İdea Yayınevi / Bilim Felsefesi
site haritası
 
SONSUZ
Aziz Yardımlı

SONSUZU DURULAŞTIRMAK

Hilbert ‘‘Sonsuz Üzerine’’ başlıklı yazısında sonsuzluk kavramında yatan eytişimsel sorunların nasıl ‘fiziksel’ olgular ve ‘özdeksel’ şeyler tarafından bir karara bağlandığını göstermeye çalışır (1925; italikler sonradan):

‘‘Kuramımın hedefi en temel anlamda matematiksel yöntemlerin pekinliğini sağlamaktır. ... Dikkatli bir okur matematik yazınının kaynaklarını sonsuzda bulan ahmaklık ve saçmalıklar ile dolup taştığını bulacaktır. ... [B]aşarıgerçekte özseldir, çünkü matematikte de başka yerlerde olduğu gibi başarı en yüksek mahkemedir ki kararlarına herkes boyun eğer.’’

Bir matematikçinin sonsuzluk kavramına bağlı "ahmaklık ve budalalıklar"dan değil ama analitik düşüncenin kendisinin çözemeyeceği problemlerin olduğundan söz edecek denli ince olması gerekir. Yine, bir matematikçinin matematikte de en yüksek yargıcın "başarı" değil ama ussallık olduğunu görmesi gerekir. Kavramın doğasını tanımayan bir bilinç matematik yapabilir mi? Evet. Gerçekte matematik ve başka görgül bilimler bir kural olarak bu yolda yapılır. Usun işlev görmek için özbilinçli olması gereksizdir.

Hilbert’in kuramsal amacı matematiği her nasılsa sonsuzluk kavramına bağlı ‘ahmaklıklardan’ kurtarmak ve bunu her nasılsa yöntemsel bir pekinliğe ulaşarak başarmaktır. Bu anlaşılır birşeydir. Ama matematikte de ‘başarı’nın son yargı konumu olarak kabul edilmesini, pragmatizmin ağır basması gerektiğini ileri sürmek yürek ister. Ve Hilbert yürekliydi. Yalnızca yüreğinin ne için attığını bilmiyordu. Tüm kuşkuculuğa meydan okuyarak, ‘‘Bilmeliyiz, bileceğiz’’ :: ‘‘Wir müssen wissen, wir werden wissen’’ diyen de oydu. Ama tüm başarılarına karşın, görgül ‘başarı’nın son yargıç olmadığını, tersine, başarıyı onaylayanın us olduğunu, bakış açısının belirleyici olduğunu göremedi. Ve kendi bakış açısı analitik, fizikselci, sezgici idi — ele aldığı sorunlar karşısında saltık olarak umutsuz bir bakış açısı.

‘‘[Bu] gözlemlerin biricik amacı sonsuzun doğasının belirleyici durulaştırmasının, yalnızca özelleşmiş bilimsel ilgilerin alanına ait olmak yerine, insan anlağının kendisinin vakarı için gerekli olduğu olgusunu göstermektir.’’

Hiç kuşkusuz, sonsuzun kavramı salt matematiksel bir sorun yaratmakla kalmaz, ama doğal bilincin de bu konuda işin gerçeğini anlamaya hakkı vardır. Ve Hilbert’e göre işin gerçeği matematiğin, aslında tüm bilimin, tüm insanlığın sonsuzluk kavramından kurtulması gerektiği, çünkü böyle bir şeyin varolmadığı ve varolmaması gerektiğidir. Yazı bu hedefe doğru ilerler.

‘‘Sonsuzun doğasını durulaştırma işine dönmeden önce, kısaca sonsuza edimsel olarak hangi anlamın verildiğini belirtmeliyiz. İlkin fizikten ne öğrenebileceğimize bakalım. Kişinin doğal olaylar ve özdek konusundaki ilk saf izlenimi kalıcılıksüreklilik izlenimidir.’’

Matematik fizikten de birşeyler öğrenmelidir, çünkü görgül yönteme inanıyoruz ve güveniyoruz! Geometride bile! Burada kötü terimin ‘süreklilik’ olduğuna dikkat etmeliyiz. Ve ‘süreklilik’ten kurtulmanın uzay, zaman konusunda, özdek vb. konusunda bunların fiziksel noktalardan oluşmuş olduklarını söylemek anlamına geldiği görülecektir. Hilbert bunu daha da açık olarak ve vurgulu olarak belirtecektir, çünkü amacı sonsuz küçüklüğün sıfıra gitmesinin, yitmesinin önüne geçmektir. Bunun için Nicelik kavramına özgü süreklilik kıpısını terketmek, ve tek-yanlı olarak kesiklilik kıpısını ileri sürmek gerekir: Doğa yalnızca sıçramalar yapmalıdır. Burada bundan böyle düşünen bir çocuktur bile diyemeyiz, çünkü küçük çocuk anlağı bile sonsuzun bir sınır taşı ile sonlandırılamayacağını bilir.

‘‘Bir parça metali ya da belli bir hacamdaki sıvıyı irdelediğimiz zaman, sınırsızca bölünebilir oldukları, en küçük parçalarının bütün ile aynı özellikleri sergilediği izlenimini ediniriz. Ama özdek fiziğini araştırma yöntemlerinin yeterince inceltildiği her yerde, bilimciler çabalarının eksikliğinden değil ama şeylerin doğasının kendisinden doğan bölünebilirlik sınırları ile karşılaşmışlardır. Buna göre giderek modern bilimin eğilimini sonsuz küçükten kurtulma olarak bile yorumlayabiliriz. Eski natur non facit saltus, ‘doğa sıçramalar yapmaz’ ilkesi yerine, giderek karşıtını ileri sürebiliriz: ‘doğa sıçramalar yapar.’‘

‘‘Tüm özdeğin ‘atomlar’ denilen ve bileşimleri ve bağıntıları tüm mikroskopik nesneler türlülüğünü üreten çok küçük yapı taşlarından oluşmuş olduğu yaygın olarak bilinir. Gene de fizik özdeğin atomsallığında durmadı. Geçtiğimiz yüzyılın sonunda ilk bakışta çok daha tuhaf görünen elektrik atomsallığı ortaya çıktı. O güne dek bir sıvı olarak düşünülmüş ve sürekli etkin bir etmenin modeli olarak görülmüş olan elektriğin o zaman pozitif ve negatif elektronlardan yapıldığı gösterildi.* ... [E]nerjinin bile sonsuz bölünebilirliği koşulsuz olarak kabul etmediği doğrulanmıştır. Planck enerji nicelerini keşfetmiştir.’’ ‘‘Bu nedenle, sonsuz ölçüde küçük olanı olgusallaştırmak için gerekli olan bölünebilirlik türünü kabul eden türdeş bir süreklilik [continuum] olgusallıkta hiçbir yerde bulunmaz. Bir süreklinin sonsuz bölünebilirliği yalnızca düşüncede varolan bir işlemdir. Yalnızca bir düşüncedir ki gerçekte doğa üzerine gözlemlerimizin ve fiziksel ve kimyasal deneylerimizin sonuçları tarafından çürütülür.’’

*Hilbert’in atom konusunda kafası çok karışıktır. ‘‘Fizik özdeğin atomsallığında durmadı’’ sözleri atomun parçalanabilir, ‘kesilebilir’ olduğunu imler. Ama bu görgül ‘atom’ tasarımları atom kavramı ile bütünüyle ilgisizdir (atomos eski Yunanca’da sözcüğün tam anlamıyla ‘kesilemez’ olanı anlatır). Yine, elektriğin ‘‘pozitif ve negatif elektronlardan’’ yapılmış olması görüşü açıktır ki 1925’te yazan Hilbert’in fiziği de fazla ciddiye almadığını gösterir.

Bu uslamlamayı sürdürerek, uzayın büyük ölçek sonsuzluğunun da deney ve gözlemler tarafından çürütülmesini beklemeye başlarız, çünkü süreklilik kavramı sonsuzluğu, en azından cansıkıcı bir yinelemeyi imler. Ve Hilbert ‘düşünce deneylerine’ değil ama ‘görgül’ deney ve gözlemlere bir geometriciden bekleneceğinden çok daha fazla güvenir.

‘‘Sonsuzun doğada bulunup bulunmadığı sorusu ile karşılaştığımız ikinci yer bir bütün olarak evrenin irdelemesidir. Burada sonsuz ölçüde büyük birşeyi kapsayıp kapsamadığını belirlemek için evrenin genişliğini irdelememiz gerekir. Ama yine burada modern bilim, özellikle gökbilim, soruyu yeniden açmış ve çözmeye çalışmaktadır — metafiziksel kurgunun özürlü yöntemi ile değil, ama deney üzerine ve doğa yasalarının uygulaması üzerine dayalı nedenler yoluyla. Burada da sonsuzluğa yönelik ciddi karşıçıkışlar bulunmuştur. Euklides geometrisi zorunlu olarak uzayın sonsuz olduğu konutlamasına götürür. Ama Euklides geometrisinin gerçekten de tutarlı bir kavramsal dizge olmasına karşın, bundan Euklides geometrisinin olgusallıkta edimsel olarak geçerli olduğu sonucu çıkmaz. Uzayın Euklides geometrisine uygun olup olmadığı ancak gözlem ve deney yoluyla belirlenebilir."*

"Uzayın sonsuzluğunu arı kurgu yoluyla tanıtlama girişimi kaba yanılgılar kapsar. Belli bir uzay parçasının dışında her zaman daha çok uzay olması olgusundan yalnızca uzayın sınırsız olduğu sonucu çıkar, sonsuz olduğu değil. Sınırlanmamışlık ve sonluluk bağdaşabilirdir. Eliptik denilen geometride, matematiksel araştırma doğal bir sonlu evren modeli sunar. Bugün Euklides geometrisinin terkedilmesi yalnızca matematiksel ya da felsefi bir kurgu değildir, ama başlangıçta evrenin sonluluğu sorusu ile hiçbir ilgileri olmayan irdelemeler tarafından ileri sürülmüştür. Einstein Euklides geometrisinin terkedilmesi gerektiğini göstermiştir. Einstein kendi yerçekimi kuramının temelinde, evrenbilimsel soruları ele alır ve sonlu bir evrenin olanaklı olduğunu gösterir.’’

‘‘Evrenin sonlu olduğunu iki açıdan, e.d., sonsuz ölçüde küçük ve sonsuz ölçüde büyük açısından saptadık.’’

*Bunlar bir amatörün sözleri değildir: Uzayın sonsuz olup olmadığına, noktanın boyutlarının olup olmadığına, koşut çizgilerin kesişip kesişmediklerine ancak gözlem karar verebilir! Hilbert ne yapıp ne edip sonsuzu dışlamak zorunda olduğunu düşünür. Yalın bir mantıkla, sonsuzluğun dışlanması insan bilgisinin bütün eriminin deney ve gözleme sınırlanmasını da usayatkın bir programa çevirir. Ya da, genel olarak görgül bilgi sonlunun bilgisidir. Tutarlı görgücülüğün ‘sonsuz’dan kurtulması gerekir ve bu girişimde Hilbert de kendi katkılarını yapar.

Bu görüşler yirminci yüzyılın en iyi geometricilerinden biri olarak, kimilerine göre giderek en iyi geometricisi olarak bilinen bir insana aittir. Ve evrenin sonlu olduğunu doğrulayan, sonsuzluğu ve sürekliliği gereksiz, giderek sakıncalı kavramlar olarak bir yana atan bu bakış açısı, bu ussal sakatlanmasına karşın, ussal buluşlarını yapmayı sürdürür. Bu usun bir tansığıdır. Ya da usun kendi kendini yadsımasını bile yadsıdığının bir kanıtıdır. Newton da uzayı Tanrının sensoriumu olarak görmesine, yaşamının daha büyük bölümünü imbik ve kazanlar ve dualar ile simya deneyleri yaparak geçirmesine, İncil’deki peygamberlikleri doğrulamaya çalışmasına karşın, geometri ile bütünüyle ussal tanıtlamalar vermeyi başardı. Gene de Principia ve Opticks birer us enkazıdır, ve bunun nedeni düşünceye, kavrama karşı kendini kollama kaygısıdır.

Aynı yazıda Hilbert Cantor’un sonlu-ötesi sayılarını tüm bu kendi yaklaşımını alaya alan bir tonla savunur, ve tema bütün yazının ağırlık noktasını oluşturur. Birçoklarının bir sınır koyup ötesine geçme işleminin, salt cansıkıcı bir yinelemeden oluşan bu kötü nicel sonsuzluğun tek-yanlı doğasını anlamaya başladığı bir dönemde, Hilbert sürekliliği yalnızca geometriden değil ama insan usunun kendisinden atmayı önerir. Kant bu kötü sonsuzluğun, ne uzay ne de zaman için geçerli sayılmayacak bu tek-yanlı süreksizliğin tek başına alındığında ve sürekliliğe karşısav olarak koyulduğunda, birincinin tıpkı ikincisi denli geçersiz (ya da geçerli) olduğunu ve usun bu çatışkıdan kaçınamayacağını ileri sürmüştü. Hegel çözümün iki belirlenimin birliğinde yattığını gördü. Ama Hilbert ne çatışkının bilincindedir, ve doğallıkla ne de karşıt belirlenimlerin birliğinin. Belirlenimlerden yalnızca birini doğrular. Böylece sonsuza doğru küçülmeyi nice sıçramalarında ve bölünemez atomlarda durdurduktan sonra, sonsuza doğru büyümeyi Cantor’un ‘sonlu-ötesi sayıları’nda durdurur. Sonsuzluk küçüklük boyutunda olduğu gibi büyüklük boyutunda da sınırlanmalıdır: ‘‘Hiç kimse bizi Cantor’un bizim için yaratmış olduğu cennetten kovamaz.’’ Ve yazı daha sonra bu tutarsızlığın aslında hiç de bir tutarsızlık olmadığı, çünkü düşüncenin ve şeylerin ‘iki’ ayrı alan oldukları vb. gibi açıklamalar ile sürer: Matematik olgusallığı ilgilendirmez. Ama matematiği çürütmenin kendisi görgül deney ve  gözlem yöntemi ile başarılır! Bu tutarsızlıklar yazarın doğal bilincinden hiç kuşkusuz gizlenemezr. Yazı bir ‘‘cennet’’ uğruna yazılmış görünse de, heyecanını yitirmiş, tamamlanmadan bırakılmış ve daha sonra bir daha ele alınmamıştır.

Einstein, Hilbert’in tutumu ile uyum içinde, hiçbir zaman sonsuz küçüklüğü dikkate almadı, ve soruna ‘‘fiziksel olarak iyice tanımlanabilen ds uzaklığı’’ (ÖGGK, § 25) gibi duyusal anlatımlar ile yaklaştı. Gerçekten de görgül/duyusal ‘yöntem’ hiçbir zaman ‘ds’ gibi sınır değerleri, sonsuz küçüklükleri ele alamaz, ve dy/dx sonsuzluğunu ancak fizikselleştirerek anladığını sanır. Ama, eğer ciddi olacaksak, ve hiçbir eğretileme olmaksızın konuşacaksak, bu yaklaşımdaki ‘matematik’ tasarımı matematik kavramı ile hiçbir ilgisi olmayan bir tahta çubuklar yapısıdır.

Hilbert’in sonsuzluk kavramını önce matematikten, sonra bilimden, sonra insan usundan silip atmak istemesi bir çatışkı karşısında kalan analitik usun bütünüyle doğal tutumudur. Hilbert ‘‘Matematik yalnızca mantık üzerine kurulamaz’’ der ve bu konuda Dedekind ve Frege ile anlaşmazlık içindedir. Gerçekten de eğer mantık ya da us bu ‘mantıkçıların’ kafalarındaki öznellik olsaydı, tüm saçmalıklarına karşın yalnızca bu konuda bile olsa Hilbert ile anlaşmamız gerekirdi. Ama her iki kampın da mantık konusundaki anlayışları birbirinden daha iyi değildir. Her ikisi için de mantık olgusallık ile, fiziksel evren ile ilgisizdir. Her ikisi için de mantık doğal usa keyfi kurallar kabul ettirmek demektir. Ve her ikisi için de Evren mantıksızdır. Açıktır ki, fizik bilimi alanında, politika alanında, sanat alanında, törellik alanında, ve sözde ‘felsefe’ alanında Batı çoktandır direnilmez bir irrasyonalizmi beslemekte, ve sonuçlarını kendisi ile birlikte tüm dünyaya ödetmektedir. Bu ‘duyusal’ bilimciler için, bu ‘irrasyonel’ fizikçiler için yokediciliğin güdümünü izlemekten daha kolay birşey olabilir mi? Ve üçüncü dünya ülkelerinde henüz bu aptallarda bir öykünme kaynağı görmek için didinip duran papağan türü tükenmiş midir?

 

PASCAL VE SONSUZLUK

Bir an bu analitik ıvır zıvırı bir yana bırakarak bambaşka bir perspektife geçelim ve Pascal’ı okuyalım, sonsuz küçüklük ve sonsuz büyüklük konusunda eytişimsel usun, en arı bakış açısı içindeki usun nasıl düşündüğünü görelim (Geometrik Anlık Üzerine/De l’esprit de géométrique, 1658):

‘‘Böylece herşeye ortak özellikler vardır ki bunların bilgisi anlığı doğanın en büyük harikalarına açar. En önemlisi her yerde bulunan iki sonsuz tarafından, sonsuz ölçüde büyük ve sonsuz ölçüde küçük tarafından oluşturulur. Çünkü bir devim ne denli hızlı olursa olsun daha hızlı bir devimi tasarlayabilir ve onu daha da hızlı yapabiliriz, ve böylece bundan böyle bir eklemede bulunamayacağımız denli hızlı bir devime ulaşmaksızın bu sonsuza dek sürer. Ve tersine, bir devim ne denli yavaş olursa olsun, onu daha yavaş ve daha da yavaş kılabiliriz, ve böylece bu dinginliğe düşmeksizin bir küçük dereceler sonsuzluğuna inmeyi sürdüremeyeceğimiz bir yavaşlık derecesine ulaşmaksızın sonsuza dek sürer.

Benzer olarak, bir sayı ne denli büyük olursa olsun, daha büyüğünü, ve yine ondan daha büyüğünü tasarlayabiliriz, ve böylece bundan böyle arttırılamayacak bir sayıya ulaşmaksızın bu sonsuza dek sürer. Ve tersine, bir sayı ne denli küçük olursa olsun, örneğin 1/100 ya da 1/10.000, gene de daha küçük bir sayıyı tasarlayabilir ve bunu sıfıra ya da yokluğa ulaşmaksızın sonsuza dek sürdürebiliriz.

Bir uzay ne denli büyük olursa olsun, daha büyük bir uzayı, ve bundan da büyük bir uzayı tasarlayabilir, ve bunu bundan böyle arttırılamayacak bir uzaya hiç ulaşmaksızın sonsuza dek sürdürebiliriz. Ve tersine, bir uzay ne denli küçük olursa olsun, gene de daha küçük bir uzayı tasarlayabiliriz, ve bunu bundan böyle herhangi bir uzamı olmayan bölünmez bir uzaya ulaşmaksızın sonsuza dek götürebiliriz.

Zaman için de durum aynıdır. Her zaman bir sonuncu olmaksızın daha büyüğünü, ve bir kıpıya, arı bir süre yokluğuna ulaşmaksızın daha küçüğünü tasarlayabiliriz. ki bu, tek bir sözcükle, hangi devimi, hangi sayıyı, hangi uzayı, hangi zamanı alırsak alalım, her zaman daha büyüğün ve daha küçüğün olduğunu söylemektir, öyle ki tümü de yokluk ve sonsuzluk arasında ama bu uçlardan her zaman sonsuz ölçüde uzak olarak kalırlar.

Bu gerçekliklerden hiç biri tanıtlanamaz, ve gene de geometrinin temelleri ve ilkeleridirler. Ama onları tanıtlamaya yeteneksiz kılan neden bulanıklıkları değil, tersine aşırı durulukları olduğu için, bu tanıtlama yoksunluğu bir eksiklik değil, tersine bir eksiksizliktir.’’

Pascal, biraz erken de olsa, Hilbert’in ve benzeri kafa yapılarının yaratabileceği tartışma için şunları söyledi:

‘‘Bu önemsiz noktalarda oyalanmak sıkıcıdır, ama çocuklaşma zamanları da vardır.’’


Aziz Yardımlı / İdea Yayınevi / 2014