|
|
Çözümlemeler ‘—’ tarafından öncelenirler ve bütünüyle Hilbert’in metinden yapılan özetlemelerdir. |
Hilbert |
|
‘‘Bu önemsiz notalarda oyalanmak sıkıcıdır, ama çocuklaşma zamanları da
vardır.’’ |
|
| Hilbert’in aşağıdaki yazısındaki inandırıcılığı ve saygınlığı yalnızca ve yalnızca okurun kendi matematiksel kavramlarına güveninin zayıflığı üzerine dayanacaktır. |
|
— Weierstrass ‘‘sonsuz küçüklük çevresindeki tüm karışık tasarımları uzaklaştırdı.’’ |
| 1. Derine işleyen eleştirisinin bir sonucu olarak, Weierstrass matematiksel çözümleme için sağlam bir temel sağlamıştır. Birçok kavramı, özel olarak en-küçük, işlev ve ayrışımlı artık kavramlarını durulaştırarak, sonsuz küçüklük kalkülüsünde henüz bulunan kusurları ortadan kaldırdı, sonsuz küçüklük çevresindeki tüm karışık tasarımları uzaklaştırdı, ve böylelikle o kavramdan doğan güçlükleri çözdü. Eğer bugün çözümlemede kesirsiz sayı ve sınır kavramları üzerine dayalı olan tümdengelimli yöntemleri kullanmada tam anlaşma ve pekinlik varsa, ve eğer ayrışımlı ve tümlev eşitlikler kuramının en karmaşık sorularında, değişik sınır türlerinin en ustaca ve değişik bileşimlerinin kullanımına karşın, gene de elde edilen sonuçlar açısından görüş birliği varsa, o zaman işlerin bu mutlu durumu birincil olarak Weierstrass’ın bilimsel çalışmasından ötürüdür. | 1. As a result of his penetrating critique, Weierstrass has provided a solid foundation for mathematical analysis. By elucidating many notions, in particular those of minimum, function, and differential quotient, he removed the defects which were still found in the infinitesimal calculus, rid it of all confused notions about the infinitesimal, and thereby completely resolved the difficulties which stem from that concept. If in analysis today there is complete agreement and certitude in employing the deductive methods which are based on the concepts of irrational number and limit, and if in even the most complex questions of the theory of differential and integral equations, notwithstanding the use of the most ingenious and varied combinations of the different kinds of limits, there nevertheless is unanimity with respect to the results obtained, then this happy state of affairs is due primarily to Weierstrass’s scientific work. |
|
2. Ve gene de Weierstrass’ın sonsuz küçüklük kalkülüsü için sağladığı temele karşın, çözümlemenin temelleri konusundaki tartışmalar sürmektedir. |
2. And yet in spite of the foundation Weierstrass has provided for the infinitesimal calculus, disputes about the foundations of analysis still go on. |
|
3. Bu güçlükler sona ermemiş çünkü sonsuz kavramının matematikte kullanıldığı biçimiyle anlamı hiçbir zaman tam olarak durulaştırılmamıştır. Weierstrass’ın çözümlemesi gerçekten de sonsuz büyüğü ve sonsuz küçüğü onlar üzerine bildirimleri sonlu büyüklükler arasındaki ilişkiler [üzerine bildirimlere] indirgeyerek ortadan kaldırdı. Gene de sonsuz henüz sonsuz gerçek sayıları tanımlayan sayısal dizide ve hep birden varolan tamamlanmış bir bütünlük olarak düşünülen gerçek sayı dizgesinin kavramında kendini gösterir. |
3. These disputes have not terminated because the meaning of the infinite, as that concept is used in mathematics, has never been completely clarified. Weierstrass’s analysis did indeed eliminate the infinitely large and the infinitely small by reducing statements about them to [statements about] relations between finite magnitudes. Nevertheless the infinite still appears in the infinite numerical series which defines the real numbers and in the concept of the real number system which is thought of as a completed totality existing all at once. |
|
— ‘‘Sonsuz’’ Kavramı Matematikte Hiçbir Zaman Tam Olarak Durulaştırılmamıştır Hilbert’in sözlerini kendisinin istediği gibi matematiksel sağınlık içinde almalıyız. ‘Hiçbir zaman’ tam olarak ‘hiçbir zaman’ demektir. Hilbert onun için anlaşılır olmayan bir kavramın başkaları için de anlaşılır olmadığını düşünmektedir. Doğal usunu dinleyerek Kavramın evrenselliği için isteminde haklıdır, ama evrenselliğini istediği şeyin doğasını biliyor görümez. Hilbert için bir bilmece olan sorunu çözenler vardır. Aslında çözüm çok eskilere gider. Aristoteles’in sonsuzun bir nicelik değil ama bir nitelik olduğu bildirimi matematikte kullanılan sonsuzluğun, bir sayı olduğu düzeye dek, gerçekte ancak ve ancak bir sonluluk olabileceği sonucuna götürür. Gene de Hilbert sorunun üzerine felsefesiz gitmede, aslında felsefe pahasına gitmede diretir. |
| 4.
Çözümleme için temelinde, Weierstrass sonsuzun kavramını içeren mantıksal
tümdengelim biçimlerini koşulsuzca kabul etti ve yineleyerek kullandı —
örneğin belli bir özelliği olan tüm gerçek sayılar ele alındığı zaman
ya da belli bir özelliği olan gerçek sayıların varolduğu ileri sürüldüğü
zaman olduğu gibi. |
4. In his foundation for analysis, Weierstrass accepted unreservedly and used repeatedly those forms of logical deduction in which the concept of the infinite comes into play, as when one treats of all real numbers with a certain property or when one argues that there exist real numbers with a certain property. |
| 5. Bu
yüzden sonsuz Weierstrass’ın kuramında bir başka kılık altında yeniden ortaya
çıkabilir ve böylece onun eleştirisi tarafından dayatılan sağınlıktan kaçabilir.
Öyleyse kökten çözmemiz gereken şey az önce belirtilen anlamda sonsuzun
sorunudur. Tıpkı sonsuz küçüklük kalkülüsünün sınır süreçlerinde sonsuz
büyük ve sonsuz küçük anlamında sonsuzun
yalnızca bir eğretileme olarak çıkmış olması gibi, onun
tümdengelimli yöntemlerde kullanımını imleyen sonsuz
bir büyüklük anlamında sonsuzun bir yanılsama olduğunu da
anlamalıyız. Tıpkı sonsuz küçüklük ile işlemlerin tam olarak aynı sonucu
veren ve tam olarak aynı zarif biçimsel ilişkilere götüren sonlu ile değiştirilmesi
gibi, genel olarak sonsuz üzerine dayalı tümdengelimli yöntemler de tam
olarak aynı sonuçları veren, e.d., aynı tanıtlama zincirlerini ve formül
ve teoremlere ulaşmanın aynı yöntemlerini olanaklı kılan sonlu yordamlar
ile değiştirilmelidir. |
5. Hence the infinite can reappear in another guise in Weierstrass’s theory and thus escape the precision imposed by his critique. It is, therefore, the problem of the infinite in the sense just indicated which we need to resolve once and for all. Just as in the limit processes of the infinitesimal calculus, the infinite in the sense of the infinitely large and the infinitely small proved to be merely a figure of speech, so too we must realize that the infinite in the sense of an infinite totality, where we still find it used in deductive methods, is an illusion. Just as operations with the infinitely small were replaced by operations with the finite which yielded exactly the same results and led to exactly the same elegant formal relationships, so in general must deductive methods based on the infinite be replaced by finite procedures which yield exactly the same results; i.e., which make possible the same chains of proofs and the same methods of getting formulas and theorems. |
|
— ‘‘Sonsuz’’ Bir Eğretilemedir |
| 6. Kuramımın hedefi en temel anlamda matematiksel yöntemlerin pekinliğini sağlamaktır. Bu giderek sonsuz küçüklük kalkülüsünün bunalımlı dönemi sırasında bile başarılmış olmayan bir görevdir. Bu kuram böylece Weierstrass’ın çözümleme için kendi temeli yoluyla başarmayı umduğunu ve yerine getirme yönünde zorunlu ve önemli bir adımi atmış olduğu şeyi tamamlamalıdır. | 6. The goal of my theory is to establish once and for all the certitude of mathematical methods. This is a task which was not accomplished even during the critical period of the infinitesimal calculus. This theory should thus complete what Weierstrass hoped to achieve by his foundation for analysis and toward the accomplishment of which he has taken a necessary and important step. |
| 7. Ama sonsuzun kavramını durulaştırma konusuyla ilgili çok daha genel bir bakış açısı vardır. Dikkatli bir okur matematik yazınının kaynaklarını sonsuzda bulan ahmaklık ve saçmalıklarla dolup taştığını bulacaktır. Örneğin, sanki sınırlayıcı bir koşulmuş gibi, sıkı matematikte yalnızca sonlu bir sayıda tümdengelimin kabul edilebilir olduğunda direten yazarlarla karşılaşırız — sanki herhangi biri çıkıp bunların sonsuz bir sayısını üretmeyi başarmış gibi. | 7. But a still more general perspective is relevant for clarifying the concept of the infinite. A careful reader will find that the literature of mathematics is glutted with inanities and absurdities which have had their source in the infinite. For example, we find writers insisting, as though it were a restrictive condition, that in rigorous mathematics only a finite number of deductions are admissible in a proof as if someone had succeeded in making an infinite number of them. |
|
8.
Yine çoktandır terkedildiklerini sandığımız eski karşıçıkışlar değişik
biçimlerde yeniden ortaya çıkarlar. Örneğin yakınlarda görünen biri şudur:
Gerçi bir kavramı herhangi bir risk olmaksızın, e.d. çelişkiler yaratmaksızın
getirmek olanaklı olabilse de, ve üstelik getirilmesinin hiçbir çelişkinin
doğmasına neden olmadığı tanıtlanabilse bile, gene de kavramın getirilmesi
böylelikle aklanmış olmaz. Bu tam olarak bir zamanlar karmaşık-imgesel
sayılara karşı getirilen şu aynı karşıçıkış değil midir: ‘‘Doğru, kullanımları
çelişkilere götürmez; ama gene de getirilmeleri yersizdir, çünkü imgesel
büyüklükler yoktur’’? Eğer, tanıtlayıcı tutarlıktan ayrı olarak, bir ölçmenin
aklanması sorusu herhangi bir anlam taşıyacaksa, ancak ölçmenin birlikte
yer alan başarının eşliğinde olup
olmadığını saptamaktan oluşabilir. Böyle başarı gerçekte özseldir, çünkü
başka yerlerde olduğu gibi matematikte de başarı
en yüksek mahkemedir ki kararlarına herkes boyun eğer.
|
8. Also old objections which we supposed long abandoned still reappear in different forms. For example, the following recently appeared: Although it may be possible to introduce a concept without risk, i.e., without getting contradictions, and even though one can prove that its introduction causes no contradictions to arise, still the introduction of the concept is not thereby justified. Is not this exactly the same objection which was once brought against complex-imaginary numbers when it was said: ‘‘True, their use doesn’t lead to contradictions. Nevertheless their introduction is unwarranted, for imaginary magnitudes do not exist.’’? If, apart from proving consistency, the question of the justification of a measure is to have any meaning, it can consist only in ascertaining whether the measure is accompanied by commensurate success. Such success is in fact essential, for in mathematics as elsewhere success is the supreme court to whose decisions everyone submits. |
|
—
Matematik De Pragmatik Bir Bilimdir |
|
9.
Kimi insanların hayaletler görmesi gibi, bir başka yazar ne olursa
olsun hiçbir bildirimin yapılmadığı yerde bile çelişkiler görüyor gibi
görünür, örneğin ‘‘tutarlı olarak işlev görmesini’’ özel bir sayıltı olarak
aldığı somut duyum dünyasında. Benim
kendim her zaman yalnızca bildirimlerin, ve tümdengelimler yoluyla bildirimlere
götürdükleri ölçüde önsavların birbirleri ile çelişebileceklerini kabul
etmişimdir. Olguların ve olayların kendilerinin
çelişki içinde olabilecekleri görüşü bana dikkatsiz düşünmenin
birincil bir örneği olarak görünür.
|
9. As some people see ghosts, another writer seems to see contradictions even where no statements whatsoever have been made, viz., in the concrete world of sensation, the ‘‘consistent functioning’’ of which he takes as special assumption. I myself have always supposed that only statements, and hypotheses insofar as they lead through deductions to statements, could contradict one another. The view that facts and events could themselves be in contradiction seems to me to be a prime example of careless thinking. |
|
— Hilbert İçin Çelişki Görgül / Olgusal Değil Ama Salt Düşünseldir |
|
10.
Yukarıdaki gözlemlerin biricik amacı sonsuzun doğasının belirleyici
durulaştırmasının, yalnızca özelleşmiş bilimsel ilgilerin alanına ait
olmak yerine, insan anlağının kendisinin vakarı için gerekli olduğu
olgusunu göstermektir.
|
10. The foregoing remarks are intended only to establish the fact that the definitive clarification of the nature of the infinite, instead of pertaining just to the sphere of specialized scientific interests, is needed for the dignity of the human intellect itself. |
|
11.
Çok eski zamanlardan bu yana, sonsuz insanları başka her sorudan daha
çok heyecana düşürmüştür. Hemen hemen başka hiçbir düşünce insan düşüncesini
böylesine verimli olarak uyarmamıştır. Gene de başka hiçbir kavram
ondan daha çok durulaştırma gereksiniminde değildir.
|
11. From time immemorial, the infinite has stirred men’s emotions more than any other question. Hardly any other idea has stimulated the mind so fruitfully. Yet, no other concept needs clarification more than it does. |
|
— Sonsuzluk Kavramı Ve Heyecan [‘Sonsuzluk kavramının yarattığı heyecanı sonsuzu bir nicelik olarak düşünen bilinç çok geçmeden bir cansıkıntısı olarak yaşadığını görür.] |
|
12.
Sonsuzun doğasını durulaştırma işine dönmeden önce, kısaca sonsuza
gerçekte hangi anlamın verildiğini belirtmeliyiz. İlkin fizikten
ne öğrenebileceğimize bakalım. Kişinin doğal olaylar ve özdek
konusundaki ilk saf izlenimi kalıcılık, süreklilik
izlenimidir. Bir parça metali ya da belli bir oylumdaki sıvıyı irdelediğimiz
zaman, sınırsızca bölünebilir oldukları, en küçük parçalarının bütün ile
aynı özellikleri sergilediği izlenimini ediniriz. Ama araştırma yöntemlerinin
özdek fiziğini yeterince inceltildiği her yerde, bilimciler çabalarının
eksikliğinden değil ama şeylerin doğasının kendisinden doğan bölünebilirlik
sınırları ile karşılaşmışlardır. Buna göre giderek modern
bilimin eğilimini sonsuz küçükten kurtulma olarak bile yorumlayabiliriz.
Eski natur non facit saltus ilkesi yerine, giderek karşıtını ileri
sürebiliriz: ‘‘doğa sıçramalar yapar.’’
|
12. Before turning to the task of clarifying the nature of the infinite, we should first note briefly what meaning is actually given to the infinite. First let us see what we can learn from physics. One’s first naive impression of natural events and of matter is one of permanency, of continuity. When we consider a piece of metal or a volume of liquid, we get the impression that they are unlimitedly divisible, that their smallest parts exhibit the same properties that the whole does. But wherever the methods of investigating the physics of matter have been sufficiently refined, scientists have met divisibility boundaries which do not result from the shortcomings of their efforts but from the very nature of things. Consequently we could even interpret the tendency of modern science as emancipation from the infinitely small. Instead of the old principle natura non facit saltus, we might even assert the opposite, viz., ‘‘nature makes jumps.’’ |
|
—
Sonsuzluk Olgusal Olarak İrdeleniyor: Görgül Özdek Sonsuza Bölünebilir
Mi? |
|
13.
Tüm özdeğin ‘‘atomlar’’ denilen ve bileşimleri ve bağıntıları tüm
mikroskopik nesneler türlülüğünü üreten çok küçük yapı taşlarından oluşmuş
olduğu yaygın olarak bilinir. Gene de fizik özdeğin atomsallığında durmadı.*
Geçtiğimiz yüzyılın sonunda ilk bakışta çok daha tuhaf görünen elektrik
atomsallığı ortaya çıktı. O güne dek bir sıvı olarak düşünülmüş
ve sürekli etkin bir etmenin modeli olarak görülmüş olan elektriğin
o zaman pozitif ve negatif elektronlardan yapıldığı gösterildi.
|
13. It is common knowledge that all matter is composed of tiny building blocks called ‘‘atoms,’’ the combinations and connections of which produce all the variety of macroscopic objects. Still physics did not stop at the atomism of matter. At the end of the last century there appeared the atomism of electricity which seems much more bizarre at first sight. Electricity, which until then had been thought of as a fluid and was considered the model of a continuously active agent, was then shown to be built up of positive and negative electrons. |
|
— Özdeğin Atomsallığı [‘Atom’ asıl kavramında modern fiziğin çekirdek ve elektronlardan oluşan görgül tasarımı değildir. Gene de modern yazarlar hiç de seyrek olmamak üzere ‘top’ ya da ‘güneş dizgesi’ biçiminde tasarımlanan atomun bölünebilirliğinin gösterilmesiyle antik Atom kavramının çürütüldüğünü ve böylece modern düşüncenin antik düşünceye karşı üstünlüğünün gösterildiğine inanırlar. Gerçekte bu durum modern görgül ya da analitik düşüncenin henüz çocuksu bir düşünce olduğunun ve analitik oldukça her zaman böyle kalacağının tanıtıdır.] |
|
14.
Özdek ve elektriğe ek olarak, fizikte kendisi için sakınım yasasının
geçerli olduğu bir başka kendilik, e.d. erke vardır. Ama erkenin bile
sonsuz bölünebilirliği koşulsuz olarak kabul etmediği doğrulanmıştır.
Planck erke nicelerini keşfetmiştir.*
|
14. In addition to matter and electricity, there is one other entity in physics for which the law of conservation holds, viz., energy. But it has been established that even energy does not unconditionally admit of infinite divisibility. Planck has discovered quanta of energy. |
|
*[Yine vurgulanan şey özdeğin olduğu gibi erkenin de sonsuza dek bölünemez olduğu, belli bir quantum sınırında bölünebilmenin sonuna ulaşıp orada kaldığıdır. Ama bu hiç kuşkusuz Kant’ın da usun bir çatışkısı diyecek olduğu şeydir. Çünkü her quantum / nice, salt belirli bir nicelik olduğu için, bölünmeyi kabul eder. Analitik düşünce çatışkıyı görür. Kant çatışkının çözülemez bir sorun yarattığını söyler. Analitik düşünce yanlardan birini doğrular. Ve doyum içinde uslamlamasını sürdürür. Ama eğer karşı savı da algılayacak olursa, Paradoks! diye bağırır. Paradoks çatışkının analitik Anlak için çözümsüz biçimidir.] |
|
15.
Bu yüzden, sonsuz ölçüde küçük olanı olgusallaştırmak için gerekli
olan bölünebilirlik türünü kabul eden türdeş
bir süreklilik [continuum] olgusallıkta hiçbir yerde bulunmaz.
Bir süreklinin sonsuz bölünebilirliği yalnızca düşüncede varolan
bir işlemdir. Yalnızca bir düşüncedir ki gerçekte doğa üzerine gözlemlerimizin
ve fiziksel ve kimyasal deneylerimizin sonuçları tarafından çürütülür.
|
15. Hence, a homogeneous continuum which admits of the sort of divisibility needed to realize the infinitely small is nowhere to be found in reality. The infinite divisibility of a continuum is an operation which exists only in thought. It is merely an idea which is in fact impugned by the results of our observations of nature and of our physical and chemical experiments. |
|
— Türdeş Süreklilik Olgusallıkta Bulunmaz; Sonsuza Bölünebilirlik Bir Yanılsamadır |
|
16.
Sonsuzun doğada bulunup bulunmadığı sorusu
ile karşılaştığımız ikinci yer bir bütün olarak evrenin irdelemesidir.
Burada sonsuz ölçüde büyük birşeyi kapsayıp kapsamadığını belirlemek için
evrenin genişliğini irdelememiz gerekir.
Ama yine burada modern bilim, özellikle gökbilim, soruyu yeniden açmıştır
ve çözmeye çalışmaktadır — metafiziksel kurgunun özürlü yöntemi ile değil,
ama deney üzerine ve doğa yasalarının uygulaması üzerine dayalı nedenler
yoluyla.* Burada da sonsuzluğa yönelik ciddi karşıçıkışlar bulunmuştur.
Öklides geometrisi
zorunlu olarak uzayın sonsuz olduğu konutlamasına götürür.
Ama Öklides geometrisinin gerçekten de tutarlı bir kavramsal dizge olmasına
karşın, bundan Öklides geometrisinin olgusallıkta
edimsel olarak geçerli olduğu sonucu çıkmaz. Uzayın
Öklides geometrisine uygun olup olmadığı ancak gözlem ve deney yoluyla
belirlenebilir.** Uzayın sonsuzluğunu arı kurgu yoluyla tanıtlama
girişimi kaba yanılgılar kapsar. Belli bir uzay parçasının dışında her
zaman daha çok uzay olması olgusundan yalnızca uzayın sınırsız olduğu
sonucu çıkar, sonsuz olduğu değil. Sınırlanmamışlık ve sonluluk
bağdaşabilirdirler. Eliptik denilen geometride, matematiksel araştırma
doğal bir sonlu evren modeli sunar.*** Bugün Öklides geometrisinin
terkedilmesi yalnızca matematiksel ya da felsefi bir kurgu değildir, ama
başlangıçta evrenin sonluluğu sorusu ile hiçbir ilgileri olmayan irdelemeler
tarafından ileri sürülmüştür. Einstein Öklides
geometrisinin terkedilmesi gerektiğini göstermiştir. Einstein kendi yerçekimi
kuramının temelinde, evrenbilimsel soruları ele alır ve sonlu
bir evrenin olanaklı olduğunu gösterir.**** Dahası, gökbilimin
tüm sonuçları evrenin eliptik olduğu konutlaması ile eksiksiz olarak bağdaşabilirdir.
|
16. The second place where we encounter the question of whether the infinite is found in nature is in the consideration of the universe as a whole. Here we must consider the expanse of the universe to determine whether it embraces anything infinitely large. But here again modern science, in particular astronomy, has reopened the question and is endeavoring to solve it, not by the defective means of metaphysical speculation, but by reasons which are based on experiment and on the application of the laws of nature. Here, too, serious objections against infinity have been found. Euclidean geometry necessarily leads to the postulate that space is infinite. Although euclidean geometry is indeed a consistent conceptual system, it does not thereby follow that euclidean geometry actually holds in reality. Whether or not real space is euclidean can be determined only through observation and experiment. The attempt to prove the infinity of space by pure speculation contains gross errors. From the fact that outside a certain portion of space there is always more space, it follows only that space is unbounded, not that it is infinite. Unboundedness and finiteness are compatible. In so-called elliptical geometry, mathematical investigation furnishes the natural model of a finite universe. Today the abandonment of euclidean geometry is no longer merely a mathematical or philosophical speculation but is suggested by considerations which originally had nothing to do with the question of the finiteness of the universe. Einstein has shown that euclidean geometry must be abandoned. On the basis of his gravitational theory, he deals with cosmological questions and shows that a finite universe is possible. Moreover, all the results of astronomy are perfectly compatible with the postulate that the universe is elliptical. |
| —
Öklides Geometrisi: Mantıksal Olarak Uzay Sonsuzdur — Öklides Geometrisinin Gerçekliğini Gözlem Ve Deney Doğrulamalıdır [Burada Hilbert bir kez daha tipik pozitivist konumu doğrular: Kuram olgu tarafından doğrulanmalıdır. Ama olgunun kendisinin özsel olarak kavramsal olduğu gerçeği bizi kuramın ancak kuram tarafından, mantığın ancak mantık tarafından sınanabileceği kavrayışına götürür. Hilbert pozitivizmin bu yalın mantıksal gerçeği gözden kaçıran saflığının bilincinde değildir.] — Öklides Geometrisini Terketmenin Gerekçeleri — Einstein: Öklides Geometrisinin Terkedilmesi Gerektiğini Göstermiştir |
|
*Hilbert bilinen önyargı üzerine oynuyor. ‘Deneyler’ yoluyla, ‘gökbilimsel gözlem’ yoluyla ‘sonsuzluk’ sorununun çözülebileceğinden söz etmek hiç kuşkusuz kötü metafizik ya da mantıksızlık denilen şey olmalıdır. **Yine istenen şey kavramsal bir dizgenin görgül veriler tarafından doğrulanmasıdır. Felsefe, tersine, görgül olanın mantıksal olarak doğrulanması gerektiğini ileri sürer. Aslında Ptolemi’den Galileo’ya, Kepler’den Newton’a dek soyut-kavramsal geometri olgusal-nesnel uzay üzerinde uygulanmış, ve deneysel-görgül olanın geometrik olan tarafından denetlendiği doğrulanmıştır (ya da yine de görgül olana üstünlük vereceksek, görgül olan geometrik ya da a priori olanı DIŞSAL OLARAK doğrulamıştır, bu olanaklıdır çünkü görgül olan en sonunda kavramsal bir yapıdadır). (Kategorilerin görüngüyü belirlemesi bağlamında Kant’a göndermede bulunmayı aklayabilecek tek şey felsefenin genel sorunlarının özellikle onun tarafından popülerleştirilmiş olması ve Avrupa felsefeciliğinin konuya yaklaşımlarında bir tür ölçün olarak özellikle onun formülasyonlarının kullanılmasıdır.) ***Eliptik geometri ya da Riemann geometrisi. Öklides geometrisine karşı ileri sürülen almaşıklardan biri. Uzayı bir kürenin yüzeyi olarak varsayar ve böylece Öklides geometrisinin bir küre yüzeyi üzerindeki dönüşümüdür. Hiç kuşkusuz bu geometri kendi alanında hiçbir biçmde usdışı değildir ve Öklides’in Öğeler’inin belitleri ile çelişmesi söz konusu değildir.. ****Hilbert nesnel olarak düşünmez, kavramın kendi mantığını izlemez, tersine olguları önceden verdiği yargıya göre yorumlar: Görgüllük biricik gerçeklik ölçütü olunca, hiç kuşkusuz ancak sonluluk doğrulanabilir, sonsuzluk değil (görgül olan kavramı gereği sonludur). Ya da, salt görgül-duyusal olarak tanıtlanabilecek olan doğrulanacaksa, Evren ancak sonlu olabilir. Ama bu saçmalığın sonsuzluğu Evrenin sonsuzluğu ile yarışabilir. Çünkü hiçbir görgül kanıt, gözlem, deneyim vb. evrenin ‘sonluluğunu’ dolaysızca göstermez, ve böylece sonluluğu ileri sürmenin kendisi de salt kuramsal bir tutumdur. Görgücülük sözcüğün en usdışı anlamında metafiziktir. |
|
17.
Evrenin sonlu olduğunu iki açıdan, e.d.,
sonsuz ölçüde küçük ve sonsuz ölçüde büyük açısından saptadık. Ama sonsuz
gene de düşünmemizde haklı bir yer dolduruyor, ve vazgeçilemez bir kavram
rolünü oynuyor olabilir. Durumun matematikte ne olduğunu görelim. İlkin
insan anlığının en arı ve en yalın ürününü, e.d. sayı
kuramını irdeleyelim. Sayı kuramının öğesel formüllerinin varsıl
türlülüğünden tek bir formülü, örneğin şu formülü irdeleyelim:
12 + 22 + 32 + . . . + n2 = 1/6n(n + 1)(2n + 1) |
17.
We have established that the universe is finite in two respects, i.e.,
as regards the infinitely small and the infinitely large. But it may
still be the case that the infinite occupies a justified place in our thinking,
that it plays the role of an indispensable concept. Let us see what the
situation is in mathematics. Let us first interrogate that purest and
simplest offspring of the human mind, viz., number theory.
Consider one formula out of the rich variety of elementary formulas of number
theory, e.g., the formula
12 + 22 + 32 +. . . + n2 = 1/6n(n + 1)(2n + 1) |
|
— Evren
Sonsuz Küçükte Ve Sonsuz Büyükte Sonludur [Hilbert ‘sonsuz ölçüde küçük’ ve ‘sonsuz ölçüde büyük’ birer sonludur der. Yazı hiçbir irdelemeye değmez olan bu türden çelişkilerle dolup taşar.] |
|
18.
n yerine ne olursa olsun herhangi bir tamsayı geçirebildiğimiz
için — örneğin n = 2 ya da n = 5 —, bu formül örtük olarak
sonsuz çoklukta önerme kapsar. Bu ırasal bir formüle özseldir. Formülün
aritmetiksel bir problemin çözümünü temsil edebilmesini sağlar ve tanıtı
için özel bir düşünceyi zorunlu kılar.
Öte yandan, şu bireysel sayısal eşitlikler
12 + 22 = 1/6 · 2 · 3 · 5 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1/6 · 5 · 6 · 11 yalnızca hesaplama yoluyla doğrulanabilirler ve bu yüzden bireysel olarak hiçbir özel önemleri yoktur. |
18.
Since we may substitute any integer whatsoever for n, for example
n = 2 or n = 5, this formula implicitly contains infinitely
many propositions. This characteristic is essential to a formula.
It enables the formula to represent the solution of an arithmetical problem
and necessitates a special idea for its proof.
On the other hand, the individual numerical equations
12 + 22 = 1/6 · 2 · 3 · 5 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1/6 · 5 · 6 · 11 can be verified simply by calculation and hence individually are of no especial interest. |
|
19.
Önemli ve verimli ideal öğeler
yönteminde sonsuzun kavramının bütünüyle ayrı ve bütünüyle benzersiz bir
anlayışı ile karşılaşırız. İdeal öğeler yöntemi giderek öğesel düzlem
geometride bile kullanılır. Düzlemin noktaları
ve doğru çizgileri başlangıçta olgusal, edimsel olarak varolan nesnelerdir.
Onlar için geçerli olan belitlerden biri bağıntı belitidir:
iki noktadan bir ve yalnızca bir doğru çizgi geçer. Bu belitten
iki doğru çizginin en çoğundan tek bir noktada kesiştikleri beliti
çıkar. İki doğru çizgi her zaman bir noktada kesişirler gibi bir teorem
yoktur, çünkü iki doğru çizgi pekala koşut olabilir.
Gene de ideal öğeleri,
e.d. sonsuz ölçüde uzun çizgileri ve sonsuzluktaki noktaları getirerek
iki doğru çizgi her zaman bir ve yalnızca bir noktada kesişirler teoreminin
evrensel olarak doğru çıkmasını sağlayabileceğimizi biliyoruz. Bu ideal
‘‘sonsuz’’ öğeler bağıntı yasaları dizgesini olanaklı olduğu ölçüde yalın
ve kolayca anlaşılır kılma üstünlüğünü taşırlar. Dahası, bir nokta ve
bir doğru çizgi arasındaki bakışım nedeniyle, geometri için o çok verimli
olan ikilik ilkesi doğar.
|
19. We encounter a completely different and quite unique conception of the notion of infinity in the important and fruitful method of ideal elements. The method of ideal elements is used even in elementary plane geometry. The points and straight lines of the plane originally are real, actually existent objects. One of the axioms that hold for them is the axiom of connection: one and only one straight line passes through two points. It follows from this axiom that two straight lines intersect at most at one point. There is no theorem that two straight lines always intersect at some point, however, for the two straight lines might well be parallel. Still we know that by introducing ideal elements, viz., infinitely long lines and points at infinity, we can make the theorem that two straight lines always intersect at one and only one point come out universally true. These ideal ‘‘infinite’’ elements have the advantage of making the system of connection laws as simple and perspicuous as possible. Moreover, because of the symmetry between a point and a straight line, there results the very fruitful principle of duality for geometry. |
|
— ‘İdeal Öğeler’; ‘Başlangıçta’ Reel Öğeler [‘İdeal öğeler’ anlatımı belitlerin, tanımların vb. ‘görgül’ kökenlerini vurgulamak için getirilir.] |
|
20.
İdeal öğelerin kullanımının bir başka örneği cebirin bir eşitliğin
köklerinin varoluşu ve sayısı konusundaki teoremleri yalınlaştırmaya hizmet
eden tanıdık karmaşık-imgesel büyüklükleridir.
|
20. Another example of the use of ideal elements are the familiar complex-imaginary magnitudes of algebra which serve to simplify theorems about the existence and number of the roots of an equation. |
|
21.
Tıpkı sonsuz çoklukta doğru çizginin, e.d. birbirlerine koşut olan
çizgilerin geometride bir ideal noktayı tanımlamak için kullanılmaları
gibi, sonsuz çoklukta sayıların belli dizgeleri de bir ideal sayıyı
tanımlamak için kullanılır. İdeal öğeler ilkesinin bu uygulaması tümü
içinde en dahice olanıdır. Eğer bu ilkeyi tüm cebir için dizgesel olarak
uygularsak, tam olarak 1, 2, 3, 4 . . . gibi tanıdık bütün sayılar
için geçerli olan o aynı yalın ve tanıdık bölme yasalarını elde ederiz.
Daha şimdiden yüksek aritmetiğin alanı içersindeyiz.
|
21. Just as infinitely many straight lines, viz., those parallel to each other, are used to define an ideal point in geometry, so certain systems of infinitely many numbers are used to define an ideal number. This application of the principle of ideal elements is the most ingenious of all. If we apply this principle systematically throughout an algebra, we obtain exactly the same simple and familiar laws of division which hold for the familiar whole numbers 1, 2, 3, 4, . . . . We are already in the domain of higher arithmetic. |
|
22.
Şimdi matematiğin en estetik ve en ince kuruluşlu yapısına, e.d. çözümlemeye
geliyoruz. Daha şimdiden sonsuzluğun çözümlemede öncü bir rol oynadığını
biliyorsunuz. Belli bir anlamda, matematiksel
çözümleme sonsuzun bir senfonisidir.
|
22. We now come to the most aesthetic and delicately erected structure of mathematics, viz., analysis. You already know that infinity plays the leading role in analysis. In a certain sense, mathematical analysis is a symphony of the infinite. |
|
23.
Sonsuz küçüklük kalkülüsünde yapılan olağanüstü ilerleme başlıca sonsuz
çoklukta öğelerin matematiksel dizgeleri ile çalışmaktan doğar. Ama, sonsuzu
‘‘çok büyük’’ ile özdeşleştirmek çok usayatkın göründüğü için,
çok geçmeden bir ölçüde eski sofistlerin de bildikleri tutarsızlıklar,
sonsuz küçüklük kalkülüsünün o ünlü paradoksları doğar. Ama sonlu için
geçerli olan birçok teoremin (örneğin, parça bütünden küçüktür,
bir en küçük ve en büyüğün varoluşu, bir toplamın ya da çarpımın terimlerinin
düzeninin kendi içinde değiştirilebilirliği) dolaysızca ve sınırsızca
sonsuza genişletilemeyeceğinin anlaşılması temel ilerleme anlamına geliyordu.
Bu denemenin başında dediğim gibi, bu sorular özellikle Weiestrass’ın
keskin kavrayışı yoluyla tam olarak durulaştırılmışlardır. Bugün çözümleme
yalnızca kendi alanı içersinde yanılmaz olmakla kalmaz, ama sonsuzu kullanmak
için de yararlı bir araç olmuştur.
|
23. The tremendous progress made in the infinitesimal calculus results mainly from operating with mathematical systems of infinitely many elements. But, as it seemed very plausible to identify the infinite with the ‘‘very large,’’ there soon arose inconsistencies which were known in part to the ancient sophists, viz., the so-called paradoxes of the infinitesimal calculus. But the recognition that many theorems which hold for the finite (for example, the part is smaller than the whole, the existence of a minimum and a maximum, the interchangeability of the order of the terms of a sum or a product) cannot be immediately and unrestrictedly extended to the infinite, marked fundamental progress. I said at the beginning of this paper that these questions have been completely clarified, notably through Weierstrass’s acuity. Today, analysis is not only infallible within its domain but has become a practical instrument for using the infinite. |
 24.
Ama çözümleme yalnız başına bize sonsuzun doğasına ilişkin en derin
içgörüyü vermez. Bu içgörüyü bizim için üreten şey genel bir felsefi düşünme
yoluna yaklaşan ve sonsuza ilişkin bütün sorular karmaşası üzerine yeni
bir ışık düşürmek için tasarlanan bir disiplindir. George
Cantor tarafından yaratılan bu disiplin küme kuramıdır. Bu
denemede, küme kuramının yalnızca Cantor’un öğretisinin asıl özeğini oluşturan
o benzersiz ve özgün parçası ile, e.d. sonluötesi sayılar kuramı
ile ilgileniyoruz. Bu kuram, sanırım, matematiksel dehanın en ince ürünüdür
ve insanın arı anlıksal etkinliğinin en yüksek başarımlarından biridir.
O zaman bu kuram nedir? |
24. But analysis alone does not provide us with the deepest insight into the nature of the infinite. This insight is procured for us by a discipline which comes closer to a general philosophical way of thinking and which was designed to cast new light on the whole complex of questions about the infinite. This discipline, created by George Cantor, is set theory. In this paper, we are interested only in that unique and original part of set theory which forms the central core of Cantor’s doctrine, viz., the theory of transfinite numbers. This theory is, I think, the finest product of mathematical genius and one of the supreme achievements of purely intellectual human activity. What, then, is this theory? |
|
— Cantor’un Sonluötesi Sayılar Kuramı |
|
25.
Sonsuz üzerine Cantor’un getirdiği yeni anlayışı kısaca nitelendirmek
isteyen biri diyebilir ki çözümlemede sonsuz ölçüde büyük ve sonsuz ölçüde
küçük ile yalnızca sınırlayıcı kavramlar olarak, ‘oluş’ta olan,
olmakta olan birşey olarak ilgileniriz, e.d. gizil sonsuz ile ilgileniriz.
Ama bu gerçek sonsuz değildir. Gerçek sonsuz ile 1, 2, 3, 4, . . .
gibi sayıların bütünlüğünün kendisini tamamlanmış bir birlik olarak gördüğümüz
zaman, ya da bir aralığın noktalarını şeylerin hep birden varolan bir
bütünlüğü olarak gördüğümüz zaman karşılaşırız. Bu sonsuzluk türü edimsel
sonsuzluk olarak bilinir.
|
25. Someone who wished to characterize briefly the new conception of the infinite which Cantor introduced might say that in analysis we deal with the infinitely large and the infinitely small only as limiting concepts, as something becoming, happening, i.e., with the potential infinite. But this is not the true infinite. We meet the true infinite when we regard the totality of numbers 1, 2, 3, 4, . . . itself as a completed unity, or when we regard the points of an interval as a totality of things which exists all at once. This kind of infinity is known as actual infinity. |
|
—
Gizil Sonsuz: Oluş Sürecindeki Sonsuz
[Bunlar ilk bakışta örneğin Hegel’in konuşma yolunda ‘kendinde’ sonsuz ve ‘kendi için’ sonsuz kavramlarına karşılık düşüyor görünürler. Ama burada Hilbert’in her ‘iki’ sonsuz biçimi de soyut nicelik alanında kalır. Gizil sonsuz oluş sürecinde olan sonsuzdur, henüz sonsuz değil ama sonlu bir nice, belirli bir sayıdır. Yalnızca ilerlemekte, ama hiçbir zaman sonsuza erişememektedir. Böylece her sayı, örneğin 1, 2, . . . vb., ya da giderek olumsuz sayılar bile birer gizil sonsuzdur, yeter ki ‘ilerliyor’ olsunlar. Doğal usumuz, ya da kurgul usumuz, böyle bir kurguyu kavramaya yetenekli değildir. Bu diyalektik ise hiç değildir. Usun böyle birşeyi doğrulamasının biricik yolu kendini yadsımak, usdışına geçmektir. Ve bilindiği gibi usdışını doğrulamak insan usu için hiç de güç birşey değildir: Etki nedeni öncelediği zaman, genişliksiz bir doğru olan çizgideki boyutsuz noktalar sayıldığı zaman, ya da parça bütünden büyük olduğu zaman, uzaylar bükülebildiği zaman, o zaman yer alan şey tam olarak usdışına geçiştir. Bu paragrafta Hilbert’in kendi ile çelişkileri bütünüyle açıkta yatar. Doğal usumuzun yargılarına güvenmeliyiz.] |
|
2. __0 ve 1 aralığının noktaları, ya da, yine aynı şey, 0 ve 1 arasındaki gerçek sayılar bütünlüğü. |
26
a. Frege and Dedekind, the two mathematicians most celebrated for their
work in the foundations of mathematics, independently of each other used
the actual infinite to provide a foundation for arithmetic which was independent
of both intuition and experience. This foundation was based solely on pure
logic and made use only of deductions that were purely logical. Dedekind
even went so far as not to take the notion of finite number from intuition
but to derive it logically by employing the concept of an infinite set.
But it was Cantor who systematically developed the concept of the actual
infinite. Consider the two examples of the infinite already mentioned 1. __1, 2, 3, 4, . . . . 2. __ The points of the interval 0 to 1 or, what comes to the same thing, the totality of real numbers between 0 and 1. |
|
*[Burada söyleme bütünüyle önemsiz birşey gibi ‘sonsuz küme’ tasarımı katılır. ‘Sonsuz küme’ gerçekte mantıksalın karşıtıdır: Burada top ‘sezgi’ye atılır, çünkü sezgi imgelemin tüm olanağını kullanarak kendine öyle bir belirsizlik yaratır ki, duruluğun yittiği bu ortamda saçmalık da anlamını yitirir. Küme kavramı doğal ustaki ‘anlamından’ sıyrılır, ve sözde ‘sezgisel’ bir yapıntı olur: Karşılaştırılabilir sonsuzlar gerçekte birer sonludurlar. Lütfen bir sonraki notu izleyin.] |
|
26
b. Bu örnekleri büyüklükleri bakış açısından irdelemek bütünüyle doğaldır.
Ama böyle irdeleme ortaya bugün her matematikçinin tanışık olduğu hayrete
düşürücü sonuçlar serer. Çünkü tüm kesirli sayılar kümesini, e.d. 1/2,
1/3, 1/4, . . ., 3/7, . . ., kesirlerini irdelediğimizde
görürüz ki — yalnızca büyüklüğünün bakış açısından — bu küme
tamsayılar kümesinden daha büyük değildir. Bu yüzden kesirli
sayılar olağan yolda sayılabilir, e.d. numaralanabilirdiler deriz. Aynı
şey sayıların tüm köklerinin kümesi için, aslında tüm cebirsel sayılar
kümesi için geçerlidir. İkinci örnek birinciye andırımlıdır. Oldukça şaşırtıcıdır
ki, bir karenin ya da kübün tüm noktalarının
kümesi 0 ve 1 aralığının noktalarının kümesinden daha büyük
değildir.* Tüm sürekli işlevler kümesi için de bu böyledir. Bu olguları
ilk kez öğrenmeniz üzerine, büyüklük bakış açısından yalnızca tek
bir benzersiz sonsuz olduğunu düşünebilirsiniz. Hiç
de değil! (1) ve (2)’inci örneklerdeki kümeler, bizim deyimimizle,
‘‘eşdeğer’’ değildirler. Tersine, küme (2)
numaralanamaz, çünkü küme (1)’den daha büyüktür.** Cantor’un kuramında
yeni ve özgün olanla bu noktada karşılaşırız. Bir aralığın noktaları olağan
yolda, e.d. 1, 2, 3 . . . diye sayılamaz. Ama, edimsel sonsuzu
kabul ettiğimize göre, burada durmamız gerekmez. 1, 2, 3 . . . diye
saydığımızda, böyle numaralanan nesneleri hep birden tikel bir düzende
varolan bir sonsuz küme olarak görebiliriz.
Eğer, Cantor’u izleyerek, bu tip düzene w
dersek, o zaman sayma doğallıkla w
+ 1, w + 2, . . . ile w
+ w ya dek ya da w
·
2 ye dek sürer, ve sonra yine
(w · 2) + 1, (w · 2) + 2, + (w · 2) + 3, . . . (w · 2) + w, ya da w · 3, ve dahası w · 2, w · 3, w · 4, . . . w · w (ya da w2) , w2 + 1 . . ., öyle ki sonunda şu tabloyu elde ederiz: 1,
2, 3, . . . |
26
b. It is quite natural to treat these examples from the point of view
of their size. But such a treatment reveals amazing results with which every
mathematician today is familiar. For when we consider the set of all rational
numbers, i.e., the fractions 1/2, 1/3, 1/4, . . ., 3/7, . . .,
we notice that — from the sole standpoint of its size — this set is no larger
than the set of integers. Hence we say that the rational numbers can be
counted in the usual way; i.e., that they are enumerable. The same holds
for the set of all roots of numbers, indeed even for the set of all algebraic
numbers. The second example is analogous to the first. Surprisingly enough,
the set of all the points of a square or cube is no larger than the set
of points of the interval 0 to 1. Similarly for the set of all continuous
functions. On learning these facts for the first time, you might think that
from the point of view of size there is only one unique infinite. No, indeed!
The sets in examples (1) and (2) are not, as we say, ‘‘equivalent.’’ Rather,
the set (2) cannot be enumerated, for it is larger than the set (1). We
meet what is new and characteristic in Cantor’s theory at this point. The
points of an interval cannot be counted in the usual way, i.e., by counting
1, 2, 3, . . .. But, since we admit the actual infinite, we are not
obliged to stop here. When we have counted 1, 2, 3, . . ., we can
regard the objects thus enumerated as an infinite set existing all at once
in a particular order.
If, following Cantor, we call the type of this order w,
then counting continues naturally with w + 1,
w + 2, . . . up to w
+ w or w ·
2, and then again
(w · 2) + 1, (w · 2) + 2, + (w · 2) + 3, . . . (w · 2) + w, or w · 3, and further w · 2, w · 3, w · 4, . . . w · w (or w2) , w2 + 1 . . ., so that we finally get this table: 1, 2, 3, . . . |
|
— Tek Bir Benzersiz Sonsuz Yoktur [*Şaşırtıcı olan şey ‘‘bir karenin ya da kübün noktaları’’ anlatımıdır. Gerçekten de 0 ve 1 aralığı ya da ne denli küçük olursa olsun herhangi bir ‘aralık’ salt kendi mantığı gereği, salt niceliğin doğası gereği, sonsuzun kendisidir: Ama böylelikle nicelik olmanın sınırına gelir. Bir kübün, karenin ya da çizginin noktaları anlatımı ise usdışıdır, daha doğrusu imgesel ya da ‘sezgisel’ denilen şeydir ki noktayı boyutsuzluktan soyutlar. Bu bir kez kabul edildikten sonra sonsuz‘lar’dan söz etmeye karşı çıkmak için hiçbir gerekçe kalmaz. **Bir sonsuz bir başka sonsuzdan daha büyüktür! Bu gerçekten de ‘özgün’ bir noktadır, ve bu özgünlük yeni bir ussallığa mı yoksa bir usdışına, daha doğrusu us-bölünmesine mi götürecektir, bunu göreceğiz.]
|
||
|
27.
Bunlar Cantor’un ilk sonluötesi
sayıları, ya da onun deyimiyle, ikinci sayı sınıfının
sayılarıdır. Onlara yalnızca saymayı olağan olarak numaralanabilir olan
sonsuzun ötesine genişleterek, e.d. olağan sonlu
saymanın doğal ve benzersiz olarak belirlenmiş tutarlı bir sürdürülmesi
yoluyla varırız. Şimdiye dek bir kümenin yalnızca birinci,
ikinci, üçüncü, . . . üyesini saymamız gibi, şimdi de w
inci, (w + 1 )inci, . . .
 inci üyeyi sayarız.* |
27.
These are Cantor’s first transfinite numbers or, as he called them,
the numbers of the second number class. We arrive at them simply by extending
counting beyond the ordinarily enumerably infinite, i.e., by a natural and
uniquely determined consistent continuation of ordinary finite counting.
As until now we counted only the first, second, third, . . . member
of a set, we now count also the wth, (w
+ 1)st, . . ., 
th member. |
|
*Tüm yapaylığının dışında, bu işlem ‘‘herhangi bir sayı’’ ile yapılan bir işlemdir, ve ‘‘sonsuzun ötesine sayma’’ anlatımı ‘‘sonsuzu’’ edimsel olarak ‘‘sonluötesi,’’ ya da ‘‘herhangi bir’’ sayı yapmak demektir. |
|
28.
Bu gelişmeler verildiğinde, kişi doğallıkla sonluötesi sayıları kullanarak
olağan yolda sayılamayacak o kümeleri gerçekten sayıp sayamayacağını merak
eder.
|
28. Given these developments one naturally wonders whether or not, by using these transfinite numbers, one can really count those sets which cannot be counted in the ordinary way. |
|
29.
Bu kavramlar temelinde, Cantor sonluötesi sayılar kavramını bütünüyle
başarılı olarak geliştirdi ve onlar için tam bir kalkülüs icadetti. Böylece,
Frege, Dedekind ve Cantor’un Herküllere yaraşır işbirlikleri ile, ‘sonsuz’
kral yapıldı ve büyük bir utkunun saltanatını yaşadı. Gözüpek bir uçuşla,
‘sonsuz’ başdöndürücü bir başarı doruğuna ulaşmıştı.
|
29. On the basis of these concepts, Cantor developed the theory of transfinite numbers quite successfully and invented a full calculus for them. Thus, thanks to the Herculean collaboration of Frege, Dedekind, and Cantor, the infinite was made king and enjoyed a reign of great triumph. In daring flight, the infinite had reached a dizzy pinnacle of success. |
|
30.
Ama tepkiler eksik olmadı. Gerçekte çok dramatik bir biçim aldı.
Sonsuz küçüklük kalkülüsünün gelişimine karşı tepkinin yerleşmesine tam
olarak andırımlı bir yolda yerleşti. Yeni ve önemli sonuçlar keşfetmenin
sevinci içinde, matematikçiler tümdengelimli yöntemlerinin geçerliğine
çok az dikkat ettiler. Çünkü, yalnızca geleneksel olmuş olan tanımları
ve tümdengelimli yöntemleri kullanmanın bir sonucu olarak, yavaş yavaş
çelişkiler ortaya çıkmaya başladı. Bu çelişkiler, küme kuramının ünlü
paradoksları, ilkin dağınık olmalarına karşın, giderek artan bir biçimde
iveğen ve daha ciddi olmaya başladılar. Özel olarak, Zermelo ve
Russell tarafından ortaya çıkarılan bir çelişki matematik dünyası
içersinde duyulduğu zaman açıkça yıkıcı bir etki yarattı. Bu paradokslar
ile karşı karşıya kalan Dedekind ve Frege bakış açılarını
tam olarak terkedip geri çekildiler. Dedekind Was sind und was
sollen die Zahlen [Sayılar Nedir ve Ne Olmaları Gerekir?] başlığı
altında çığır açıcı incelemesinin yeni bir düzenlemesinin yayımlanmasına
izin vermeden önce uzun bir süre kararsız kaldı. Bir sonsözde Frege
de Grundgesetze der Mathematik [Matematiğin Temel Yasaları]
başlıklı kitabının yönünün yanlış olduğunu kabul etmek zorunda
kaldı. Cantor’un öğretisi de her yandan saldırıya uğradı. Bu tepki
öylesine yeğindi ki giderek matematiğin en sıradan ve verimli kavramları
ve en yalın ve en önemli tümdengelimli yöntemleri gözdağı altına düştüler
ve kullanımları geçersiz sayılma noktasına geldi. Eski düzenin hiç kuşkusuz
kendi savunucuları vardı. Bununla birlikte, savunma taktikleri çok fazla
yüreksizdi ve hiçbir zaman dirimsel noktalarda birleşik bir cephe oluşturmadı.
Paradokslar için birçok değişik çareler teklif edildi, ve onları durulaştırmak
için önerilen yöntemlere gereğinden öte türlülük görünüşü verildi.
|
30.
But reaction was not lacking. It took in fact a very dramatic form.
It set in perfectly analogously to the way reaction had set in against the
development of the infinitesimal calculus. In the joy of discovering
new and important results, mathematicians paid too little attention to the
validity of their deductive methods. For, simply as a result of employing
definitions and deductive methods which had become customary, contradictions
began gradually to appear. These contradictions, the so-called paradoxes
of set theory, though at first scattered, became progressively more acute
and more serious. In particular, a contradiction discovered by Zermelo
and Russell had a downright catastrophic effect when it became known throughout
the world of mathematics. Confronted by these paradoxes, Dedekind and
Frege completely abandoned their point of view and retreated. Dedekind
hesitated a long time before permitting a new edition of his epoch-making
treatise Was sind und was sollen die Zahlen to be published. In
an epilogue, Frege too had to acknowledge that the direction of his book
Grundgesetze der Mathematik was wrong. Cantor’s doctrine, too,
was attacked on all sides. So violent was this reaction that even the
most ordinary and fruitful concepts and the simplest and most important
deductive methods of mathematics were threatened and their employment was
on the verge of being declared illicit. The old order had its defenders,
of course. Their defensive tactics, however, were too fainthearted and
they never formed a united front at the vital spots. Too many different
remedies for the paradoxes were offered, and the methods proposed to clarify
them were too variegated. |
|
— Frege Matematiğin ‘Temel Yasaları’nı Keşfeder; Sonra Bu Temelleri Geri Çeker; Matematik Ayaktadır |
|
31.
Kabul edilecektir ki, paradokslara çattığımız yerde işlerin durumu
dayanılmaz olur. Yalnızca herkesin matematikte, gerçeklik ve pekinliğin
benzersiz örneğinde öğrendiği, öğrettiği ve kullandığı tanımların ve tümdengelimci
yöntemlerin saçmalıklara götürdüğünü düşünün! Eğer matematiksel düşünme
kusurlu ise, gerçeklik ve pekinliği nerede bulacağız?*
|
31. Admittedly, the present state of affairs where we run up against the paradoxes is intolerable. Just think, the definitions and deductive methods which everyone learns, teaches, and uses in mathematics, the paragon of truth and certitude, lead to absurdities! If mathematical thinking is defective, where are we to find truth and certitude? |
|
*Matematiksel uslamlama örneği hiç kuşkusuz usun en yalın işlemlerini sergiler ve nesnesinin ‘‘duyulura yakın’’ olması ölçüsünde uslamlamaya sıradan bilinci doyuran bir tür ‘‘duyusal’’ ek destek veriyor görünür. Bu yanıyla matematiksel uslamlama pekinlik ve ussallığın ‘‘benzersiz örneği’’ olarak gösterilir. Ama ‘‘kavram’’ın kendi eytişimi pekinliğin ve gerçekliğin ‘‘örneği’’ değil, tersine kendisidir, ve onun için matematikten andırım saltık olarak gereksizdir. Kendisi insan düşüncesinin bir ürünü ya da açınımı olduğu içindir ki matematiğe içine düştüğü sorunlarda, çatışkı ya da paradoks ile karşılaştığında çözümü yine kurgul düşünce sunar, onu kavramaksızın da nasıl ilerleyebildiğini, soyutlamacı anlağın bu bilinçsiz başarısının gizinin nerede yattığını ancak felsefeye özgü özel düşünce yolu açıklayabilir. Sonsuz küçüklükler sorununda Newton’un eytişimi nasıl kullandığını, sonsuz küçüklüğü ‘‘yiten büyüklük’’ olarak nasıl kavranabilir kıldığını görmek analitik anlağın tek-yanlı yetisinin ötesine geçmeyi gerektirir. Bu konuda Newton’un ‘‘doğan’’ ve ‘‘yiten’’ [‘‘nascent’’ ve ‘‘evanescent’’] nicelikleri nasıl irdelediği, ‘‘yiten niceliklerin oranları’’ konusuna nasıl yaklaştığı incelenebilir. Bu konu için kz. ‘‘Principia’’da ‘‘Yardımcı Önerme 11’e Not.’’ Newton hiç kuşkusuz bu eytişimsel uslamlamanın tam imlemlerinin bilincinde değildir, aslında eytişim onun bütün bir görgücü düşünce yoluna dışsaldır. Bu düzeye dek, Newton orada kendi öncellerinin çözümlemelerini yineler. |
|
32.
Bununla birlikte, paradokslardan bilimimize ihanet etmeden kaçmanın
tam olarak doyurucu bir yolu vardır. Bize bu yolu bulmada yardım edecek
ve hangi yolu alacağımız gösterecek olan istekler ve tutumlar şunlardır:
1. Nerede bir kurtarma umudu varsa, verimli tanımları ve tümdengelimci yöntemleri dikkatle araştıracağız. Onları besleyecek, onları güçlendireceğiz. Hiç kimse bizi Cantor’un bizim için yaratmış olduğu cennetten kovamaz. 2. Matematiğin her yanında tümdengelimlerimiz için hiç kimsenin kuşku duymadığı ve orada çelişkilerin ve paradoksların yalnızca bizim dikkatsizliğimizden doğduğu olağan öğesel sayı kuramında varolan aynı pekinliği sağlamalıyız. 33. Açıktır ki bu hedeflere ancak sonsuzun doğasını tam olarak durulaştırmamızdan sonra ulaşılabilir. |
32.
There is, however, a completely satisfactory way of avoiding the paradoxes
without betraying our science. The desires and attitudes which will help
us find this way and show us what direction to take are these: 1. Wherever there is any hope of salvage, we will carefully investigate fruitful definitions and deductive methods. We will nurse them, strengthen them, and make them useful. No one shall drive us out of the paradise which Cantor has created for us. 2. We must establish throughout mathematics the same certitude for our deductions as exists in ordinary elementary number theory, which no one doubts and where contradictions and paradoxes arise only through our own carelessness. 33. Obviously these goals can be attained only after we have fully elucidated the nature of the infinite. |
|
34.
Hangi deneyimlere, gözlemlere ya da bilgilere
başvurulursa vurulsun, sonsuzun olgusallıkta
hiçbir yerde bulunmayacağını daha önce görmüştük. Şeylere ilişkin
düşünce şeylerden böylesine ayrı olabilir mi? Düşünme süreçleri şeylerin
edimsel süreçlerine böylesine benzemez olabilir mi? Kısaca, düşünce
olgusallıktan böylesine uzak olabilir mi? Tersine, sonsuz ile belli
bir olgusal anlamda karşılaştığımızı düşündüğümüzde, böyle düşünmeye yalnızca
sık sık aşırı ölçüde büyük ve aşırı ölçüde küçük boyutlarla karşılaşmamız
olgusu tarafından ayartılmış olduğumuz açık değil midir?*
|
34. We have already seen that the infinite is nowhere to be found in reality, no matter what experiences, observations, and knowledge are appealed to. Can thought about things be so much different from things? Can thinking processes be so unlike the actual processes of things? In short, can thought be so far removed from reality? Rather is it not clear that, when we think that we have encountered the infinite in some real sense, we have merely been seduced into thinking so by the fact that we often encounter extremely large and extremely small dimensions in reality? |
|
— Düşünce Ve Olgusallık İlişkisi Sorgulanıyor *Şey bir yanda ve Düşünce öte yanda. Gerçekten de bu iki kavramın aynı olmaları özlemi yerine getirilecek olsaydı yalnızca analitik bir aynılık ile kalmazlar, ama analitik birer yokluk olurlardı. Düşünce ve Şey karşıtlığının anlattığı şey burada Kavram ve Nesne, İdeallik ve Olgusallık gibi başka karşıtlıkların anlattıkları ile aynıdır. Ama her kavram bir başkasına indirgenemeyecek birşeydir, ve kendi özgünlüğü ya da belirliliği vardır. Eğer ‘ayrılık’ ya da ‘özdeşsizlik’ sorunsa, onu yalnızca Düşünce ve Şey olarak değil, rasgele alınan her kavram çifti arasında da görebiliriz, ve niçin bunlar birbirlerinden böylesine uzak diye sorabiliriz. Sorun her kavramı kendi bağımsızlığı içinde ya da kendi için de tanımak ve aynı zamanda bu bağımsızlığının soyut bir ilişkisizlik olarak değil ama dizgesel bir ilişkiler bütününün içersinde değer taşıdığını görmektir. |
|
35. Özdeksel mantıksal tümdengelim her nasılsa bizi aldatır ya da onu olgusal şeylere ya da olaylara uyguladığımız zaman bizi yüzüstü mü bırakır?1 Hayır. Özdeksel mantıksal tümdengelim vazgeçilmezdir. Bizi ancak keyfi soyut tanımlar, özellikle sonsuz çoklukta nesneler içeren tanımlar oluşturduğumuz zaman aldatır. Böyle durumlarda özdeksel mantıksal tümdengelimi geçersiz olarak kullanmışızdır, e.d. geçerli kullanımı için zorunlu önkoşullara yeterince dikkat etmemişizdir. Dikkate alınması gereken böyle önkoşulların olduğunu kabul edince, kendimizi felsefeciler ile, özellikle Kant ile anlaşma içinde buluruz. Kant matematiğin mantıktan bağımsız olarak verili olan bir konuyu ele aldığını öğretti — ve bu öğretisinin tümleyici bir parçasıdır. Matematik öyleyse yalnızca mantık üzerine kurulamaz. Buna göre, Frege’nin ve Dedekind’in onu böyle zeminlendirme girişimleri başarısızlığa mahkumdu. 1[Bu denemenin tümünde Almanca ‘inhaltlich’ sözcüğü [sft] ‘özdeksel’ ya da [blt] ‘özdeksel olarak’ sözcükleri ile çevrilmiştir; sözcükler bu amaç için ayrılmıştır ve özdek ya da içerik ve mantıksal biçim arasındaki geleneksel ayrımın anlamında özdeğe göndermede bulunmak için kullanılırlar. — İng.’ye çevirenlerin notu.] |
35.
Does material logical deduction somehow deceive us or leave us in
the lurch when we apply it to real things or events?1 No! Material
logical deduction is indispensable. It deceives us only when we form arbitrary
abstract definitions, especially those which involve infinitely many objects.
In such cases we have illegitimately used material logical deduction;
i.e., we have not paid sufficient attention to the preconditions necessary
for its valid use. In recognizing that there are such preconditions that
must be taken into account, we find ourselves in agreement with the philosophers,
notably with Kant. Kant taught — and it is an integral part of his doctrine
— that mathematics treats a subject matter which is given independently
of logic. Mathematics, therefore, can never be grounded solely on logic.
Consequently, Frege’s and Dedekind’s attempts to so ground it were doomed
to failure.
1[Throughout this paper the German word ‘inhaltlich’ has been translated by the words ‘material’ or ‘materially’ which are reserved for that purpose and which are used to refer to matter in the sense of the traditional distinction between matter or content and logical form. — Tr.] |
|
—
Öznel Tümdengelim Ve Nesnel İçerik (=Olgusal/Fiziksel Dünya) (İngilizce’de ‘inhaltlich’ için ‘contently’ türetmesi semantik bir sorun yaratmamasına karşın dil beğenisine aykırıdır. Bu Türkçe için böyle değildir, ve ‘içeriksel’ sözcüğü Almanca sözcüğü tam olarak karşılar. Ama çeviri İngilizce’den yapıldığı için ‘özdeksel’ sözcüğü korundu. Bunun dışında, gerçekte bu bağlamda Hilbert’in içerik ile anlatmak istediği şey ‘duyulur’ olan olduğu ölçüde, ‘özdeksel’ sözcüğü bu bütün usdışı söyleme daha uygundur.)] |
|
36.
Mantıksal tümdengelimi kullanmak ve mantıksal işlemleri yürütmek için
daha öte bir önkoşul olarak tasarımda birşey verili olmalıdır,
e.d. tüm düşünmeye önsel olarak doğrudan görgülendikleri gibi sezilen
belli mantık-dışı somut nesneler. Mantıksal tümdengelimin pekin
olması için, bu nesnelerin her yanını görebilmeliyiz,
ve özellikleri, ayrımları, ardışıklıkları ve bitişiklikleri,
nesnelerin kendileri ile birlikte, başka birşeye indirgenemeyen ve hiçbir
indirgeme gerektirmeyen birşey olarak verilmelidir. Bu benim yalnızca
matematik için değil, ama tüm bilimsel düşünme, anlama ve iletişim için
zorunlu gördüğüm temel felsefedir. Matematiğin konusu, bu kuram
ile uyum içinde, yapıları dolaysızca açık ve tanınabilir olan somut simgelerin
kendileridir.
|
36. As a further precondition for using logical deduction and carrying out logical operations, something must be given in conception, viz., certain extralogical concrete objects which are intuited as directly experienced prior to all thinking. For logical deduction to be certain, we must be able to see every aspect of these objects, and their properties, differences, sequences, and contiguities must be given, together with the objects themselves, as something which cannot be reduced to something else and which requires no reduction. This is the basic philosophy which I find necessary not just for mathematics, but for all scientific thinking, understanding, and communicating. The subject matter of mathematics is, in accordance with this theory, the concrete symbols themselves whose structure is immediately clear and recognizable. |
|
—
Matematik Görsel Bir Bilimdir [1) Mantıksal tümdengelim ya da çıkarsama için tasarımsal (‘mantık-dışı’) birşey verili olmamalıdır. Tasarımsal olan mantıksal olan değil ama dahaçok çağrışımsal olandır (David Hume’un hizmetlerini anımsayalım). Mantıksal ilişki zorunlu ilişkidir, başka türlü olamaz. Tasarımlar arasındaki ilişki salt belleme ya da çağrışım ilişikisidir ki olumsaldır, ve salt bu nedenle hiçbir bilimsel gerişimin temeli olamaz. 2) ‘Düşünmeye önsel olan nesneler’: Ama ‘nesne’nin kendisi ‘bir evrensel = bir düşünce’dir. (Hilbert sıkı bir mantık izlediği sanısı içindedir.) 3) ‘Nesnelerin her yanını görebilmeliyiz’: Ek olarak dokunmak, tatmak, koklamak da gerekmez mi? 4) ‘Matematiğin konusu ... simgelerin kendileridir.’ Eş deyişle, sayı, aritmetiksel işlemler, sınır, türev, tümlev, ya da nokta, çizgi, yüzey, açı, koşutluk vb. tümü de simgelerdir. David Hilbert’in MATEMATİK KAVRAMInın kendisinden yoksun olduğunu söylemek zorundayız.] |
|
37.
Olağan sonlucu sayı kuramının doğasını ve yöntemlerini irdeleyin.
Hiç kuşkusuz sezgisel özdeksel irdelemeler yoluyla sayısal yapılardan
kurulabilir. Ama matematik hiç kuşkusuz yalnızca sayısal eşitliklerden
oluşmaz ve hiç kuşkusuz yalnızca onlara indirgenemez. Gene de matematiğin
tamsayılara uygulandığında her zaman doğru sayısal eşitlikler veren bir
aygıt olduğu ileri sürülebilir. Ama bu durumda henüz bu aygıtın gerçekte
her zaman doğru eşitlikler verdiğinden emin olmak için yapısını baştan
sona araştırmamız gerekir. Böyle bir araştırmayı yürütmek için, elimizde
yalnızca sayı kuramının kurulmasında sayısal eşitlikleri türetmek için
kullanılan o aynı somut özdeksel sonlucu yöntemler vardır. Bu bilimsel
gerek gerçekte karşılanabilir, e.d., salt sezgisel ve sonlucu bir yolda
— sayı kuramının gerçekliklerini elde ediş yolumuz — matematiksel aygıtın
geçerliğinin güvencesini veren içgörüleri elde etmek olanaklıdır.
|
37. Consider the nature and methods of ordinary finitary number theory. It can certainly be constructed from numerical structures through intuitive material considerations. But mathematics surely does not consist solely of numerical equations and surely cannot be reduced to them alone. Still one could argue that mathematics is an apparatus which, when applied to integers, always yields correct numerical equations. But in that event we still need to investigate the structure of this apparatus thoroughly enough to make sure that it in fact always yields correct equations. To carry out such an investigation, we have available only the same concrete material finitary methods as were used to derive numerical equations in the construction of number theory. This scientific requirement can in fact be met, i.e., it is possible to obtain in a purely intuitive and finitary way-the way we attain the truths of number theory-the insights which guarantee the validity of the mathematical apparatus. |
|
38. Sayı kuramını daha yakından irdeleyelim. Sayı kuramında I, I I, I I I, I I I I gibi sayısal simgeler vardır ki burada her bir sayısal simge yalnızca 1 leri kapsaması olgusu yoluyla sezgisel olarak tanınabilir. Kendileri konumuz olan bu sayısal simgelerin kendilerinde hiçbir imlemleri yoktur. Ama bu simgelere ek olarak, giderek öğesel sayı kuramında bile, anlamları olan ve iletişimi kolaylaştırmaya hizmet eden başka simgeler isteriz; örneğin 2 simgesi I I sayısal simgesi için bir kısaltma olarak, ve sayısal 3 simgesi sayısal I I I simgesi için bir kısaltma olarak kullanılır. Dahası, bildirimleri iletmek için +, = ve > gibi simgeleri kullanırız. 2 + 3 = 3 + 2 anlatımı 2 + 3 ün ve 3 + 2 nin, kısaltmalar dikkate alındığında, aynı sayısal simge, e.d. sayısal I I I I I simgesi olduğu olgusunu iletmek için amaçlanır. Benzer olarak, 3 > 2 anlatımı 3 simgesinin, e.d. I I I ün 2 simgesinden, e.d. I I den daha uzun olduğu, ya da, başka bir deyişle, ikinci simgenin sözcüğün asıl anlamında birincinin bir parçası olduğu olgusunu iletmeye hizmet eder. |
38. Let us consider number theory more closely. In number theory we have the numerical symbols I, I I, I I I, I I I I where each numerical symbol is intuitively recognizable by the fact it contains only 1’s. These numerical symbols which are themselves our subject matter have no significance in themselves. But we require in addition to these symbols, even in elementary number theory, other symbols which have meaning and which serve to facilitate communication, for example the symbol 2 is used as an abbreviation for the numerical symbol I I, and the numerical symbol 3 as an abbreviation for the numerical symbol I I I. Moreover, we use symbols like +, =, and > to communicate statements. 2 + 3 = 3 + 2 is intended to communicate the fact that 2 + 3 and 3 + 2, when abbreviations are taken into account, are the self same numerical symbol, viz., the numerical symbol I I I I I I. Similarly 3 > 2 serves to communicate the fact that the symbol 3, i.e., I I I , is longer than the symbol 2, i.e., I I; or, in other words, that the latter symbol is a proper part of the former. |
|
— Sayı Kuramının ‘Yakından’ İrdelenişi: Simgelerin Simgeleri, Vb [Hilbert görünürde Klasik ve İslamik matematikçilerin simgeler kullanmadıkları olgusundan da habersizdir. Burada simgelerin değil ama simgeleri oldukları Kavramların tüm içerik ve tüm biçim olduğunu bir kez daha belirtmek gereksizdir. Matematiği Simgeciliğe indirgemesi Hilbert’in bir tutarsızlığı değil, tersine tutarlı olmasının kaçınılmaz sonucudur. Duyusalcı bakış açısından düşünen birinin sayı ussal bir dizgeye ait bir kavramdır demesini beklemeliyiz.] |
| 39. Ayrıca iletişim için a, b, c harflerini de kullanırız. Böylece b > a anlatımı sayısal b simgesinin sayısal a simgesinden daha uzun olduğu olgusunu iletir. Bu bakış açısından a + b = b + a anlatımı yalnızca sayısal a + b simgesinin b + a ile aynı olduğu olgusunu iletir. Bu iletişimin içeriği özdeksel tümdengelim yoluyla da tanıtlanabilir. Aslında, bu tür sezgisel özdeksel irdeleme bizi çok uzağa götürebilir. | 39. We also use the letters a, b, c for communication. Thus b > a communicates the fact that the numerical symbol b is longer than the numerical symbol a . From this point of view, a + b = b + a communicates only the fact that the numerical symbol a + b is the same as b + a . The content of this communication can also be proved through material deduction. Indeed, this kind of intuitive material treatment can take us quite far. |
|
40. Ama
size bu sezgisel yöntemin nerede aşıldığı konusunda bir örnek
vereyim. Bilinen en büyük asal sayı şudur (39 basamak): Öklides’e bağlı
iyi bilinen bir yöntem yoluyla p + 1 ve p! + 1 arasında
en azından yeni bir asal sayı vardır bildiriminin bir tanıtını, bütünüyle
sonlucu çerçevemiz içersinde kalan bir tanıtını verebiliriz. Bildirimin
kendisi sonlucu yaklaşımımıza eksiksiz olarak uygun düşer, çünkü ‘‘vardır’’
anlatımı yalnızca şu anlatımı kısaltmaya yarar: açıktır ki p
+ 1 ya da p + 2 ya da p + 3 . . . ya da p!
+ 1 bir asal sayıdır. Dahası, bir asal sayı vardır ki |
40. But let me give you an example where this intuitive method is outstripped. The largest known prime number is (39 digits) p = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 By a
well-known method due to Euclid we can give a proof, one which remains
entirely within our finitary framework, of the statement that between
p + 1 and p! + 1 there exists at least one new prime number.
The statement itself conforms perfectly to our finitary approach, for
the expression ‘there exists’ serves only to abbreviate the expression:
it is certain that p + 1 or p + 2 or p + 3 . .
. or p! + 1 is a prime number. Furthermore, since it obviously
comes down to the same thing to say: there exists a prime number which |
|
41. Bu nasıl olabilir? Çünkü varoluşsal bir bildirimimiz vardır: ‘‘vardır’’! Doğru, Öklides teoreminde benzer bir anlatımımız vardı, ama orada ‘‘vardır’’ anlatımı, daha önce belirttiğim gibi, p + 1 ya da p + 2 ya da p + 3 ya da p! + 1 bir asal sayıdır anlatımı için bir kısaltmaydı — tıpkı ‘‘ya bu tebeşir parçası ya da bu parça ya da bu parça . . . ya da bu parça kırmızıdır’’ demek yerine, kısaca ‘‘bu parçalar arasında bir kırmızı tebeşir parçası vardır’’ dediğimiz zaman olduğu gibi. Bir sonlu bütünlükte belli bir özelliği olan bir nesne ‘‘vardır’’ gibi bir bildirim sonlucu yaklaşımımıza eksiksiz olarak uygun düşer. Ama ‘ p + 1 ya da p + 2 ya da p + 3 . . . ya da (sonsuza dek) . . . belli bir özellik taşır’ gibi bir bildirimin kendisi sonsuz bir mantıksal üründür. Sonsuza doğru böyle bir genişleme, elimizde daha öte açıklama ve önlemler olmadıkça, kalkülüste sonludan sonsuz ürünlere genişlemenin olduğundan daha kabul edilebilir değildir. Böyle genişlemeler, buna göre, genellikle anlamsızlığa düşerler. |
41. How can this be? Because we have an existential statement, ‘‘there exists’’! True, we had a similar expression in the euclidean theorem, but there the ‘there exists’ was, as I already mentioned, an abbreviation for: either p + 1 or p + 2 or p + 3 . . . or p! + 1 is a prime number — just as when, instead of saying ‘either this piece of chalk or this piece or this piece ... or this piece is red’ we say briefly ‘there exists a red piece of chalk among these pieces’. A statement such as ‘there exists’ an object with a certain property in a finite totality conforms perfectly to our finitary approach. But a statement like ‘either p + 1 or p + 2 or p + 3 . . . or (ad infinitum) . . . has a certain property’ is itself an infinite logical product. Such an extension into the infinite is, unless further explanation and precautions are forthcoming, no more permissible than the extension from finite to infinite products in calculus. Such extensions, accordingly, usually lapse into meaninglessness. |
|
— Sayılar Ve Varloluş Sorunu |
|
42.
Sonlucu bakış açımızdan ‘‘belli bir özelliği olan bir sayı vardır’’
biçimindeki varoluşsal bildirim genel olarak yalnızca bölümsel bir bildirimin
imlemini taşır; e.d. daha belirli bir bildirimin bir bölümü olarak görülür.
Bununla birlikte, daha sağın formülasyon birçok amaç için gereksiz olabilir.
|
42. From our finitary point of view, an existential statement of the form ‘there exists a number with a certain property’, has in general only the significance of a partial statement; i.e., it is regarded as part of a more determinate statement. The more precise formulation may, however, be unnecessary for many purposes. |
|
43.
İçeriği sonlu bir çözme / disjunction yoluyla anlatılamayan
bir varoluşsal bildirimi çözümlerken sonsuz ile karşılaşırız. Benzer olarak,
bir genel bildirimi, e.d. keyfi sayısal simgelere göndermede bulunan bir
bildirimi olumsuzlayarak bir sonluötesi bildirim elde ederiz. Örneğin
eğer a bir sayısal simge ise, o zaman a + 1 = 1 + a
evrensel olarak doğrudur bildirimi sonlucu perspektifimizden olumsuzlanmaya
yeteneksizdir. Eğer bu bildirimin sonsuz çoklukta sayısal eşitliğin
‘‘ve’’ aracılığıyla bir bağlanması (conjunction) olarak değil,
ama yalnızca sayısal bir simge verildiğinde birşeyi durum olarak ileri
süren bir varsayımlı yargı olarak yorumlanabileceğini düşünürsek, bunu
daha iyi göreceğiz.
|
43. In analyzing an existential statement whose content cannot be expressed by a finite disjunction, we encounter the infinite. Similarly, by negating a general statement, i.e., one which refers to arbitrary numerical symbols, we obtain a transfinite statement. For example, the statement that if a is a numerical symbol, then a + 1 = 1 + a is universally true, is from our finitary perspective incapable of negation. We will see this better if we consider that this statement cannot be interpreted as a conjunction of infinitely many numerical equations by means of ‘and’ but only as a hypothetical judgment which asserts something for the case when a numerical symbol is given. |
|
44.
Öyleyse, sonlucu bakış açımızdan tam şimdi verilmiş olan gibi keyfi bir
sayısal simge içeren bir eşitliğin ya her simge için geçerli olduğunu
ya da bir karşı örnek tarafından çürütüldüğünü ileri süremeyiz. Böyle
bir uslamlama, dışlanmış orta yasasının bir uygulaması olmakla, böyle
bir eşitliğin evrensel geçerliğine ilişkin bildirimin yadsınmaya açık
olduğu sayıltısı üzerine dayanır.
|
44.From our finitary viewpoint, therefore, we cannot argue that an equation like the one just given, where an arbitrary numerical symbol occurs, either holds for every symbol or is disproved by a counter example. Such an argument, being an application of the law of excluded middle, rests on the presupposition that the statement of the universal validity of such an equation is capable of negation. |
| 45. Her ne olursa olsun, şunu belirtiyoruz: Eğer sonlucu bildirimler alanı içersinde kalırsak, ki aslında kalmalıyız, bir kural olarak önümüzde çok karışık mantıksal yasalar bulunur. ‘‘Tüm’’ ve ‘‘vardır’’ anlatımları bileştirildiği zaman ve başka anlatımlar içersine yerleştirilen anlatımlar içinde yer aldıkları zaman, sonlucu bildirimlerin karmaşıklıkları denetlenemez olur. Kısaca, Aristoteles’in öğrettiği ve insanların düşünmeye başladıkları günden bu yana kullandıkları mantıksal yasalar geçerli değildir. Hiç kuşkusuz sonlucu bildirimler alanı için geçerli olan mantıksal yasalar geliştirebilirdik. Böyle bir mantık geliştirmenin bize hiçbir yararı olmazdı, çünkü Aristoteles mantığının yalın yasalarını kullanmaktan vazgeçmeyi istemiyoruz. Dahası, hiç kimse, üstelik meleklerin dilinde bile konuşsa, insanların genel bildirimleri yadsınmalarının ya da bölümsel yargılar oluşturmalarının ya da tertium non daturu kullanmalarının önüne geçemezdi. O zaman ne yapacağız? | 45. At any rate, we note the following: if we remain within the domain of finitary statements, as indeed we must, we have as a rule very complicated logical laws. Their complexity becomes unmanageable when the expressions ‘all’ and ‘there exists’ are combined and when they occur in expressions nested within other expressions. In short, the logical laws which Aristotle taught and which men have used ever since they began to think, do not hold. We could, of course, develop logical laws which do hold for the domain of finitary statements. But it would do us no good to develop such a logic, for we do not want to give up the use of the simple laws of Aristotelian logic. Furthermore, no one, though he speak with the tongues of angels, could keep people from negating general statements, or from forming partial judgments, or from using tertium non datur. What, then, are we to do? |
|
46. Matematikçiler olduğumuzu ve matematikçiler olarak sık sık güvenilmez durumlarda bulunduğumuzu ve bunlardan dahice ideal öğeler yöntemi tarafından kurtarıldığımızı anımsayalım. Size bu denemenin başında bu yöntemin kullanımının kimi ünlü örneklerini gösterdim. Tıpkı i = Ö—1 in cebir yasalarını en yalın biçimde saklamak için getirilmiş olması gibi (örneğin, bir eşitliğin köklerinin varoluş ve sayısına ilişkin yasalar); tıpkı ideal etmenlerin cebirsel tam sayılar için yalın bölünebilirlik yasalarını saklamak için getirilmiş olması gibi (örneğin, 2 ve 1 + Ö—5 sayıları için bir ortak ideal bölen getirildi, üstelik böyle bir bölenin gerçektenin varolmamasına karşın); benzer olarak, sıradan Aristoteles mantığının yalın biçimsel kurallarını saklamak için, sonlucu bildirimleri ideal bildirimler ile tamamlamalıyız. Kronecker’in öylesine sert olarak saldırdığı tümdengelimci yöntemlerin Kronecker’in kendisinin Kummer’in sayı kuramı üzerine çalışmasında (ki bunu Kronecker matematiğin en yüksek başarımı olarak yüceltmiştir) öylesine coşkuyla hayran olduğu şeyin sağın karşıeşi olması oldukça ironiktir. |
46. Let us remember that we are mathematicians and that as mathematicians we have often been in precarious situations from which we have been rescued by the ingenious method of ideal elements. I showed you some illustrious examples of the use of this method at the beginning of this paper. Just as i = Ö—1 was introduced to preserve in simplest form the laws of algebra (for example, the laws about the existence and number of the roots of an equation); just as ideal factors were introduced to preserve the simple laws of divisibility for algebraic whole numbers (for example, a common ideal divisor for the numbers 2 and 1 + Ö—5 was introduced, though no such divisor really exists); similarly, to preserve the simple formal rules of ordinary Aristotelian logic, we must supplement the finitary statements with ideal statements. It is quite ironic that the deductive methods which Kronecker so vehemently attacked are the exact counterpart of what Kronecker himself admired so enthusiastically in Kummer’s work on number theory which Kronecker extolled as the highest achievement of mathematics. |
|
47.
İdeal bildirimleri nasıl elde ederiz? İdeal bildirimleri
elde etmek için yalnızca matematiğin temellerine ilişkin kuramda şimdiden
elde edilen gelişimi doğal ve açık bir yolda sürdürmeye gereksinim duymamız
uygun ve umutlandırıcı olduğu denli de dikkate değer bir olgudur. Aslında,
giderek öğesel matematiğin bile sezgisel sayı kuramının ötesine gittiğini
anlamalıyız. Sezgisel, özdeksel sayı kuramı, onu yorumladığımız biçimiyle,
harflerle cebirsel hesaplama yöntemini içermez. Formüller her zaman yalnızca
ve yalnızca sezgisel sayı kuramında iletişim için kullanıldılar. Harfler
sayısal simgeleri temsil ediyor ve bir eşitlik iki simgenin düşümdeştiği
olgusunu iletiyordu. Öte yandan, cebirde harfler kapsayan anlatımları
sayı kuramının özdeksel teoremlerini biçimselleştiren bağımsız yapılar
olarak görürüz. Sayısal simgelere ilişkin bildirimler yerine, kendileri
sezgisel incelemenin somut nesneleri olan formüllerimiz vardır. Sayı-kuramsal
özdeksel tanıtlama yerine, önümüzde bir formülün belirli kurallara göre
bir başkasından türetilmesi vardır.
|
47. How do we obtain ideal statements? It is a remarkable as well as a favorable and promising fact that to obtain ideal statements, we need only continue in a natural and obvious fashion the development which the theory of the foundations of mathematics has already undergone. Indeed, we should realize that even elementary mathematics goes beyond the standpoint of intuitive number theory. Intuitive, material number theory, as we have been construing it, does not include the method of algebraic computation with letters. Formulas were always used exclusively for communication in intuitive number theory. The letters stood for numerical symbols and an equation communicated the fact that the two symbols coincided. ln algebra, on the other hand, we regard expressions containing letters as independent structures which formalize the material theorems of number theory. In place of statements about numerical symbols, we have formulas which are themselves the concrete objects of intuitive study. In place of number-theoretic material proof, we have the derivation of a formula from another formula according to determinate rules. |
|
48. Bu yüzden, giderek cebirde bile sonlucu nesnelerin bir çoğalmasının yer aldığını görürüz. Şimdiye dek biricik nesneler I, I I, . . ., I I I I I gibi sayısal simgelerdi. Yalnızca bunlar özdeksel irdelemenin nesneleri idiler. Ama matematiksel kılgı daha ileri gider, üstelik cebirde bile. Aslında, sonlucu bakış açımızdan bile bir formül simgelediği şey açısından geçerlidir, örneğin her zaman a + b = b + a,
2 + 3 = 3 + 2, gibi eski sonlucu bildirimler ile ilişkisi a ve b formülde 2, 3, 5, 7 gibi sayısal simgeler ile değiştirildiği zaman, böylelikle, e.d. bir tanıtlama yordamı, ama gene de çok yalın bir yordam yoluyla bireysel sonlucu bildirimlerin elde edilmesi olgusundan oluşur. Buna göre a, b, =, +, ve ayrıca bütün a + b = b + a formülünün, tıpkı sayısal simgelerin herhangi birşey demek olmamaları gibi, kendilerinde hiçbirşey demek olmadıkları vargısını çıkarırız. Gene de bu formülden kendilerine anlam yüklediğimiz başka formüller türetebilir, ve bunu onları sonlucu bildirimlerin iletimleri olarak yorumlayarak yapabiliriz. Bu vargıyı genelleştirerek, matematiği iki tür formüller için bir depo olarak tasarlarız: birincisi, kendilerine sonlucu bildirimlerin anlamlı iletimlerinin karşılık düştüğü formüller; ve, ikincisi, hiçbirşey imlemeyen ve kuramımızın ideal yapıları olan başka formüller. |
48.
Hence, as we see even in algebra, a proliferation of finitary
objects takes place. Up to now the only objects were numerical symbols like
I, I I, . . ., I I I I I. These alone
were the objects of material treatment. But mathematical practice goes further,
even in algebra. Indeed, even when from our finitary viewpoint a formula
is valid with respect to what it signifies as, for example, the theorem
that always where a and b stand for particular numerical symbols, nevertheless we prefer not to use this form of communication but to replace it instead by the formula a + b = b + a, This
latter formula is in no wise an immediate communication of something signified
but is rather a certain formal structure whose relation to the old finitary
statements, consists in the fact that, when a and b are replaced in the formula by the numerical symbols 2, 3, 5, 7, the individual finitary statements are thereby obtained, i.e., by a proof procedure, albeit a very simple one. We therefore conclude that a, b, =, +, as well as the whole formula a + b = b + a mean nothing in themselves, no more than the numerical symbols meant anything. Still we can derive from that formula other formulas to which we do ascribe meaning, viz., by interpreting them as communications of finitary statements. Generalizing this conclusion, we conceive mathematics to be a stock of two kinds of formulas: first, those to which the meaningful communications of finitary statements correspond; and, secondly, other formulas which signify nothing and which are the ideal structures of our theory. |
|
49. Şimdi amacımız neydi? Bir yanda, matematikte yalnızca sayısal simgeler kapsayan sonlucu bildirimler buluruz, örneğin 3 > 2, 2 + 3 = 3 + 2, 2 = 3, 1 ¹ 1, ki sonlucu duruş
noktamızdan başka herhangi birşeye başvurmaksızın dolaysızca sezilebilir
ve anlaşılabilirdir. Bu bildirimler doğru ya da yanlış olarak yadsınabilir.
Özel önlemler alınmaksızın Aristoteles mantığı onlara sınırsızca uygulanabilir.
Çelişmeme ilkesi onlar için geçerlidir; e.d., bu bildirimlerden birinin
yadsınması ve bildirimin kendisi ikisi birden doğru olamaz. Tertium
non datur onlar için geçerlidir; e.d., ya bir bir bildirim ya
da yadsınması doğrudur. Bir bildirim yanlıştır demek yadsınması doğrudur
demeye eşdeğerdir. Öte yandan, hiçbir sorun yaratmayan bu öğesel bildirimlere
ek olarak, ayrıca daha sorunlu sonlucu bildirimler de buluruz; örneğin,
bölümsel bildirimlere ayrılamayan sonlucu bildirimler bulduk. Son
olarak, sıradan mantık yasalarının evrensel olarak geçerli olabilmeleri
için ideal bildirimler getirdik. Ama bu ideal bildirimler, e.d. formüller
sonlucu bildirimler anlatmadıkları sürece herhangi bir anlama gelmedikleri
için, mantıksal işlemler sonlucu bildirimlere uygulandıkları gibi
onlara özdeksel olarak uygulanamaz. Öyleyse mantıksal işlemlerin ve
matematiksel tanıtların kendilerini biçimselleştirmek zorunludur.
Bu biçimselleştirme mantıksal ilişkileri forüllere çevirmeyi zorunlu
kılar. Bu yüzden, matematiksel simgelere ek olarak, ayrıca
gibi mantıksal simgeler de getirmeliyiz, ve a, b, c, . . . matematiksel değişkenlere ek olarak, ayrıca mantıksal değişkenler, e.d. A, B, C, . . . gibi önermesel değişkenler de kullanmalıyız. 2[Gerçi Hilbert’in özgün denemesi olumsuzlama imi olarak ‘—’ imini kullanmış olsa da, bu derlemdeki başka denemelerle kullanılan notasyona daha uygun olması için ‘~’ imini kullandık. — İng. Yayımcılar.] |
49. Now what was our goal? In mathematics, on the one hand, we found finitary statements which contained only numerical symbols, for example, 3 > 2, 2 + 3 = 3 + 2, 2 = 3, 1 ¹ 1, which from our
finitary standpoint are immediately intuitable and understandable without
recourse to anything else. These statements can be negated, truly or
falsely. One can apply Aristotelian logic unrestrictedly to them without
taking special precautions. The principle of non-contradiction holds
for them; i.e., the negation of one of these statements and the statement
itself cannot both be true. Tertium non datur holds for them;
i.e., either a statement or its negation is true. To say that a statement
is false is equivalent to saying that its negation is true. On the other
hand, in addition to these elementary statements which present no problems,
we also found more problematic finitary statements; e.g., we found finitary
statements that could not be split up into partial statements. Finally,
we introduced ideal statements in order that the ordinary laws of logic
would hold universally. But since these ideal statements, viz., the
formulas, do not mean anything insofar as they do not express finitary
statements, logical operations cannot be materially applied to them
as they can be to finitary statements. It is, therefore, necessary to
formalize the logical operations and the mathematical proofs themselves.
This formalization necessitates translating logical relations into formulas.
Hence, in addition to mathematical symbols, we must also introduce logical
symbols such as
and in addition to the mathematical variables a, b, c, . . . we must also employ logical variables, viz., the propositional variables A, B, C, . . . . 2[Although Hilbert’s original paper used ‘—’ as the sign for negation, we have substituted ‘~’ for greater conformity with the notation used in other papers in this collection. — Eds.]. |
|
50.
Bu nasıl yapılabilir? Ne sevindiricidir ki, bilimin
gelişiminin tarihinde öylesine sık gözlemiş olduğumuz o aynı önceden-saptanmış
uyum, Einstein’a onun yerçekimi kuramı için daha şimdiden tam olarak gelişmiş
genel değişmesizlik kalkülüsü vermekle yardım eden o aynı önceden-saptanmış
uyum bizim yardımımıza da gelir: mantıksal kalkülüsün önceden geliştirilmiş
olduğunu buluruz. Hiç kuşkusuz, mantıksal kalkülüs başlangıçta bütünüyle
ayrı bir bakış açısından geliştirildi. Mantıksal kalkülüsün simgeleri
başlangıçta yalnızca iletişimde bulunabilmek için getirildiler. Gene de
mantıksal simgelere herhangi bir anlamı yadsımak — tıpkı matematiksel
simgelerin anlamını yadsımış olmamız gibi — , ve matematiksel kalkülüsün
formüllerinin kendilerinde hiçbir anlamı olmayan ideal bildirimler olduklarını
bildirmek bizim sonlucu bakış açımızdan tutarlıdır. Mantıksal kalkülüste
simgesel bir dil buluruz ki matematiksel bildirimleri formüllere dönüştürebilir
ve biçimsel yordamlar aracılığıyla mantıksal tümevarımı anlatabilir. Özdeksel
sayı kuramından biçimsel cebire geçiş ile sağın andırım içinde, şimdi
mantıksal kalkülüsün imlerini ve işlem simgelerini anlamlarından soyutlama
içinde kullanırız. Böylece sonunda, sıradan dilde iletilen özdeksel matematiksel
bilgi yerine, tam olarak belirli kurallara göre ardışık olarak üretilmiş
matematiksel ve mantıksal simgeler kapsayan bir formüller kümesi elde
ederiz. Formüllerden kimileri matematiksel belitlere karşılık düşer. Formüllerin
birbirinden türetilmesini sağlayan kurallar özdeksel tümevarıma karşılık
düşer. Özdeksel tümevarım böylece kurallar tarafından yönetilen bir biçimsel
yordam ile değiştirilir. Saf bir irdelemeden biçimsel bir irdelemeye sıkı
geçiş, buna göre, hem belitler için (ki, başlangıçta safça temel gerçeklikler
olarak görülmelerine karşın, çoktandır modern belit kuramında salt kavramlar
arasındaki ilişkiler olarak ele alınırlar) hem de mantıksal kalkülüs için
(ki başlangıçta salt değişik bir dil olması gerekiyordu) yerine getirilir.
|
50. How can this be done? Fortunately that same preestablished harmony which we have so often observed operative in the history of the development of science, that same preestablished harmony which aided Einstein by giving him the general invariant calculus already fully developed for his gravitational theory, comes also to our aid: we find the logical calculus already worked out in advance. To be sure, the logical calculus was originally developed from an altogether different point of view. The symbols of the logical calculus originally were introduced only in order to communicate. Still it is consistent with our finitary viewpoint to deny any meaning to logical symbols, just as we denied meaning to mathematical symbols, and to declare that the formulas of the logical calculus are ideal statements which mean nothing in themselves. We possess in the logical calculus a symbolic language which can transform mathematical statements into formulas and express logical deduction by means of formal procedures. In exact analogy to the transition from material number theory to formal algebra, we now treat the signs and operation symbols of the logical calculus in abstraction from their meaning. Thus we finally obtain, instead of material mathematical knowledge which is communicated in ordinary language, just a set of formulas containing mathematical and logical symbols which are generated successively, according to determinate rules. Certain of the formulas correspond to mathematical axioms. The rules whereby the formulas are derived from one another correspond to material deduction. Material deduction is thus replaced by a formal procedure governed by rules. The rigorous transition from a naive to a formal treatment is effected, therefore, both for the axioms (which, though originally viewed naively as basic truths, have been long treated in modern axiomatics as mere relations between concepts) and for the logical calculus (which originally was supposed to be merely a different language). |
|
51. Şimdi
kısaca matematiksel tanıtların nasıl biçimselleştiril-diklerini
açıklayacağız. Daha önce matematiğin biçimsel yapısı için yapı taşları
olarak hizmet eden belli formüllere ‘‘belitler’’ dendiğini söylemiştim.
Bir matematiksel tanıt sezgimize
açık olması gereken türde bir betidir. Şu tümdengelim şemasına göre
yapılan tümdengelimlerden oluşur
ki burada her bir öncül, e.d. |
51. We will now explain briefly how mathematical proofs are formalized. I have already said that certain formulas which serve as building blocks for the formal structure of mathematics are called ‘‘axioms’’. A mathematical proof is a figure which as such must be accessible to our intuition. It consists of deductions made according to the deduction schema where each premise,
i.e., the formulas |
|
52.
İzlencemizin kendisi tanıtlama kuramı için belitlerin seçimine
yol gösterir. Belitlerin seçiminde belli bir
keyfilik miktarına karşın, geometride olduğu gibi belli belit
kümeleri nitel olarak ayırdedilemezdir. Bu kümelerden alınan kimi örnekler I. İmlem belitleri
II. Olumsuzlama belitleri
I ve II. kümelerdeki
belitler yalnızca önerme kalkülüsünün belitleridirler.
Bu noktada bu sonluötesi belitlerin seçim beliti denilen ve matematik yazınında en çok tartışılan belitin özünü kapsayan tek bir belitten türetilebileceği biçimindeki çok dikkate değer olguyu keşfederiz: (i¢) A(a) ® A(eA) ki
burada e sonluötesi, mantıksal seçim-işlevidir.
ve son olarak V.
Sayı için belitler
|
52. Our program itself guides the choice of axioms for our theory of proof. Notwithstanding a certain amount of arbitrariness in the choice of axioms, as in geometry certain groups of axioms are qualitatively distinguishable. Here are some examples taken from each of these groups: I. Axioms for implication
II. Axioms for negation
The axioms in groups I and II are simply the axioms of the propositional calculus. III. Transfinite
axioms
At this point we discover the very remarkable fact that these transfinite axioms can be derived from a single axiom which contains the gist of the so-called axiom of choice, the most disputed axiom in the literature of mathematics:
where e
is the transfinite, logical choice-function.
and finally
|
|
—
Belitlerin Seçiminde Belli Bir Keyfilik Miktarı Vardır [Yoktur. |
|
53.
Böylece şimdi tanıtlama kuramını yerine getirecek ve tanıtlanabilir
formüller dizgesini, e.d. matematiği kurabilecek bir konumdayız. Ama bu
başarım üzerine genel sevincimizde ve bu vazgeçilmez aleti, bizim payımıza
herhangi bir çaba olmaksızın daha şimdiden geliştirilmiş mantıksal kalkülüsü
bulma üzerine özel sevincimizde, çalışmamızın özsel koşulunu unutmamalıyız.
Tek bir koşul, ama gene de ideal öğeler yöntemi ile bağıntılı saltık olarak
zorunlu bir koşul daha vardır. Bu koşul bir tutarlılık tanıtıdır, çünkü
bir alanın ideal öğelerin eklenmesiyle genişletilmesi ancak genişleme
eski ve daha dar alanda çelişkilerin doğmasına neden olmazsa, ya da, başka
bir deyişle, ancak ideal yapılar silindiği zaman eski yapılar arasında
geçerli olan ilişkiler her zaman eski alanda geçerli iseler meşrudur.
|
53. Thus we are now in a position to carry out our theory of proof and to construct the system of provable formulas, i.e., mathematics. But in our general joy over this achievement and in our particular joy over finding that indispensable tool, the logical calculus, already developed without any effort on our part, we must not forget the essential condition of our work. There is just one condition, albeit an absolutely necessary one, connected with the method of ideal elements. That condition is a proof of consistency, for the extension of a domain by the addition of ideal elements is legitimate only if the extension does not cause contradictions to appear in the old, narrower domain, or, in other words, only if the relations that obtain among the old structures when the ideal structures are deleted are always valid in the old domain. |
|
54.
Tutarlılık sorunu bu durumda kolayca ele alınabilir. Açıktır ki belitlerimizden,
ve ortaya koyduğumuz kurallara göre, ‘1 ¹ 1’i
bir tanıtlamanın son formülü olarak bulamadığımızı, başka bir deyişle,
‘1 ¹ 1’in tanıtlanabilir bir formül olmadığını
tanıtlamaya indirgenir. Bu görev sezgisel irdeleme alanına en azından
özdeksel olarak kurulu sayı kuramında Ö2 nin
kesirsizliğinin bir tanıtını bulma görevi denli aittir — e.d., a2
= 2b2 ilişkisinde duran a ve b gibi iki
sayısal simgeyi bulmanın olanaksızlığının, ya da başka bir deyişle, belli
bir özellikleri olan iki sayısal simgenin üretilememesinin bir tanıtını
bulma görevi gibi. Benzer olarak, üzerimize belli bir tanıtlama türünün
üretilemeyeceğini gösterme görevi de düşer. Biçimselleştirilmiş bir
tanıtlama, tıpkı sayısal bir simge gibi, somut ve görülebilir
bir nesnedir. Onu tam olarak betimleyebiliriz. Dahası, son
formülün gerekli özelliği, e.d. ‘1 ¹ 1’i vermesi,
tanıtlamanın somut olarak saptanabilir bir özelliğidir. Ve, gerçekten
de, bu formülü son formülü olarak almayan bir tanıtlama bulmanın olanaksız
olduğunu tanıtlayabileceğimize göre, böylelikle ideal bildirimleri getirişimizi
aklamış oluruz
|
54. The problem of consistency is easily handled in the present circumstances. It reduces obviously to proving that from our axioms and according to the rules we laid down we cannot get ‘1 ¹ 1’ as the last formula of a proof, or, in other words, that ‘1 ¹ 1’ is not a provable formula. This task belongs just as much to the domain of intuitive treatment as does, for example, the task of finding a proof of the irrationality of Ö2 in materially constructed number theory — i.e., a proof that it is impossible to find two numerical symbols a and b which stand in the relation a2 = 2b2, or in other words, that one cannot produce two numerical symbols with a certain property. Similarly, it is incumbent on us to show that one cannot produce a certain kind of proof. A formalized proof, like a numerical symbol, is a concrete and visible object. We can describe it completely. Further, the requisite property of the last formula; viz., that it read ‘1 ¹ 1’, is a concretely ascertainable property of the proof. And since we can, as a matter of fact, prove that it is impossible to get a proof which has that formula as its last formula, we thereby justify our introduction of ideal statements. |
|
55. Ayrıca tam olarak aynı zamanda matematikçileri uzun bir süredir uğraştıran bir sorunu, e.d. aritmetiğin belitlerinin tutarlığını tanıtlama sorununu çözmüş olduğumuzu keşfetmemiz de hoş bir sürprizdir. Çünkü, nerede belit yöntemi kullanılsa, tutarlığı tanıtlama sorunu doğar. Hiç kuşkusuz kuralları ve belitleri seçmede, anlamada ve kullanmada yalnızca kör inanca güvenmeyi istemeyiz. Geometride ve fiziksel kuramda tutarlılık tanıtı onların tutarlıklarını aritmetiğin belitlerinin tutarlığına indirgeme yoluyla ortaya çıkarılır. Ama açıktır ki bu yöntemi aritmetiğin kendisinin tutarlığını tanıtlamak için kullanamayız. İdeal öğeler yöntemi üzerine dayalı tanıtlama kuramımız bize bu son adımı atma olanağını verdiği için, belit kuramının öğretisel kemerlerinden birinin zorunlu anahtar taşını oluşturur. Bir kez sonsuz küçüklük kalkülüsünün paradoksları ile ve bir kez de küme kuramının paradoksları ile iki kez yaşadığımız şey bir üçüncü kez daha yaşanmayacak, bir daha hiç yaşanmayacaktır. |
55. It is also a pleasant surprise to discover that, at the very same time, we have resolved a problem which has plagued mathematicians for a long time, viz., the problem of proving the consistency of the axioms of arithmetic. For, wherever the axiomatic method is used, the problem of proving consistency arises. Surely in choosing, understanding, and using rules and axioms we do not want to rely solely on blind faith. In geometry and physical theory, proof of consistency is effected by reducing their consistency to that of the axioms of arithmetic. But obviously we cannot use this method to prove the consistency of arithmetic itself. Since our theory of proof, based on the method of ideal elements, enables us to take this last important step, it forms the necessary keystone of the doctrinal arch of axiomatics. What we have twice experienced, once with the paradoxes of the infinitesimal calculus and once with the paradoxes of set theory, will not be experienced a third time, nor ever again. |
|
56.
Burada taslağını verdiğimiz tanıtlama kuramı yalnızca matematiğin
temelleri için sağlam bir dayanak sağlayabilmekle kalmaz, ama, inanıyorum
ki, ayrıca matematikçilerin şimdiye dek ele almayı başaramadıkları temel
matematiksel soruları irdelemek için genel bir yöntem de sağlar.
|
56. The theory of proof which we have here sketched not only is capable of providing a solid basis for the foundations of mathematics but also, I believe, supplies a general method for treating fundamental mathematical questions which mathematicians heretofore have been unable to handle. |
|
57. Bir anlamda matematik temel sorular üzerine karar vermek için ve bunu üzerinde herkesin anlaşabileceği ve her bildirimin denetlenebileceği somut bir temel üzerinde yapmak için bir hakemlik mahkemesi, bir yüksek mahkeme olmuştur. |
57. In a sense, mathematics has become a court of arbitration, a supreme tribunal to decide fundamental questions — on a concrete basis on which everyone can agree and where every statement can be controlled. |
|
58. ‘‘Sezgicilik’’ denilen yeni çizginin önerüsümleri, ne denli alçakgönüllü olsalar da, benim görüşümde ilkin geçerlik yetkilerini bu mahkemeden almalıdırlar. |
58. The assertions of the new so-called ‘‘intuitionism’’ — modest though they may be — must in my opinion first receive their certificate of validity from this tribunal. |
|
59.
‘‘Sezgicilik’’ denilen yeni çizginin önerüsümleri, ne denli alçakgönüllü
olsalar da, benim görüşümde ilkin geçerlik yetkilerini bu mahkemeden almalıdırlar.
|
59. The assertions of the new so-called ‘‘intuitionism’’ — modest though they may be — must in my opinion first receive their certificate of validity from this tribunal. |
|
60.
Böyle ele alınabilecek türde temel soruların bir örneği her matematiksel
problemin çözülebilir olduğu savıdır. Hepimiz bunun gerçekten böyle olduğu
kanısındayız. Gerçekte bir matematiksel problem ile uğraşmanın en çekici
yanlarından biri şu çığlığı içimizde her zaman duymamızdır: Problem burada,
yanıtı bul: onu yalnızca düşünerek bulabilirsin, çünkü matematikte bilinemeyecek
hiçbirşey yoktur. Şimdi benim tanıtlama kuramım her matematiksel problemin
çözümü için genel bir yöntem sunamaz — böyle bir yöntem kesinlikle yoktur.
Gene de tanıtlama (her matematiksel problemin çözülebilir olduğu sayıltısı
tutarlı bir sayıltıdır) tam olarak kuramımızın alanı içersine düşer.*
|
60. An example of the kind of fundamental questions which can be so handled is the thesis that every mathematical problem is solvable. We are all convinced that it really is so. In fact one of the principal attractions of tackling a mathematical problem is that we always hear this cry within us: There is the problem, find the answer; you can find it just by thinking, for there is no ignorabimus in mathematics. Now my theory of proof cannot supply a general method for solving every mathematical problem-there just is no such method. Still the proof (that the assumption that every mathematical problem is solvable is a consistent assumption) falls completely within the scope of our theory. |
|
— Her Matematiksel Problem Çözülebilir Mi? *[Bu sayıltı yalnızca matematiğin kendi içinde bütünüyle tutarlı, uyumlu ya da ussal bir yapı olduğunu değil, ama matematik ve olgusallık arasında nicelik açısından bütünüyle tutarlı bir ilişki olduğunu da imlemelidir. Hilbert’in tüm çabasına karşın, matematiksel tanıtlamanın ya da uslamlamanın doğası hiçbir duruluk kazanmış değildir. Nicelik kavramının eytişimini dikkate almamak bu kavramın kendisini dikkate almamak, onu yalnızca doğal usun işlevinde kullanmaktır. Ancak kavram — süreklilik ve kesiklilik — bir yana atılaraktır ki ‘bir aralıktaki noktalar ‘sayılabilir.’ Gene de problemler çözülür, çünkü doğal usun işlevinde çözülür, ve çözümsüzlük kuşkusu ussallık kuşkusundan başka hiçbir anlama gelmez. Matematiksel bilinç kavramını tanımaksızın da iş görebilir, çünkü kavramın işlevi analitik tek-yanlılık tarafından durdurulmadıkça işler. Ama Cantor başaramadı, çünkü tek-yanlı kesikliliğin sözcülüğünü üstlendi. Bu yüzden doğal matematiksel usa çılgınca göründü. Felsefe varolan herşeyin, tüm edimselliğin ussal olduğunu tanıtlamıştır, ve kavramın sağınlığının şu ya da bu noktada çökmesi gibi bir kaygı taşımaz. Bu tanıtlama felsefenin kendisidir ve bilinç eytişimin gerçek doğasını kavramadığı sürece, bu sorunu çözmeksizin kuşkuculuğa sığınması için hiçbir haklı gerekçe bulamaz. Kuşkuculuk bu anlamda da çabadan vazgeçmek, ve salt gereksiz bir gürültü yapmaktır. Matematiksel tanıtlama, ve matematiksel tablonun olgusallık ile ilişkisi konuları Hilbert’in dediği gibi, olağanüstü çekicidir. Ama aynı tanıtlama ve aynı gerçeklik arayışı tarihte, törel yaşamda, doğa biliminde, estetikte, ruhbilimde, insan varoluşunun her alanında en azından eşit ölçüde çekicidir.] |
|
61.
Şimdi son kozumu oynayacağım. Yeni kuramın asit testi uzun bir süredir
bilinmelerine karşın kuramın kesinlikle onları çözmek için tasarlanmadığı
problemleri çözme yeteneğidir. ‘‘Onları meyvalarından tanıyacaksınız’’
düzgüsü kuramlar için de geçerlidir. Cantor ilk sonluötesi sayılarını,
ikinci sayı sınıfının sayıları denilen şeyleri keşfettiği zaman, dolaysızca
ortaya çıkan soru, daha önce değindiğim gibi, bu sonluötesi sayma yönteminin
başka bir yerden bilinen ve olağan anlamda sayılabilir olmayan kümeleri
sayma olanağını verip vermediği sorusuydu. Bir aralığın noktaları çarpıcı
bir yolda böyle bir küme olarak ortaya çıktılar. Bu soru — bir aralığın
noktalarının, e.d. gerçek sayıların, daha önce verilen tablonun sayıları
aracılığıyla sayılıp sayılamayacağı sorusu — Cantor’un ortaya koyduğu
ama çözmeyi başaramadığı ünlü süreklilik problemidir. Gerçi kimi matematikçiler
bu problemin varoluşunu yadsıyarak ondan kurtulabileceklerini düşünmüş
olsalar da, şu gözlemler ne denli yanılmış olduklarını gösterir: Süreklilik
problemi başka problemlerden benzersizliği ve iç güzelliği ile ayrılır.
Dahası, öteki problemler üzerinde şu iki niteliği bileştirme üstünlüğünü
sunar: Bir yandan, çözümü için yeni yöntemler gereklidir çünkü eski yöntemler
onu çözmeyi başaramazlar; öte yandan, çözümünün kendisi elde edilecek
sonuçlardan ötürü çok önemlidir.
|
61. I will now play my last trump. The acid test of a new theory is its ability to solve problems which, though known for a long time, the theory was not expressly designed to solve. The maxim ‘‘By their fruits ye shall know them’’ applies also to theories. When Cantor discovered his first transfinite numbers, the so-called numbers of the second number class, the question immediately arose, as I already mentioned, whether this transfinite method of counting enables one to count sets known from elsewhere which are not countable in the ordinary sense. The points of an interval figured prominently as such a set. This question — whether the points of an interval, i.e., the real numbers, can be counted by means of the numbers of the table given previously — is the famous continuum problem which Cantor posed but failed to solve. Though some mathematicians have thought that they could dispose of this problem by denying its existence, the following remarks show how wrong they were: The continuum problem is set off from other problems by its uniqueness and inner beauty. Further, it offers the advantage over other problems of combining these two qualities: on the one hand, new methods are required for its solution since the old methods fail to solve it; on the other hand, its solution itself is of the greatest importance because of the results to be obtained. |
|
62. Geliştirdiğim kuram süreklilik probleminin bir çözümünü sağlar. Her matematiksel problemin çözülebilir olduğunun tanıtı onun çözümüne doğru ilk ve en önemli adımı oluşturur.3 3[Bu noktada Hilbert süreklilik probleminin çözümü için bir girişim taslağını verir. Girişim ilginç olsa da hiçbir zaman tamamlanmadı. Bu yüzden burada onu atlıyoruz. — Yayımcılar] |
62. The theory which I have developed provides a solution of the continuum problem. The proof that every mathematical problem is solvable constitutes the first and most important step toward its solution.3 3[At this point, Hilbert sketched an attempted solution of the continuum problem. The attempt was, although not devoid of interest, never carried out. We therefore omit it here. — Eds.] |
|
63.
Özet olarak, ana temamıza geri dönelim ve sonsuza ilişkin tüm düşüncelerimizden
kimi vargılar çıkaralım. Başlıca sonucumuz sonsuzun
olgusallıkta hiçbir yerde bulunamayacak olduğudur. Ne doğada
vardır, ne de ussal düşünce için meşru bir temel sağlar — varlık ve düşünce
arasında dikkate değer bir uyum. Frege ve Dedekind’in daha önceki çabaları
ile karşıtlık içinde, inanıyoruz ki belli sezgisel kavramlar ve içgörüler
bilimsel bilginin zorunlu koşullarıdır, yalnızca mantık yeterli değildir.
Sonsuz ile iş görmek ancak sonluluk yoluyla pekin kılınabilir.
|
63. In summary, let us return to our main theme and draw some conclusions from all our thinking about the infinite. Our principal result is that the infinite is nowhere to be found in reality. It neither exists in nature nor provides a legitimate basis for rational thought — a remarkable harmony between being and thought. In contrast to the earlier efforts of Frege and Dedekind, we are convinced that certain intuitive concepts and insights are necessary conditions of scientific knowledge, that logic alone is not sufficient. Operating with the infinite can be made certain only by the finitary. |
|
—
Sonsuz Olgusallıkta Hiçbir Yerde Bulunmaz [Sağın konuşmak gerekirse, Sonsuz ancak Sonlulaştırılarak analitik anlak düzlemine getirilebilir. Ama Sonsuzun Sonlulaştırılması anlağın bile başaramayacağı bir el çabukluğudur. Hilbert’in matematikçiliği böyle daha yüksek gerçeklikler üzerine, daha bilimsel sezgiler vb. üzerine dayanır. Daha da iyisi, gerçeklik, bilimsellik gibi kavramları bir yana atmaktır. Pozitivizm sonunda bunu yapar.] |
|
64.
Sonsuz için geriye kalan rol yalnızca bir düşüncenin rolüdür — eğer bir
düşünce ile denmek istenen şey, Kant’ın terminolojisinde, tüm deneyimi
aşan ve bir bütünlük olarak — kuramımız tarafından çizilen çerçeve içersinde
hiçbir duraksama göstermeden güvenebileceğimiz bir düşüncenin bütünlüğü
olarak — somutu tamamlayan bir us kavramı ise.
|
64. The role that remains for the infinite to play is solely that of an idea — if one means by an idea, in Kant’s terminology, a concept of reason which transcends all experience and which completes the concrete as a totality — that of an idea which we may unhesitatingly trust within the framework erected by our theory. |
|
65.
Son olarak P. Bernays’a özellikle süreklilik teoreminin tanıtı ile
ilgili olarak hem uygulayımsal hem de yazınsal açıdan akıllıca işbirliği
ve değerli yardımı için teşekkür etmek istiyorum.
|
65. Lastly, I wish to thank P. Bernays for his intelligent collaboration and valuable help, both technical and editorial, especially with the proof of the continuum theorem. |
|
** Çözümlemeler ve Notlandırmalar Tamamlanacak (Aralık 2000) ** |
|
|
|
|
| KONULAR |
|
Bu Çeviri için (c) Aziz Yardımlı 2000 |
26
a. Özellikle matematiğin temelleri üzerine çalışmaları ile ünlü
iki matematikçi olan Frege ve Dedekind
birbirlerinden bağımsız olarak matematik için hem sezgiden
hem de deneyimden bağımsız olan bir temel sağlamak için edimsel
sonsuzu kullandılar. Bu temel yalnızca arı mantık üzerine
kuruluydu ve yalnızca mantıksal olan tümdengelimlerden yararlanıyordu.
Dedekind giderek işi sonlu sayı kavramını sezgiden almayıp tersine bir
sonsuz küme* kavramını kullanma
yoluyla mantıksal olarak türetmeye dek vardırdı. Ama edimsel sonsuz
kavramını dizgesel olarak geliştiren Cantor
oldu. Sonsuzun daha önce sözü edilen iki örneğini irdeleyelim:
‘‘Ama
yalnızca zayıflığımızla ilgili bu imgesel güçlüklerin karşısına
bırakalım şu doğal içgörüleri ve sağlam gerçeklikleri çıkarsınlar:
Eğer uzayın belli bir sonlu sayıda bölünmezden oluştuğu doğru
olsaydı, bundan her biri bir kare (eş deyişle, tüm kenarları eşit
ve benzer) ama biri ötekinin iki katı olan iki uzaydan birinin
bu bölünemezlerden ötekinin sayısının iki katını kapsayacağı sonucu
çıkardı. Bırakalım bu sonucu kafalarında sıkı sıkıya tutsunlar,
ve sonra noktalardan kareler yapma işine girişsinler, ta ki birinde
ötekinin noktalarının iki katı nokta olan iki kare buluncaya dek;
ve o zaman dünyadaki tüm geometricilerin onlara boyun eğmesini
sağlayacağım. Ama eğer bu doğallıkla olanaksızsa, daha açık olarak,
eğer noktalardan biri ötekinin noktalarının iki katını kapsayacak
kareler yapmada üstesinden gelinemez bir olanaksızlık varsa —
ki eğer harcanacak zamana değer olsaydı tam burada tanıtlardım
—, bırakalım gerekli vargıyı çıkarsınlar.’’ 
ve 
formülleri,
ya bir belittir, ya da yerdeğiştirme yoluyla bir belitten doğar,
ya da bir önceki tümdengelimin son formülüdür, ya da yerdeğiştirme
yoluyla böyle bir formülden doğar. Bir formülün eğer bir tanıtın
son formülü ise tanıtlanabilir olduğu söylenir.
and 
,
either is an axiom, or results from an axiom by substitution, or is the
last formula of a previous deduction, or results from such a formula by
substitution. A formula is said to be provable if it is the last formula
of a proof.