İdea Yayınevi / Bilim Felsefesi
site haritası
 
GEOMETRİ —1
Aziz Yardımlı
BELİT

Uzayın görgül bilimi olarak Geometri belitler üzerine kurulur çünkü kullanacağı kavramlar mantıksal olarak çıkarsanmaz ama sıradan tasarımdan alınır. Belitler tanıtlama gerektirmeyen ve doğrulukları kendiliğinden-açık olarak kabul edilen önermelerdir. Sözde "modern" mantıkta belit keyfi bir önermeye indirgenir, kavramdan bir kere daha uzaklaştırılır, ve "uslamlama için yalnızca doğru ya da yanlış olabilecek bir öncül ya da başlangıç noktası" olarak görülür.

Ama "modern" denilen mantığın belit kavramını ortadan kaldırdığını kabul edersek, bu tür belitler üzerine dayandığı ileri sürülen "Euklidean-olmayan geometriler" adı da ortadan kalkar ve içerik Geometri başlığı altına düşen hiperbolik geometri (Lobaçevski) ve elliptik (ya da küresel) geometriler olarak saklanır. Eğer gene de "non-Euclidean" adını kullanmayı istiyorsak, bunun düzlem geometriden ayrı olan eğri yüzey geometrilerini anlatması gerekir, ki gene de önemli bir gerektirim olduğu söylenemez.

Belitler ussal önermelerdir ve kendiliğinden-açıklıklarının ve tanıtlama gerektirmemelerinin ussallıklarını göstermesi gerekir. Belitlerin bu ussal karakterini yadsımak ve gene de geriye kalanın "belit" olduğunu düşünmek usdışı bir düşünme yeteneğini gerektirir. Örneğin Hilbert'in yaptığı gibi "Bir çizgide en az iki nokta bulunur" demek noktanın boyutlu olduğunu doğrulamaktır. Boyutlu olan çizgiye ya da yüzeye ya da hacıma "nokta" demek ise irrasyonalizm dediğimiz bakış açısıdır. Ama buna bir "bakış açısı" demek olanaksızdır.

"Euklides Geometrisi" bir geometri türü, eşölçümsüz geometriler arasında biri değil, ama genel olarak Geometridir. tıpkı hiperbolik geometri ve elliptik geometri gibi. Bu son iki geometri düzlem geometri ile çelişkili olmak bir yana, onun tüm belitlerini, konutlamalarını ve tanımlarını kullanır.

Bolyai, Lobaçevski ve Gauss'un yaptıkları şey Euklides geometrisini çürütmek değil, tersine ona daha öte işlevler kazandırmaktı. Beşinci konutlamanın yadsınması, koşut doğru çizgilerin kesişmesi gibi bir "önermenin" ileri sürülmesi söz konusu değildir. Kabul edilen şey yalnızca eğri yüzeylerde doğru çizgilerin ve dolayısıyla koşut çizgilerin olamayacağı gibi bütünüyle kendiliğinden-açık bir belittir. Gerçekte, Euklidien olmayan geometriler öncelikle "doğru" çizgi kavramını çürütürler. Buna göre beşinci konutlamanın çürütülmesi koşut çizgilerin kendilerinin düzlem üzerinde olup olmadıkları ile, eş deyişle "doğru çizgiler" olup olmadıkları ile ilgilidir. Bildiğimiz gibi, Einstein'ın görelilik kuramı doğruluk niteliğinin göreli olduğunu kabul eder. Ama geometrik doğruluk Einstein'ın uzaysal noktanın devimine bağlı göreli doğruluk ve eğrilikten bütünüyle başka bir belirlenimdir ve eğrilik kadar reeldir.

Gauss'un Uzayın Doğası Üzerine Deneyi Miti
Gauss ile ilgili şöyle bir anekdot vardır: "Gauss was one of the first to understand that the truth or otherwise of Euclidean geometry was a matter to be determined by experiment, and he even went so far as to measure the angles of the triangle formed by three mountain peaks to see whether they added to 180. (Because of experimental error, the result was inconclusive.)"

Gauss'un üç dağın doruğunun oluşturduğu üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olup olmadığını ölçmedeki amacı açıktır ki uzayın kendisinin eğriliğini değil ama Yeryüzünün yüzeyinin eğriliğini saptamaktı. Ama usdışı görgücü bakış açısı bu ayrımı görmede zorlanacaktır. (Ayrıntı için bkz: )

BİLİM VE DUYUSAL ALGI

Einstein "Göreliliğin Anlamı"nda (1954) Fiziğin "duyusal algıları" ele aldığını yazar. Fiziğin ele aldığı bu "duyusal algıların" ne olduğunu merak ediyorsak bunu kitabın hemen ilk sayfalarında görebiliriz, örneğin: s2 = Δx12+Δx22+Δx32 ya da ΣΔxν2 = const., ΣΔx′ν2 = const, ve benzerleri gibi.

Öte yandan Geometrinin "duyulur nesneler" gibi şeyler ile ilgilendiğini kabul eden David Hilbert de aynı konumu dile getirir ve örneğin "bağlantı belitleri" (Axiome der Verknüpfung) dediği ve gerçekte belit karakterini taşımayan bir önermede (I.3) şunu bildirir: ‘‘Bir doğru çizgide her zaman en az iki nokta vardır’’ :: ‘‘Auf einer Geraden gibt es stets wenignstens zwei Punkte.’’ Açıktır ki bir çizgi oluşturan ve sayılabilen 'noktalar' Euklides'in parçası olmayan noktalararı değil ama parçası olan fiziksel cisimler gibidir. David Hilbert'in geometrik 'belitleri' fiziksel cisimler ile ilgilidir, çünkü kavramsal ideal geometrik nesneler yoktur.

EINSTEIN
"The natural sciences, and in particular, the most fundamental of them, physics, deal with such sense perceptions. The conception of physical bodies, in particular of rigid bodies, is a relatively constant complex of such sense perceptions." (The Meaning of Relativity, 6'ncı yayım, 1954.)

"In the present treatment, geometry is related to actual things (rigid bodies), and its theorems are statements concerning the behaviour of these things, which may prove to be true or false." (Aynı yer.)

Einstein ve Hilber her ikisi de bilginin deneyimden türediğini kabul eder. Ama deneyimden türediği ileri sürülen şey ne bilgidir, ne de kavram. Bu bakış açısı felsefe tarihinde görgücülük olarak bilinen bakış açısıdır ve fizikte örneğin nedenselliğin reddedilmesine, matematikte örneğin teğetin yaya birden çok noktada değmesi gibi enteresan sonuçlara götürür. Daha genel olarak, bilginin olanaksızlığı görüşüne, kuşkuculuk olarak da adlandırılan bilinemezciliğe götürür.

Einstein gibi Hilbert de bilimin temelde görgül bir sorun olduğunu kabul eder. Buna karşın ikisi de görgül öncülleri ile bağdaşmayan, aslında "felsefelerinin" kendisini yadsıyan konumları savunmada duraksama göstermezler. Einsten bir ussalcı gibi "Tanrı zar atmaz" diyerek ve determinizmi savunarak Kopenhag indeterminizmine karşı ölümcül bir savaşıma girişirken, görgül yöntemi gereği noktanın ne olduğunu bile bilmesi olanaksız olan Hilbert "Bilmeliyiz. Bileceğiz" (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.) diyordu.

Fiziğin kavramı bir yana atarak ‘deneyim ve gözlem' üzerine dayanması sonuçta Fiziğin hiçbir evrensel ve zorunlu ilke, hiçbir yasa kapsamaması ve salt olasılık ve istatistik ile yetinmesi gibi kaçınılmaz bir vargıya götürür. Bu görgül yönteme göre, gözlenmemiş doğa cisimlerinin yasaya uyup uymayacakları gözlemden önce bilinemez. Gerçekte, bilincin 'deneyim'den türetilen içeriği doğal olarak görüngüsel ya da fenomenolojik bir karakterdedir, özneldir, ve bilimin kavramına uygun düşmez.

Görgül doğa bilimleri kendilerine yeterli değildir çünkü kavramsal problemlerinin çözümü görgül yöntemler ile yerine getirilemeyecek bir iştir. Bu güç işi bir zamanlar "Doğa Felsefesi" üstlenmişti. Batı felsefeciliğinde zamanla yalnızca Doğa Felsefesi değil ama bütününde Felsefe "metafizik" olarak, "yalancı bilim" olarak görülmeye başladığı için yeri pozitivist "Bilim Felsefeleri" tarafından alındı. Ama salt kavramı anlamamaktan ve bunun yerine kavramsız olguya dayanan pozitivizmin kendisi görgül bilimlerin problemlerini yine bu bilimlere özgü görgül yöntemler ile ele almaya çalışır.

Modern Fizik birbiri ile geçimsiz görelilik ve quantum kuramları ve bunların belirsiz bir çokluktaki yorumları ile "bilime" en küçük bir benzerlik göstermeyen bir kaotik tablo sergiler. Hiç kuşkusuz bunun sorumlusu "Bilim Felsefeciliği" değildir çünkü bu "felsefecilikte" felsefe olduğu söylenebilecek hiçbir içerik yoktur. Kendini anlamasını sağlayacak bir perspektiften bile yoksun bir pozitivizm bilimsel etkinlik için ornitolojinin kuşlar için gereksiz olmasından da gereksizdir.

POZİTİVİZM VE NON-EUKLİDEAN GEOMETRİ

Blimin olanağını görgücü ilkeye indirgemek ve uyarlamak isteyen pozitivizme göre, bir gün pekala taş yere düşmeyebilir çünkü yasa değil ama olasılık egemendir. Ve bir gün pekala dünya güneşin çevresinde kare ya da sarmal bir yörüngeye girebilir çünkü bu bakış açısından tüm doğa yasaları, Newton’ın aşağıda* ileri sürdüğü gibi (ve David Hume’dan, Karl Popper’dan ve başkalarından çok daha önce ileri sürdüğü gibi) fenomenlerin gözleminden türetilen tümevarımlardan daha çoğu değildir.

Newton
Doğal Felsefenin Matematiksel İlkeleri.
Kitap 3. Felsefede Uslamlama Kuralları

KURAL IV
Deneysel felsefede genel tümevarım yoluyla fenomenlerden çıkarsanan önermelere, tasarlanabilecek karşıt önsavlara karşın, doğru olarak ya da gerçeğe çok yakın olarak bakacağız — ta ki onları ya daha doğru, ya da kuraldışılara açık kılabilecek başka fenomenler ortaya çıkıncaya dek.

Newton görgül bilimlerin yöntemini bildirir. Dahası, bu önermelerin evrensel ve zorunlu bağıntılar vermediğini ve yanlışlanabileceklerini de ekler. Newton bu yöntem ile bütünüyle tutarlı olarak Geometriyi mekaniğin bir dalı olarak görür ve "geometri mekanik kılgı üzerine kurulur" der (Principia, Birinci Yayıma Önsöz). Daha sonra Albert Einstein da geometriyi bir pergel-cetvel sorunu olarak gördü.

Newton'ın anlatımında tümevarımın sağınlık yoksunluğu yalnızca belirtilmekle kalmaz. Newton tümevarımı biricik geçerli yöntem olarak kabul eder ve sonuçta Güneş Dizgesi böyle gevşek ya da boşluklu yasalar nedeniyle düzenini yitirdiği zaman Tanrının eli işe karışır ve yeniden eski düzen getirilir. Newton için Yerçekimi Tanrının istenci gibi birşey, ve Mekanik ise bir bilim değil ama materyalizme götüren bir ateizmdir.

Mantığın yokluğunda, herşey olası, herşey mantıksaldır. A posteriori ‘bilimin’ bu bakış açısına ve bu görgül kökenli ‘mantığına’ göre, bir gün gözlem yoluyla pekala iç açılarının toplamı iki dik açının toplamından küçük ya da büyük bir üçgen de bulabilir. Ve Euklides geometrisini çürüttükleri düşünülen geometrilerde durum tam olarak budur.

Küre yüzeyindeki "üçgenin" iç açılarının toplamı iki dik açıdan büyüktür. İrrasyonalizm için bu örnek Geometrinin çürütülmesidir.

Bu kulağa parodi gibi gelir. Ama modern irrasyonalizmin parodi olmadığını, ciddi olduğunu kabul etmeliyiz. Ve böyle üçgenler bulunmuştur! Geometrinin belitsel yapısının keyfi olduğu da anlaşılmıştır! Bu saçmalıkların bütünüyle dışında, kendi çalışmasına ‘‘İmgesel Geometri’’ (‘‘Géométrie Imaginaire,’’ 1837) diyen Lobatchevsky ve ayrıca Riemann çok daha önce böyle eğrisel üçgenleri incelemişlerdi. Ama bu eğri yüzey geometrilerinin Geometriyi çürüttükleri biçimindeki enteresan buluş onlara ait değildir.

Küre yüzeyinde ve hiperbolik yüzeylerde böyle eğrisel üçgenler çizilebilir, ve düzlem yüzeylerde geçerli olan belitler böyle eğri yüzeylere uygulanamaz. Yeni ‘fiziksel’ geometri ise bu özel yüzeylerde geçerli olan belitleri düzlem geometrinin belitlerinin çürütülmesi olarak görür ve bu bütünüyle ussal ayrımın geometrinin kendisinin çürütülmesi olduğu sanısına kapılır. Tüm ‘fiziksel geometri’ anlayışının temelinde yatan kavrayış gücü budur.

İnsanların büyük çoğunluğu kendi yargılarına, kendi uslarına güvenmez. Bunda hiç kuşkusuz çok haklıdırlar. Başkalarına dahaçok güvenirler. Bunda eşit ölçüde haklı değildirler. Sık sık irrasyonalizm tarafından düşünmeyi bastırmaya güdülenir, ya da açıkça yıldırılırlar. Düşüncenin doğasını kavramadan onun gücüne güvenmek olanaksızdır.

Bu türden mantıksızlıkları ya da mantıksal sapınçları ileri sürenler, matematiğe sözde duyusal, görgül, fiziksel temel arayanlar kendileri de gerçekte sözcüğün tam anlamıyla aynı insan mantığını kullanırlar. Ama onu kendi kendisine karşı kullanırlar. Bu usdışı bakış açısı sorunu yalnızca içbükey ya da dışbükey yüzeylere sınırlayamaz. Hilbert ne olursa olsun hiçbir yüzey ile ilgili olmayan noktanın tanımını bile ‘fizikselleştirir.’ Bu tür girişimler geometrinin görgülleştirilmesi için, sonsuz-küçüklüğün ya da sürekliliğin yokedilmesi için, geometrik belitlerin Olimpos’un yüksekliklerinden irrasyonalist ‘geometricinin’ toprağına indirilmeleri için amaçlanır.

 


LEON HARD EULER (1707-1783)

Burada bir matematikçinin, modern matematiğin en verimli kafalarından birinin Geometrinin a priori doğası üzerine Platon’u, Euklides’i, Descartes ve Leibniz’i anımsatan sözlerini okuyabiliriz. Euler Letter to a German Princess’te şunları yazar (İng. çeviri Brewster tarafından, Cilt 2, s. 31):

‘‘Uzam cisimleri yalnızca uzamlı oldukları ölçüde ve içine-işlenemezlikten ve süredurumdan soyutlanmış olarak irdeleyen geometrinin asıl nesnesidir; geometrinin nesnesi öyleyse cisim kavramından çok daha genel bir kavramdır, çünkü yalnızca cisimleri değil ama, eğer böyle şeyler varsa, içine-işlenemezlik olmaksızın salt uzamlı olan tüm şeyleri kapsar. Dolayısıyla bundan şu çıkar ki, geometride uzam kavramından çıkarsanan tüm özellikler benzer olarak uzamlı oldukları düzeye dek cisimlerde de yer almalıdır.’’

Euler’in anlatmaya çalıştığı şey nicelik kavramının belirli-varlığını uzayın kendisinde bulduğu, salt soyut-sayısal ölçü ile ilgili ideal-düşünsel birşey olmadığı, ama o denli de olgusal olduğu, özdeksel şeylerin kendileri için de tam olarak kavramlarında olduğu gibi geçerli olduğudur. Nicelik kavramı reel dünyadan kopuk soyut bir idealar dünyasının sorunu değildir: Kavram nesneldir. Ama 'nesnellik' fiziksellik, duyusallık, özdeksellik değildir.

Einstein’ın anlayacağı dilde anlatırsak (Özel ve Genel Görelilik Kuramı'nda yazdığı gibi), cisimlerin genleşmesi ile birlikte uzayın ve geometrinin de genleştiklerini düşünmek gereksizdir: Uzam kavramının tüm özellikleri cisimlerin de özellikleridir. İdeal ve reel birdir.

Geometri ancak Euler’in ona verdiği ideal belirlenimde sağın bir bilim olabilir. Uzay, zaman ve özdek bağıntıları da eşit ölçüde sağındır. Ve elbette devim de.

Çünkü tümü de süreklilik ve kesiklilikleri içinde Nicelik kavramının belirli varoluşundan başka birşey değildirler. Tümü de Nicelik kategorisi altında durur. Bir cisim genleşebilir. Einstein duraksamadan bunu "geometrinin genleşmesi"  olarak yorumlar.

Bir cisim nicel sağınlığının pergel-cetvel ölçümü ile saptanmasına izin vermez. İnsan algısının kabalığı nedeniyle sağınlık saptamaya yetenekli olmadığı için değil, ama cismin kendisi bir oluş sürecinden başka birşey olmadığı için. Ama bu olgu kavramı ruhbilimsel algıya indirgeyen görgücülük tarafından geometrinin kendisinin sağınlık yoksunluğu olarak yorumlanır. David Hume iki doğru çizginin çok küçük açılar durumunda bir dilim boyunca kesişeceğini yazar.

Parçacık yapısının düzenlenişindeki ve ölçme aracımızın kendisinin parçacık yapılarının düzenlenişindeki kabalıklar ve en sonunda insan duyumlarının kendilerinin sağınlık yoksunluğuı eksiksiz ölçümler yapmamıza izin vermez. Ama bu fiziksel evrenin Nicelik kategorisine başkaldırısı değildir. Evren tüm özdekselliği içinde, en büyük galaksi kümelerinden en küçük parçacıklara dek, nicelik kategorisinin sonsuz küçüklükteki ya da sonsuz büyüklükteki ayrımlarını sergiler, tek bir atomun ya da tek bir galaksinin herhangi b ir yanlışlık yapmasına, kendi mekanik ussallığından en küçük bir sapma göstermesine izin vermez. Usun bakış açısından, Evren kozmozdur, kaos değil. Ve eğer insan geometriyi bu boyutlara dek izleyebilseydi, ancak o zaman fiziksel evrenin sözcüğün en sağın anlamında bir Geometri de olduğunu, Fiziğin Geometri ile eksiksiz olarak çakıştığını görebilirdi. Ve gene de, Einstein'a karşın, Geometrinin ‘genleşip sıkışmadığını,’ yalnızca belirli, tikel geometrilerin, cisimlerin geometrik belirlenimlerinin genleşip sıkıştığını, bunun özdeğin olduğu kadar geometrinin de bir fenomeni, özdeğin geometrik deviminin kendisi olduğunu görürdü.

Geometrinin a priori bir bilim olduğu, aslında tüm bilimlerin a priori oldukları görüşünün kendisi bir belittir. Ve gene de, tüm belitler gibi, tanıtlama gereksinimindedir. Bu mantıksal dizgenin kendi içersinde yerine getirilir. Hegel’in Doğa Felsefesi’nin Birinci Bölümünde (Uzay ve Zaman) en temel geometrik kavramları (nokta, çizgi, yüzey, oylum) çıkarsaması (§ 256) Euklides’in Öğeler’indeki tanımların çürütülmesi değil ama eksiksiz mantık yoluyla, kavramın kendi eytişimi yoluyla en son aklanışlarıdır. Ama bu mantıksal sağınlık olmaksızın da noktanın, doğru çizginin, düzlem yüzeyin vb., giderek uzay, zaman ve özdeğin kavramsal doğaları doğal us tarafından dolaysızca anlaşılır ve gerçeklenir. Bu belitsel düzlemdir. Ve görgül bilimler bu belitsel düzlemde çalışmakla yetinirler. Ama burada da eytişimsel düğüm noktaları ile karşılaşılır, ve başlıca sorun sonsuzluk ve süreklilik kavramlarına bağlı olarak ortaya çıkar.

Görgül ya da a posteriori bilim bu sonsuzluk ve süreklilik kavramlarına bağlı sorunlar karşısında bozguna uğrar, paradokslar ile karşılaşır, ve duyusallığa ya da fizikselliğe, sonluluğa ve süreksizliğe inmekten başka bir çözüm bulamaz (Hilbert’in fiziksel nokta tanımı, David Hume’un iki doğru çizgiyi bir dilim boyunca kesiştirmesi, Einstein’ın katı ölçme çubuklarıyla ölçülen ds uzaklığı vb. gibi).* İşin gerçeği görgül bilim, a posteriori bilim denilen şeyin hiç de bu görgücü bakış açısının sandığı gibi olmadığıdır. Kant’tan çok önce, Descartes yalnızca deneyimin, yalnızca algının değil, ama tüm duyumun bile ancak düşünce belirlenimleri ya da anlak-kategorileri yoluyla olanaklı olduğunu görmüştü. Deneyim, gözlem, algı denilen süreçler daha baştan kuramsaldır, kategoriler tarafından belirlenirler. A posteriori denilen bilim kaba duyumculuğun bir yapıntısından başka birşey değildir.

*Özdeksel ve kavramsal alanlarda sürekliliğin ve kesikliliğin birliği konusunda, salt kesiklilik kategorisinde direten ‘nice sıçramaları’ tasarımının değersizliği konusunda Schrödinger’in Özdek Nedir? başlıklı yazısı modern bilimcilik alanında bile eytişimsel düşüncenin bütünüyle yenilmediğini gösteren en güzel örneklerden biridir. Ama Batı akademizmi mitlere daha çok değer verir, ve böyle ussal girişimler gerçek değerlerinde tanınmazlar.

Geometriyi deneysel bilimin bir dalı olarak gören bakış açısı herşeyden önce deneysel bilimin kendisinin a posteriori olmasının ne demek olduğu üzerine düşünmelidir. A posteriori bilginin bir bilgi bile olmadığı, deneyim ve gözlemden türetilen tümevarımların ancak yaklaşık gerçeklikler, eş deyişle ancak olasılıklar olduğunu, bu yalın olguyu görgücülüğün kendisi büyük bir buluş olarak görür.* Tümevarım yalnızca bir olasılık derecesi verir. Ve çamaşır yıkayan bir görgücünün ne zaman çamaşır yıkasam yağmur yağar yolundaki tümevarımından daha iyi bir geçerlik göstermez. Böyle gözlemler elbette hiçbir zaman bir evrenselliğin, bir zorunluğun, bir nedenselliğin temeli olamazlar. Yalnızca ilinekselliğin, olasılığın, istatistiğin ve tahminin temelleri olabilirler. Bilim olasılık ile de ilgilenir. Ama ona bir gerçekliğin, bir nedenselliğin değerini vermez. Bilimsel yasa, bilimsel değişmez, bilimsel gerçeklik görgücü bakış açısının kavrayış çevreninin çok çok üstündedir. Pozitivist Einstein’ın haklı olarak yakındığı gibi Olimpos’un doruklarındadır. Kişinin oraya tırmanmayı göze alması gerekir.

*A posterioriciliğin nerelere dek vardığını belirtmek yerinde olur. Mill mantığın ve matematiğin kendilerinin görgül olduğunu, gözlem ve deney tarafından çürütülebilir olduğunu düşünüyordu.

 

ANALİTİK VE SENTETİK

Analitik  ya da sentetik terimleri mantıksal sağınlık imlemez, giderek salt görgül dışsallık alanında kullanıldıklarında, herhangi bir mantık bile imlemezler. Yalnızca dışsal, yalnızca ilgisiz bağıntıyı anlatırlar. Kant’ın analitik ve sentetik terimlerini kullanımı doğal mantığı terimlerdeki bu gevşeklik ve genişlik nedeniyle şaşırtır. Ve terimin yetersizliğini göstermek istercesine, analitik olmanın özdeş olmayı imlediğini kendisi söyler.

‘‘Analitik yargılar içlerinde yüklemin özne ile bağlantısının özdeşlik yoluyla düşünüldüğü yargılardır’’ [AUE, B 10].

Analitik olmanın özdeş olduğunu söylemek salt keyfi bir tanım vermektir. Ama kavram olarak düşünüldüklerinde, analitik olma ya da özdeş olma hiçbir biçimde aynı değildir.

Ama özdeşlik kavramı kendi diyalektiği gereği ayrımdan ayrı değildir, çünkü özdeş olan kendi ile bir bağıntı içinde durur. ‘Özdeşlik’ anlatımından yararlanmayı kabul ettiğimiz sürece, ‘doğru’ çizgi ve ‘en kısa’ çizgi arasındaki ilişki, ve ‘eğri’ çizgi ve ‘daha az kısa’ çizgi arasındaki ilişki özdeşlikten başka birşey değildir.

Euklides’in Öğeler’deki ilk tanımı — ‘Nokta parçası olmayandır’ — geometrinin işlemesi için yeterli ve uygun olanın örneğini verir. Varlığın doğrulanması olan tanıtlamadan ayrı olarak, tanımda istenen istenen şey yalnızca anlamdır. Tanım bu yüzden ‘nokta’ ve ‘parça’ arasında kurulan karşıtlıktan yararlanabilir, üstelik henüz ‘parça’ kavramının kendisinin tanımı verilmemiş olsa bile. Bu yöntem geometrinin amaçları için yeterlidir. Geometri felsefe değildir. Ama gene de belitlerin Geometride varsayımlar olarak kabul edilmeleri gerçekliklerinin kuşkulu olması demek değildir. Tersine, gerçekliklerinin genellikle tanıtlama denilen uslamlama süreçlerine başvurmayı kesinlikle gerektirmeyecek denli açık olmasıdır. Belitin işlevi yalnızca ve dolaysızca geometrik kavramın görgül belirlenimini bildirmektir, ve tanımın kendisi geometrik kavram ve duyusal tasarımı arasındaki ayrımı varsayar. Eğer iki nokta arasındaki ‘doğru çizgi’ = ‘en kısa çizgi’ ise, ve belit yalnızca bunu belirtiyorsa, belit yalnızca kavramın sezgisel ya da duyusal belirlenimini bildirir. Ve kısa ya da uzun terimleri özsel doğasında nicelik olan doğru çizginin belirlenimini ne eksiltirler ne de çoğaltırlar. Geometri bu görgül belirlenimi ister, çünkü çizimler yoluyla, algı düzleminde işler. Belirlenimi kavrama dışsal görmek kavramı kendine dışsal ya da kavramı kendi dışında görmektir. Bu içsellik nedeniyledir ki belit analitik ya da çözümsel olmak zorundadır. ‘En kısalık’ belirlenimi doğru çizgiden uzaklaştırıldığında, geriye doğru çizginin kendisi de kalmaz. Ve hiç kuşkusuz Geometri de kalmaz.


PROBLEM BELİTLER

a) Uçları aynı olan çizgilerden doğru çizgi en küçüğüdür (Ya da: Bir doğru çizgi iki nokta arasındaki en kısa yoldur). (Arşimed, “Küre ve Silindir Üzerine,” Varsayım 1.)

b) İki doğru çizgiyi birden kesen bir doğru çizginin aynı yandaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha küçükse, iki doğru çizgi belirsiz olarak uzatıldıklarında açıların iki dik açıdan daha küçük oldukları yanda kesişirler. (Euklides, “Öğeler,” I, Konutlama 5.)

“Koşutluk postülatı” olarak adlandırılan bu postülat açıkça görüldüğü gibi aslında koşutluğu değil ama tam tersini, koşut-olmamayı belirtir (yalnızca bir anımsatma). Bu konutlamanın salt anlatımındaki “uzunluk ve karışıklık” nedeniyle, ve kullanımının teoremleri tanıtlamada ancak ‘ileri’ bir evrede başlaması nedeniyle — sık sık böyle bildirilen ‘gerekçelerle’ — önceki daha yalın anlatımlı konutlamalardan ayrı bir doğada olduğu, eş deyişle bir konutlama olmadığı, ve onlardan türetilmesi, ya da daha iyisi, bir teorem olarak tanıtlanması gerektiği düşünülür. Konutlama hiç kuşkusuz bir tanıtlama gerektirmediği için konutlamadır, ve işlevi kavramın “varoluşunu” ileri sürmektir, örneğin 1. Konutlamada olduğu gibi: “Bir noktadan bir başka noktaya doğru bir çizgi çizilebilir.” (Yine geçerken belirtebiliriz ki, tanımlar yalnızca anlamı ilgilendirirler, semantiktirler; kavramsal değil, tasarımsaldırlar ve bu onlardaki eksikliktir.)

c) Koşut çizgiler aynı düzlemde olan ve her iki yönde sonsuza dek uzatıldıklarında her iki yönde de kesişmeyen çizgilerdir. (Euklides, “Öğeler,” I, Tanım 23.)

Düzlem geometride tanımlara bağlı bu iki sonurgunun (a ve b) yarattığı hiçbir mantıksal sorun yoktur. Düzlem için geçerlidirler, ve bu düzeye dek herşey doğal usun istediği gibidir. Ama küre yüzeyinde ‘doğruluk’ kavramı ortadan kalkar ve ‘iki nokta arasındaki en kısa yol’ bundan böyle bir doğru değil ama özel bir eğri, bir geodezik olur. Bu en kısa eğri çizgi küre yüzeyindeki daha başka eğri çizgilerden ayrıdır ve özeği kürenin özeği olan büyük dairenin üzerindeki bir yay dilimidir (küreyi iki eşit parçaya bölen daire üzerinde olmayan tüm eğriler ‘en kısa’ yoldan daha uzundurlar). Bu noktaya dek herşey doğal usun belirlenimleriile uyum içindedir.

Küre yüzeyinde koşut çizgiler kesişir.

Şimdi non-Euklidean ya da irrasyonel bakış açısına geçelim, ve kürenin ‘DÜZLEM’ yüzeyi üzerindeki iki koşut ‘DOĞRU’ çizginin durumuna bakalım. İlk olarak kürenin ‘DÜZLEM’ yüzeyinin üzerinde olan ve büyük dairesi üzerinde yatan bir D ‘DOĞRU’ çizgisi ve bu çizginin dışında bir nokta alalım. Bu noktadan sonsuz sayıda yöne sonsuz sayıda ‘DOĞRU’ çizgi çizilebilir. Ama eğer bu noktadan D ‘DOĞRU’ çizgisine koşut bir ‘DOĞRU’ çizgi çizmeyi istersek, bunun olanaksız olduğunu buluruz. Bu ‘DOĞRU’ çizgilerin tümü de D ‘DOĞRU’ çizgisi ile kesişir. Başka bir deyişle, küre yüzeyi üzerinde birbirine koşut iki ‘DOĞRU’ çizgi çizmek olanaksızdır. Tüm ‘DOĞRU’ çizgiler kesişir, birbirlerine koşut olmaları olanaksızdır, ve bu geodeziklerin, küre yüzeyindeki en kısa ya da sözde ‘DOĞRU’ çizgilerin mantığıdır.

‘DOĞRU’ları ‘EĞRİ’ olarak ve kürenin ‘DÜZLEM’ yüzeyini ‘KÜRESEL’ olarak gerçek ya da saltık karakterlerinde görürsek, herşey anlaşılırlık kazanır, ve herşey bir kez daha bütünüyle ussaldır. En kısa eğri çizginin (geodezik) davranışı bir doğru çizginin davranışı değildir. TÜM EKVATORLAR KESİŞİR. Ama bunu Euklides’in koşutluk konutlamasının çürütülüşü ya da geçersizliği olarak görmek için usu kapamak zorunludur.

Kendinde bütünüyle ussal olan küre geometrisi irrasyonalizm tarafından koşutluk konutlamasını dışlayan ‘non-Euklidean’ ‘geometriler’den yalnızca biri olarak görülür ve Riemann geometrisi adıyla da bilinir. Eğer küresel yüzey yerine hiperbolik bir yüzey alınırsak, ‘non-Euklidean’ tanımlar temelinde bu kez yüzey üzerinde sonsuz sayıda koşut ‘doğru’ çizgi çizmek olanaklıdır (Lobatchevski Geometrisi). Saltık/soyut uzaydaki saltık/soyut belirlenimleriyle bu iki geometri de ‘Euklides’ geometrisine, Geometrinin kendisine aittir. Ama irrasyonalizm doğal usun geometrik tanımlarını ve belitlerini reddedip karşıtlarını ileri sürer. Küre geometriyi düzlem geometrinin çürütülmesi olarak alır, ve uzay-zaman ‘süreklisi’ [ki göreci bilincin bu ‘kavramı’ yokettiği savında olduğunu unutmayalım] dediği fiziksel yapıntıyı geometrinin tözselleşmesi olarak kabul eder. Non-Euklidean
‘geometri’ler tam olarak bu parodi biçiminde öğretilir. Ussal küre geometrisinin usdışı non-Euklidean ‘geometri’ye nasıl dönüştürüldüğünü anlamak kesinlikle önemlidir. Örneğin The Structure of the Universe’de (O.U.P. 1978, s. 154) Jayant Narlikar non-Euklidean geometrinin bir uygulamasını verir (italikler sonradan):

“Dünyanın yüzeyi yassı/flat değildir. Dünyanın yüzeyinde sürünen yassı yaratıklar dünyanın yüzeyindeki geometrinin Euklides geometrisi olduğu vargısını çıkarmayacaklardır. Bunu görmek için, iyi bir yaklaşıklık olarak yüzeyin küresel olduğunu ve yassı bir yaratığın [yerküre üzerinde] A noktası ile belirtilen Kuzey Kutbundan yola çıkmak üzere üçgen bir yolcuğa başladığını varsayalım. Greenwich boylamı boyunca güneye doğru yola başlar ve B noktasında ekvatora ulaşır. Sonra sola döner ve ekvator boyunca doğru/straight bir yolda ilerleyerek Dünya çevresindeki uzaklığın bir çeyreği kadar gidip C noktasına varır. Sonra C’den geçen boylam boyunca sola döner ve A başlangıç noktasına ulaşır. Yolculuğuna başladığı yöne bakmak için yine sola dönmek zorunda olduğunu görür. Başka bir deyişle, bir Euklides üçgeninin üç açısının toplamının yalnızca 180° olması gerekirken, kendisi sola üç kez dönerek toplam 270° olan bir dönüş yapmıştır. Bu dönüşleri yapmış olması dışında, yassı yaratığımız doğru bir yoldan sapmamıştır; böylece doğru çizgilerden yapılan gerçek bir üçgen betimlememiş olmakla suçlanamaz.”

Burada ussal olanın tam olarak Orwell’i haklı çıkaran bir yolda nasıl bastırıldığını doğal bilincin kendisi de herşeye karşın dolaysızca algılar, 2 + 2 = 5 olmadığını herşeye karşın bilir, çünkü kendinde ussaldır. Ama usdışını doğrulamada ciddi bir güçlük yaşamaz, çünkü usunun yetkesine değil, usdışı yetkeye dayanmayı yeğler çünkü yetkedir. (Aslında bu son türde aritmetiksel uydurmaları geçerli gören bakış açıları da ‘geliştirilmiştir,’ ve nasıl ‘uslamlamalar’ kullanıldığını merak etsek de, çocuklaşmayı bu düzeye dek götürmenin burada hiçbir gereği yoktur).
Geometrinin ussal olması ölçüsünde, realiteye uygulanması, bilimlerde kullanılması realitenin kendisinin ussallığı/yasallığı varsayımı üzerine olanaklıdır. Ve özdeksel evrenin sonsuzluğu ve sürekliliği içermesi kavramı üzerine olanaklıdır. Ama usdışı bir ‘geometri’ yasal/ussal bir evren ile bağdaşmaz. Çılgın bir evren ile bağdaşır. Ve özdeksel evrenin ‘çılgın,’ ‘saçma,’ ‘usdışı’ olduğunu doğrulamak modern görecilik ve nice kuramları için bütünüyle ‘normal’dir.

Ama, herşeye karşın, usdışını görmede hiçbir güçlük yatmıyor olabilir. Belki de sorun özsel olarak tüm güçlük kavramlarla hokkabazlık yapma becerisini ciddiye almama kararını ilgilendirir. Ve bu usdışına uyarlanmış bilinç için bütünüyle ruhbilimsel bir sorun olur. Küresel ve hiperbolik yüzeylerde çizgilerin kendi özellikleri vardır, ve burada doğal us doğru değil ama eğri çizgilerle, daire ya da hiperbol yayları ile ilgilendiğini kolayca görür. Geometrinin belitleri kişinin dilediği gibi ve Hilbert’in sandığı gibi keyfi varsayımlar, rasgele seçilen önermeler değildir. Tersine, ussaldırlar ve ancak ussal oldukları ölçüde edimsel dünya ile, realite ile matematiğin ilişkisinin olanağını kabul ederler. Usdışı düşünce eğilimi tam bu ussallıkları yadsıyışında usdışıdır, ve usun kendisinin perspektifinden ele alınacak sorunlar yaratmaz. Yaratılan sorun tıpkı bu irrasyonalizmin sözde kavramlarını üretme yolu için vurgulandığı gibi bütünüyle ‘ruhbilimsel’dir. Ve bu nedenle yalnızca ‘ruhbilimsel’ çözüme açıktır. Mantığa kapalıdır.

BELİT ÜZERİNE EK

Leibniz Monadoloji’de, § 35, belitlerin ve konutlamaların tanıtlama gerektirmediğini yazar:

‘‘Kısaca, hiçbir tanımları verilemeyen yalın düşünceler vardır; ayrıca Belitler ve Konutlamalar, tek bir sözcükle Birincil İlkeler de vardır ki tanıtlanamazlar, ve aslında hiçbir tanıta gereksinmezler; bunlar Özdeş Önermelerdir ki karşıtları açık bir çelişki içerir.’’

Descartes ise, bilindiği gibi, ister belit ister kavram olsun insan bilincinde sorgusuzca gerçeklik sayılan herşeyi kuşku altına düşürür. Eş deyişle, tümü de aklanma, çıkarsama, tanıtlama ya da gerçekleme gereksinimi içinde dururlar. Onun kuşku yöntemini uygulayışında, belitlerin doğruluğu bile aldatıcı bir etmene bağlı olabilir. Dolayısıyla, felsefe söz konusu olduğunda, gerçeklik söz konusu olduğunda, hiçbirşey felsefi tanıtlamadan bağışık görülmemeli, herşey en son aklanışını usun kurgul yöntemi önünde kazanmalıdır. Görüş ayrılıkları gibi görülen sorun tanıtlama sözcüğüne verilen tanıma bağlıdır ve bu bağlamda çözülür.

Tanıtlama tasımlar zemininde uslamlamalar zinciri olarak anlaşıldığı sürece, hiç kuşkusuz belitler uslamlamaların vargıları değildirler. Bu anlamda Hegel’in kendisi Descartes’ın ‘Cogito ergo sum' anlatımının bir tasım olmadığını, dolaysız bir bilgi olduğunu belirtir. Gene de bu dolaysız bilginin, tasım olmayan ve bu anlamda tanıtlanmış olmayan bilginin gerçek olamayacağı demek değildir. Leibniz’in ‘‘hiçbir tanımları verilemeyen yalın düşünceler’’ dediği şeyler hiç kuşkusuz Kavramların kendileridir. Hegel’in örgütlediği bütün bir Mantık dizgesinin soyut Varlık kavramından Saltık İdeaya gelişimi, her biri yalın olarak salt kendisi olan kavramların gerçekte o denli de yalnızca ve yalnızca karşıtlarında ve böylece birliklerinde olmaları zemininde anlaşılan eytişimsel yapı sıradan tasımlar zemininde ilerleyen bir uslamlama süreci değildir. Ama bu mantıksal dizgenin bir tanıtlama yapısı olmadığını değil, tersine tanıtlamanın ideal uygulanışı olduğunu anlatır. Bilgide, gerçeklikte saltık olarak belirleyici olan şey mantıksal bağdır, diyalektiktir.

Öte yandan, tasım yapısında önermelerin yerine kavramları geçirerek kurgul yöntemin baştan sona bir tasımlar zinciri olduğunu, varolan herşeyin bir tasım olduğunu söyleyebiliriz.  Tüm bunları toparlamak için, tasım biçiminin bir tanıtlama aracı olarak kullanıldığı düzeye dek, tasımın kendisinin bir tanıtlamadan geçtiğini, bu biçimsel tanıtlama yönteminin kendisinin kavram mantığının bütün dizgesinde tanıtlanması gerektiğini söylemek yeterli olmalıdır. (Kavram, Yargı ve Tasım kavramlarının kendilerinin ve aralarındaki bağıntıların bilgisi bilimsel düşünmenin vazgeçmemesi gereken konulardır.)

1) Felsefede tanıtlamasız hiçbirşey geçerli değildir;
2) Bilimlerde tanıtlamasız belitler geçerlidir.

Gene de bilimlerde belitlere izin verilmesi belitlerin gerçeklikten yoksun keyfi önermeler oldukları anlamına gelmez.

Aristoteles’e göre geometrinin belitleri tanıtlanamaz ve tanıtlama gerektirmez, tersine kendileri tanıtlamanın başlangıç noktalarını verirler. Ama Aristoteles tanıtlama sözcüğünü kullanırken onunla anladığı şeyin ‘‘bilimsel bilgi üreten bir TASIM’’ olduğunu belirtir (İkinci Çözümlem, 2). Ve bir belitin bir tasımlama/uslamlama süreci olmadığı açıktır. Aristoteles geometrik yöntemin doğasını belirlerken, Platon’un Devlet, VI Kitaptaki çözümlemesini izler:

‘‘Geometri, aritmetik ve yakın bilimler’’ ‘‘kendilerinin ve başka herkesin bilmesi gereken, ve kendilerine ya da başkalarına herhangi bir ‘açıklamalarını’ vermeleri gerekmeyen varsayımları’’ ilkeleri olarak alırlar ‘‘ve sonunda vargılarına ulaşıncaya’’ dek uslamlamalarını sürdürürler. Burada ‘‘görülür biçimleri’’ kullansalar da, ‘‘onları değil ama andırımları oldukları ‘idealleri’ düşünürler; çizdikleri betileri değil, ama saltık kareyi ve saltık çapı vb.’’ düşünürler.

Yine Platon’un belirttiği gibi geometrinin alanı Usun değil ama Anlağın alanıdır, ve burada varsayımlara izin vardır. Aristoteles İkinci Çözümlem’de anlak bilimlerinin yöntemlerini tam ayrıntıda verir ve Euklides Öğeler’de Aristoteles’in saptadığı bu yöntemi uygular. Gerçekten de, tanıtlamanın tasım süreçlerini, doğal uslamlama aygıtını gerektirmesi ölçüsünde, geometrinin belitleri öylesine temel gerçekliklerdir ki, onları teoremleri tanıtlamada kullanılan uslamlama yöntemleri ile gerçeklemek olanaksız ve anlamsızdır. Nokta, çizgi, yüzey gibi yalın uzay belirlenimleri ancak anlamlarını belirtmek için tanımlanırlar, ama tanıtlamaları istenmez.

Geometri bu tanımlarla bütünüyle yetinebilir. Gene de mantıksal doğalarının aklanması gibi bir sorun vardır, ve örneğin Hume iki doğru çizgi birden çok noktada, aslında bir dilim boyunca kesişir dediği zaman, ya da Protagoras bir teğet bir eğriyi birden çok noktada keser dediği zaman, ya da Einstein ısıtılan bir fiziksel çubuk genleştiğinde düzlem ve doğruluk kavramları da yiter dediği zaman, tümü de geometrinin kavramlarının mantığını anlama konusunda ussal bir güçlük yaşandığını gösterirler. Bu düzeye dek, bu yalın uzaysal belirlenimler de mantıksal olarak aklanmalı, keyfi ya da görgül sayıltılar olmadıkları gösterilmeli, anlamları gibi varoluşlarının da ussal olduğu, ve bu nedenle keyfi olarak ortadan kaldırılamayacakları kabul edilmelidir.

Bilimin tüm kavramlar durumunda yerine getirmesi gereken yükümlülük onların çıkarsanmasıdır. Bu çıkarsama aynı zamanda varoluşlarının gerçeklenmesi, mantıksal zorunlukların gösterilmesi olduğu ölçüde, hiç kuşkusuz tasımlara dayalı tanıtlama ile bir ve aynı amacı, gerçekliği paylaşır. Ama burada, arı kavramın alanında, eytişimsel düşüncenin alanında tanıtlama tasımlar ya da doğal uslamlama süreçleri yoluyla gerçeklemeden bütünüyle başka birşeydir. Kavramın kendini eytişimsel doğasında gerçeklemesi, karşıtların birliği olarak kendini kendi iç deviminde açındırmasıdır. Bu süreçte tasımlardan yararlanmak bir yana, tersine tasımın, yargının, genel olarak önermenin kendisi kavramın kendi eytişiminin tanıtlanan verileri olarak görünürler.


Aziz Yardımlı / İdea Yayınevi / 2014