Hilbert — ‘Belitler’

Hilbert’in aşağıdaki 21 Beliti Öklides’in verdiklerine almaşıklar olmak üzere tasarlanmışlardır. Bunlar konuya yabancı kafalarda salt anlaşılmalarını ilgilendiren sorunlar yüzünden belirli bir şaşkınlık yaratmış olsalar da, lütfen bağışlayın, birer budalalık ürünüdürler. İnsanların usdışına inanma gibi bir eğilimleri, giderek bu eğilimi bir fanatizme yükseltme gibi bir yetenekleri vardır. Bu kendi doğasına karşı dönme mantıkta olduğu gibi estetik ve ahlak boyutlarında da modern dönemi tanımlayan özelliktir.

Hilbert’in belitler kümesinde altı tanımsız ya da ilkel terim vardır. Bunlar tanımsızdır çünkü ‘‘Kişi her zaman — noktalar, doğru çizgiler ve düzlemler yerine — masalar, sandalyeler, bira bardakları diyebilmelidir.’’ Hilbert geometriyi fizikselleştirme yolundadır. Bir dostunun böyle bir şeye çok gereksinimi vardır.

İLİNTİ BELİTLERİ

1) Ayrı A ve B noktaları verildiğinde, hem A hem de B ile ilintili en azından bir a çizgisi vardır.
2) Böyle en azından bir çizgi vardır.
3) Her çizginin onunla ilintili en azından üç noktası vardır. Aynı çizgi üzerinde olmayan en azından üç nokta vardır.
4) Eğer A, B ve C aynı çizgi üzerinde olmayan üç ayrı nokta ise, her üçü ile de ilintili en azından bir düzlem vardır.
5) Böyle en çoğundan bir düzlem vardır.
6) Eğer A, B bir d düzlemi üzerinde yatan ç çizgisi üzerindeki ayrı noktalar ise, o zaman ç’nin tüm noktaları d üzerinde yatar. ‘d ç üzerinde yatar, ç d içinden geçer’ diye yazılır.
7) Eğer bir nokta iki ayrı düzlem üzerinde yatıyorsa, en azından bir başka nokta her iki düzlem üzerinde yatar.
8) Aynı düzlem üzerinde olmayan en azından dört nokta vardır.

DOĞRUSAL DÜZLEM BELİTLERİ

9) Eğer a -< b ise, o zaman a ¹ b.
10) Eğer a -< b ve b -< c ise, o zaman a -< c.
11) Eğer a ¹ b ise, o zaman a -< b, b -< a nın en azından biri geçerlidir.

ARADALIK BELİTLERİ

12) Eğer [ABC] doğru ise, o zaman A, B, C ayrıdırlar.
13) Eğer [ABC] doğru ise, o zaman [BAC] yanlıştır.

DÜZEN BELİTLERİ

14) Eğer C, D AB çizgisi üzerindeki ayrı noktalar iseler, o zaman A CD çizgisi üzerindedir.
15) Eğer A, B ayrı noktalar iseler, [ABP] olacak yolda en azından bir P noktası vardır.
16) Aynı çizgi üzerinde olmayan (en azından) üç A, B, C noktası vardır.
17) Eğer A, B, C ayrı noktalar iseler ve A BC çizgisi üzerinde değilse ve eğer [BCD], [CEA] ise, o zaman [AFB] olacak yolda DE çizgisi üzerinde en azından bir F noktası vardır.

BOYUT BELİTLERİ

18) Tüm noktalar aynı düzlemde değildirler.
19) Tüm noktalar aynı uzaydadırlar.
20) S₃ te olmayan bir nokta vardır.

Tanımsız öğelere noktalar, çizgiler ve düzlemler denir ve bunlar hep birlikte uzayı yaparlar. Bu Hilbert’in özellikle vurguladığı ve çok önem verilen bir noktadır. (Hobbes da uzayı uzunluktan yapıyor, uzunluğun kendisinin daha şimdiden uzayı öngerektirdiğini düşünmek bile istemiyordu.) Hilbert’in belitleri yeniden ele alma yönteminin genel ve biricik olanağı budur. Düzlemi tanımlamak için üçgenler kullanılır, üçgen önce, düzlem sonradır, vb.

Hilbert’i anlamak için empati yapmak zorundayız. Bu kesinlikle güç bir iş değildir. Nokta uzaysız varolur, çizgi uzaysız varolur, ve yüzey ve giderek oylum da uzaysız varolurlar. Dahası, bunlar soyut ya da kavramsal noktalar vb. değil ama fiziksel noktalar vb.dirler. Bu analitik düşüncenin iyi bir uygulamasıdır çünkü Hilbert bir kez daha çözümlemenin soyut evrensellere götürmesinin önüne geçmek ve fiziksel tekilliklere götürmesini güvence altına almak için bunun yeterli olduğunu düşünür. Süreklilik kategorisini yoketmek için fiziksel birimler en uygun araçlardır. Ve çizginin kendisi süreklilikten başka birşey olmasa da, 17 ve 18 nolu Belitler bu durumu çözmek için yeterlidir: Çizgiler noktalardan oluşur. Fiziksel olarak. Noktalar mı? Onlar da çizgilerden.

GELİŞTİRİLİYOR