ettiğini görürüz, çünkü Geometriyi yoketmek için yalnızca ikinci konutlamayı, ya da yalnızca birinci konutlamayı, ‘‘herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya doğru bir çizgi çizilebilir’’ önermesini reddetmek yeterlidir: Doğru çizgiyi çürütmeksizin koşutluk belitini çürütmeye çalışmak önce birincinin çürütülmesine geri teper.*

*Geometri konusunda sofistlerin kendileri denli bayat olan, ama bayat oldukları denli çocuksu da olan düşünceler modern çözümlemelerde hiçbir zaman eksik olmaz. Euklides’in belitleri ile yetinmeyerek, Hilbert kendi ‘belit-kümeleri’ni getirir ve bunlardan bağlantı belitleri (Axiome der Verknüpfung) arasında şöyle bir önerme de bulunur: ‘‘I.3. Bir doğru çizgide her zaman en az iki nokta vardır’’ :: ‘‘Auf einer Geraden gibt es stets wenignstens zwei Punkte.’’ Bu ‘noktalar’ sonsuz küçüklükler, ya da Euklides’in ‘‘hiçbir parçası olmayan’’ları, ya da ‘‘uzayın olumsuzlamaları’’ değildirler. Çünkü bu sonuncular sonsuz çoklukta bile olsalar yanyana dizildiklerinde bir çizgi değil ama ancak bir nokta oluşturacaklardır. Gene de, bir çizgi yalnızca iki noktadan oluşabiliyorsa, başka bir açıklama daha verilebilir ve söz konusu noktalar kurşun kalem ya da tebeşir noktaları olarak görülebilir. Sonsuz küçüklüğü (ve büyüklüğü) matematikten süren Hilbert’in sonsuz küçüklüğün kendisinden başka birşey olmayan ‘noktayı’ bağışlayacağını beklememek gerekir. Hilbert aynı yerde (Grundlagen der Geometrie, Leibzig ve Berlin, 1930, s. 180) düzlemin tanımını şöyle verir: ‘‘Düzlem nokta denilen şeylerin bir dizgesidir’’ :: ‘‘Die Ebene ist ein System von Dingen, welche Punkte heißen.’’ Hilbert ‘‘nokta’’ demede bile duraksar: ‘‘nokta denilen şey.’’ Euklides’in tanımındaki ‘‘parçası olmayan’’ şey hiç kuşkusuz bir ‘‘şey’’ değildir.

Bir geodezik, ne denli küçük olursa olsun, isterse sonsuz küçüklükte olsun, bir çizgi olduğu sürece bir eğridir, bir değil ama iki düzlemi tanımlar (küre yüzeyi ve büyük daire). Ve bir geodezik sezgisel olarak, imgesel olarak bir küre ve bir ekvator tasarımlarına ulaşabilen her insan beyni için yalnızca ve yalnızca açık ve seçiktir. Ama bir ‘doğru çizgi’nin en sonunda kendi üzerine dönüp bir daire ‘oluşturması,’ bu saçmalığı ileri sürenlerin de kabul ettikleri gibi, hiç kuşkusuz doğal sezgiye bile aykırıdır. Ve gene de sezgiye-aykırılıkta, bu irrasyonalizmi satabilmek için, bir aptallık değil ama derin bir bilgeliğin yattığı imlenir. Burada gerçekten de derin bir şeyle karşılaşırız. Ama ne denli derinse o denli karanlıktır. Bu usdışına başvurulur, çünkü ikinci konutlamanın yadsınması görelilik kuramı için, evrenin sonlu bir ‘küre’ olduğunun ileri sürülebilmesi ve buna ‘geometrik’ bir destek yaratabilmek için, saltık olarak zorunludur.

Matematiksel olarak n boyutta çalışabiliriz. Ama bunların edimsel uzay boyutları oldukları sanısı ancak düşüncesine, usuna güven duygusunu bütünüyle yitirmiş bir kuşkuculuğa yaraşır. Sorun özellikle doğa bilimleri durumunda salt biçimsel, salt mantıksal değildir: Mantıksal olan o denli de olgusallığı, varoluşu ilgilendirir. Ve geometrinin konutlamaları özellikle varoluşu ilgilendiren önermelerdir.

Geliştiriliyor.