Geometri

Modern pozitivizm Geometrinin a priori bir bilim olmasına izin vermez. Denmek istenen şey dosdoğru ve apaçık olarak geometrinin bir ‘deneyim ve gözlem bilimi’ olduğu, böylece hiçbir evrensel ve zorunlu ilke kapsamadığı, aslında tüm yapısının sağın olmayan, giderek keyfi de olabilen belitler üzerine dayandığıdır, çünkü gözlem ve deneyim üzerine hiçbir sağınlığın, hiçbir gerçekliğin, hiçbir bilimselliğin geçerli olmadığını yine bu aynı pozitivizmin kendisi çok iyi bilir.

Bundan böyle belit kavramının kendisinin sağın anlamını yitirdiğini, aslında bir kavram olarak çöpe atıldığını görmek güç değildir. Bundan böyle bilim kavramının kendisinin gerçek anlamını yitirdiğini, ve yanlışlanabilir olmanın, gerçek olmama, tersine açıkça yanlış olma koşulunun bilimsellik düzeyine yükseltildiğini görmek güç değildir. Görgül genelleme gevşektir, laçkadır, ve bilimi bu ilkeye indirgemek, uyarlamak isteyen pozitivizme göre, bir gün pekala taş yere düşmeyebilir çünkü yasa değil ama olasılık vardır, ve bir gün pekala dünya güneşin çevresinde kare bir yörüngeye girebilir çünkü tüm doğa yasaları, Newton’un Hume’dan, onun çömezi olan Popper’dan ve başkalarından çok çok önce bütünüyle açıkça belirttiği gibi, pozitivistin doğayı seyretmesinin, gözlemesinin sefil tümevarımlarından çoğu değildirler.*

Bu elbette kulağa bir parodi gibi gelir. Ama modern irrasyonalizmin parodi olmadığını, ciddi olduğunu kabul etmeliyiz. Ve böyle üçgenler ‘bulunmuştur.’ Geometrinin belitsel yapısının keyfi olduğu da ‘anlaşılmıştır.’ Bu saçmalıkların bütünüyle dışında, kendi çalışmasına ‘‘İmgesel Geometri’’ diyen Lobatchevsky* ve ayrıca Riemann çok daha önce böyle eğrisel üçgenleri incelemişlerdi. Ama bu eğri yüzey geometrilerinin Geometriyi çürüttükleri buluşu onlara ait değildir. Küre yüzeyinde ve hiperbolik yüzeylerde böyle eğrisel üçgenler çizilebilir, ve düzlem yüzeylerde geçerli olan belitler böyle eğri yüzeylere doğrudan doğruya uygulanamazlar. Yeni ‘fiziksel’ geometri bu özel yüzeylerde geçerli olan belitleri düzlem geometrinin belitlerinin çürütülmesi olarak görür, bu bütünüyle ussal ayrımın geometrinin kendisinin çürütülmesi olduğu sanısına kapılır. Tüm ‘fiziksel geometri’ anlayışının temelinde yatan sorun budur. Doğal yargımıza, doğal usumuza güvenmeliyiz. Bu irrasyonalizm tarafından, bu aptallığın ölçüsüzlüğü tarafından terörize edilmemeliyiz. Düşüncenin gücüne güvenmeliyiz. Bu sapık mantığı ileri sürenler, matematiğe sözde duyusal, görgül, fiziksel temel arayanların kendileri de gerçekte sözcüğün tam anlamıyla aynı mantığı kullanırlar. Ama onu kendi kendisine karşı kullanırlar. Bu usdışı bakış açısı sorunu yalnızca yüzeylere sınırlayamaz. Hilbert ne olursa olsun hiçbir yüzeyle ilgili olmayan noktanın tanımını bile ‘fizikselleştirir.’ Bu tür girişimler geometrinin görgülleştirilmesi için, sonsuz-küçüklüğün ya da sürekliliğin yokedilmesi için, geometrik belitlerin Olimpos’un yüksekliklerinden irrasyonalist ‘geometricinin’ toprağına indirilmeleri için amaçlanırlar.

 

*Lobatchevsky çalışmalarını yalnızca Rusça’da değil ama ayrıca Fransızca ve Almanca’da da yayımladı. ‘‘Géométrie Imaginaire’’ 1837’de Almanya’da da yayımlandı.

Leonhard Euler (15 Nisan 1707, Basel, İsviçre — 18 Eylül 1783 St. Petersburg, Rusya

Burada çok iyi bir matematikçinin, modern matematiğin en verimli kafalarından birinin geometrinin a priori doğası üzerine Platon’u, Öklides’i, Descartes ve Leibniz’i doğrulayan sözlerini okuyabiliriz. Euler Letter to a German Princess’te şunları yazar (İng. çeviri Brewster tarafından, Cilt 2, s. 31):

‘‘Uzam cisimleri yalnızca uzamlı oldukları ölçüde ve içine-işlenemezlikten ve süredurumdan soyutlanmış olarak irdeleyen geometrinin asıl nesnesidir; geometrinin nesnesi öyleyse cisim kavramından çok daha genel bir kavramdır, çünkü yalnızca cisimleri değil ama, eğer böyle şeyler varsa, içine-işlenemezlik olmaksızın salt uzamlı olan tüm şeyleri kapsar. Dolayısıyla bundan şu çıkar ki, geometride uzam kavramından çıkarsanan tüm özellikler benzer olarak uzamlı oldukları düzeye dek cisimlerde de yer almalıdır.’’

Euler’in anlatmaya çalıştığı şey nicelik kavramının belirli-varlığını uzayın kendisinde bulduğu, salt soyut-sayısal ölçü ile ilgili ideal-düşünsel birşey olmadığı, ama o denli de olgusal olduğu, özdeksel şeylerin kendileri için de tam olarak ideasında olduğu gibi geçerli olduğudur. Reelden kopuk soyut bir idealar dünyasının sorunu olmadığı, ama o denli de olgusal olduğudur. Einstein’ın anlayacağı dilde anlatılırsa, cisimlerin genleşmesi ile birlikte uzayın ve geometrinin de genleştiklerini düşünmenin pek doğru olmadığıdır: Uzam kavramının tüm özellikleri cisimlerin de özellikleridir. İdeal ve reel birdir.

Geometri tam olarak Euler’in ona verdiği ideal anlamda sağındır. Uzay ve zaman ve özdek de eşit ölçüde sağındır. Ve elbette devim de.

Tümü de nicelik kategorisi altında dururlar, ve sağınlıklarının tüm anlamı budur. Bir cisim genleşebilir. Einstein hiç utanmadan bunu geometrinin genleşmesi olarak yorumlar. Bir cisim sağınlığının pergel-cetvel ölçümü ile saptanmasına izin vermez. İnsan algısı kabalığı nedeniyle buna yetenekli değildir. Bu olgu kavramı ruhbilimsel algıya indirgeyen görgücülük tarafından geometrinin kendisinin sağınlık yoksunluğu olarak yorumlanır. (David Hume iki doğru çizginin çok küçük açılar durumunda bir dilim boyunca kesişeceklerini yazar.) Parçacık yapısının düzenlenişindeki ve ölçme aracımızın kendisinin parçacık yapılarının düzenlenişindeki kabalıklar ve en sonunda insan duyumlarının kendilerinin sağınlık yoksunlukları eksiksiz ölçümler yapmamıza izin vermez. Ama bu fiziksel evrenin nicelik kategorisine başkaldırısı değildir. Evren tüm özdekselliği içinde, en büyük galaksi kümelerinden en küçük parçacıklara dek, nicelik kategorisinin sonsuz küçüklükteki ya da sonsuz büyüklükteki ayrımlarına sarılır, tek bir atomun ya da tek bir galaksinin bir yanlışlık yapmasına, kendi mekanik ussallığından en küçük bir sapma göstermesine izin vermez. Ve eğer insan geometriyi bu boyutlara dek izleyebilseydi, ancak o zaman fiziksel evrenin sözcüğün en sağın anlamında bir geometri de olduğunu, Fiziğin Geometri ile tam olarak çakıştığını görebilirdi. Ve gene de geometrinin ‘genleşip sıkışmadığını,’ genleşip sıkışmanın kendisinin geometrinin ya da fiziğin bir fenomeni, özdeğin geometrik deviminin kendisi olduğunu görürdü.

Geometrinin a priori bir bilim olduğu, aslında tüm bilimlerin a priori oldukları görüşünün kendisi bir belittir. Ve gene de, tüm belitler gibi, tanıtlama gereksinimindedir. Bu mantıksal dizgenin kendi içersinde yerine getirilir. Hegel’in Doğa Felsefesi’nin Birinci Bölümünde (Uzay ve Zaman) en temel geometrik kavramları (nokta, çizgi, yüzey, oylum) çıkarsaması (§ 256) Euklides’in Öğeler’indeki tanımların çürütülmesi değil ama eksiksiz mantık yoluyla, kavramın kendi eytişimi yoluyla en son aklanışlarıdır. Ama bu mantıksal sağınlık olmaksızın da noktanın, doğru çizginin, düzlem yüzeyin vb., giderek uzay, zaman ve özdeğin kavramsal doğaları doğal us tarafından dolaysızca anlaşılır ve gerçeklenir. Bu belitsel düzlemdir. Ve görgül bilimler bu belitsel düzlemde çalışmakla yetinirler. Ama burada da eytişimsel düğüm noktaları ile karşılaşılır, ve başlıca sorun sonsuzluk ve süreklilik kavramlarına bağlı olarak ortaya çıkar. Görgül ya da a posteriori bilim bu yalın kavramsal sorunlar karşısında bozguna uğrar, duyusallığa ya da fizikselliğe, sonluluğa ve süreksizliğe inmekten başka bir çözüm bulamaz (Hilbert’in fiziksel nokta tanımı, David Hume’un iki doğru çizgiyi bir dilim boyunca kesiştirmesi, Einstein’ın katı ölçme çubuklarıyla ölçülen ds uzaklığı vb. gibi).* İşin gerçeği görgül bilim, a posteriori bilim denilen şeyin hiç de bu görgücü bakış açısının sandığı gibi olmadığıdır. Kant’tan çok önce, Descartes yalnızca deneyimin, yalnızca algının değil, ama tüm duyumun bile ancak düşünce belirlenimleri yoluyla anlamlı olduğunu göstermişti. Deneyim, gözlem, algı denilen süreçler daha baştan kuramsaldır, kategoriler tarafından belirlenirler. A posteriori denilen bilim kaba duyumculuğun bir yapıntısından başka birşey değildir.

 

*Özdeksel ve kavramsal alanlarda sürekliliğin ve kesikliliğin birliği konusunda, salt kesiklilik kategorisinde direten ‘nice sıçramaları’ tasarımının değersizliği konusunda Schrödinger’in Özdek Nedir? başlıklı yazısı modern bilimcilik alanında bile eytişimsel düşüncenin bütünüyle yenilmediğini gösteren en güzel örneklerden biridir. Ama Batı akademizmi mitlere daha çok değer verir, ve böyle ussal girişimler gerçek değerlerinde tanınmazlar.

Geometriyi deneysel bilimin bir dalı olarak gören bakış açısı herşeyden önce deneysel bilimin kendisinin a posteriori olmasının ne demek olduğu üzerine düşünmelidir. A posteriori bilginin bir bilgi bile olmadığı, deneyim ve gözlemden türetilen tümevarımların ancak yaklaşık gerçeklikler, eş deyişle ancak olasılıklar olduklarını, bu yalın olguyu görgücülüğün kendisi büyük bir buluş olarak görür.* Tümevarım yalnızca bir olasılık derecesi verir. Ve çamaşır yıkayan bir görgücünün ne zaman çamaşır yıkasam yağmur yağar yolundaki tümevarımından daha iyi bir geçerlik göstermez. Böyle gözlemler elbette hiçbir zaman bir evrenselliğin, bir zorunluğun, bir nedenselliğin temeli olamazlar. Yalnızca ilinekselliğin, olasılığın, istatistiğin ve tahminin temelleri olabilirler. Bilim olasılıkla da ilgilenir. Ama ona bir gerçekliğin, bir nedenselliğin değerini vermez. Bilimsel yasa, bilimsel değişmez, bilimsel gerçeklik görgücü bakış açısının kavrayış çevreninin çok çok üstündedir. Pozitivist Einstein’ın haklı olarak yakındığı gibi Olimpos’un doruklarındadır. Kişinin oraya tırmanmayı göze alması gerekir.

 

*A posterioriciliğin nerelere dek vardığını belirtmek yerinde olur. Mill mantığın ve matematiğin kendilerinin görgül olduğunu, gözlem ve deney tarafından çürütülebilir olduğunu düşünüyordu.

Çözümsel ya da bireşimsel anlatımları mantıksal sağınlık imlemezler, giderek salt görgül dışsallık alanında kullanıldıklarında, herhangi bir mantık bile imlemezler. Kant’ın analitik ve sentetik terimlerini kullanımı doğal mantığı terimlerdeki bu gevşeklik ve genişlik nedeniyle şaşırtır. Ve terimin yetersizliğini göstermek istercesine, analitik olmanın özdeş olmayı imlediğini kendisi söyler.

‘‘Çözümsel yargılar içlerinde yüklemin özne ile bağlantısının özdeşlik yoluyla düşünüldüğü yargılardır’’ [AUE, B 10].

Ama özdeşlik kendi eytişimi gereği ayrımdan ayrı değildir. ‘Özdeşlik’ anlatımından yararlanmayı kabul ettiğimiz sürece, ‘doğru’ çizgi ve ‘en kısa’ çizgi arasındaki ilişki, ve ‘eğri’ çizgi ve ‘daha az kısa’ çizgi arasındaki ilişki özdeşlikten başka birşey değildir.

Euklides’in Öğeler’deki ilk tanımı — ‘Nokta parçası olmayandır’ — geometrinin işlemesi için yeterli ve uygun olanın örneğini verir. Varlığın doğrulanması olan tanıtlamadan ayrı olarak, tanımda istenen istenen şey yalnızca anlamdır. Tanım bu yüzden ‘nokta’ ve ‘parça’ arasında kurulan karşıtlıktan yararlanabilir, üstelik henüz ‘parça’ kavramının kendisinin tanımı verilmemiş olsa bile. Bu yöntem geometrinin amaçları için yeterlidir. Geometri felsefe değildir. Ama gene de belitlerin Geometride varsayımlar olarak kabul edilmeleri gerçekliklerinin kuşkulu olması demek değildir. Tersine, gerçekliklerinin genellikle tanıtlama denilen uslamlama süreçlerine başvurmayı kesinlikle gerektirmeyecek denli açık olmasıdır. Belitin işlevi yalnızca ve dolaysızca geometrik kavramın görgül belirlenimini bildirmektir, ve tanımın kendisi geometrik kavram ve duyusal tasarımı arasındaki ayrımı varsayar. Eğer iki nokta arasındaki ‘doğru çizgi’ = ‘en kısa çizgi’ ise, ve belit yalnızca bunu belirtiyorsa, belit yalnızca kavramın sezgisel ya da duyusal belirlenimini bildirir. Ve kısa ya da uzun terimleri özsel doğasında nicelik olan doğru çizginin belirlenimini ne eksiltirler ne de çoğaltırlar. Geometri bu görgül belirlenimi ister, çünkü çizimler yoluyla, algı düzleminde işler. Belirlenimi kavrama dışsal görmek kavramı kendine dışsal ya da kavramı kendi dışında görmektir. Bu içsellik nedeniyledir ki belit analitik ya da çözümsel olmak zorundadır. ‘En kısalık’ belirlenimi doğru çizgiden uzaklaştırıldığında, geriye doğru çizginin kendisi de kalmaz. Ve elbette Geometri de kalmaz.

Ayrıca bkz. Belit

GELİŞTİRİLİYOR