İdea Yayınevi / Bilimler ve Bilim Felsefesi
site haritası  
 

Matematik felsefesi
1) Platon'un Akademisi ve Geometri
2) İdealar, Matematiksel Nesneler
3) Matematiksel Bilginin Doğası
4) Matematik ve Mantık
5) Matematik Niceliğin Bilimidir
6) Mantık Kavramı
7) Matematik Felsefesinin Yeri
8) Mantık Üzerine Tasarımlar
9) Matematikte Tanıtlama
10) Matematik ve Mantık (Ya da: Matematik ve Simgesel Mantık)
11) Matematik ve Olgusallık
12) Sezgicilik
13) David Hilbert
 


Matematik Felsefesi — 1

PLATON'UN AKADEMİSİ VE GEOMETRİ


İskenderiyeli Johannes Philoponus Platon'dan on yüzyıl sonra yaşamıştır. Aynı sözlere VI. yüzyılda İskenderiyeli bir başka geç neoplatonik felsefeci ve Hıristiyan olan Elias tarafından da Aristoteles'in Analitikleri üzerine yorumunda değinilir (Cat., Comm. in Arist. Graeca, XVIII, pars 1, ed. A. Busse, Berlin 1900, p. 118, 18). Yine XII. yüzyılda bir Bizanslı yazar olan Joannes Tzetzes de aynı alıntıyı verir, Chiliades (VIII, 973) (2).

Alıntıların doğru olup olup olmadığı, Akademinin kapısını süsleyip süslemedikleri sorusunun önemi felsefenin bilimler ile, daha doğrusu görgül bilimler ile ilişkisinin doğasından kaynaklanır. Felsefe görgül bilimlerin bittiği yerde başlar. Geometriden Tarihe, görgül bilimler görgül yöntemler ile gelişir. Tümvarım, andırım, tanımlama, sınıflandırma, deneyim, gözlem tümü de doğal bilincin tanıtlama ve bilgi üretme aygıtları olarak tekil görüngülerin ötesine geçmeyi, görüngüler alanının ussal özünü saptamayı, kavramların bir düzenlemesini elde etmeyi amaçlar. Bunu yaparken görünürdeki ya da görüngüdeki kaosun gerçekte kozmoz olduğunu varsayar. Bu görgül temelli kavramsal yapılar kendilerini aklayamazlar. Çağdaş Bilim Felsefesinin varlık nedeni görgül bilimler payına bu kendine-yetersizliktir. "Bilim Felsefesi" çok anlamlı bir adlandırma değildir, ve hemen tikel bölümlere dağılır, her bir bilimin kendisinin özel bir felsefesi ortaya çıkar — matematik felsefesi, fizik felsefesi, yaşambilim felsefesi, tarih felsefesi gibi adlandırmaların yanında giderek "istatistik felsefesi," "mantık felsefesi" gibi başlıklar bile kendilerini gösterir.

Felsefe adının kendisi "bilgelik sevgisi" olarak anlaşıldığında açık bir gevşekliğe anlatım ve izin verir. Ama bilim gerçek kavramında alındığında bilgelik sevgisi olmaktan bütünüyle başka birşeydir. Doğal bilincin kavramsız felsefesini değersiz, yetersiz, geri bir kültür olarak gösterir. Bu sözde "bilgelik sevgisi" kültürü içinde serpilen felsefecilik felsefeyi bilimden ve bilgiden uzaklaştırır, kişisel-bireysel bir soruna indirger. Bulutlu bilinçlerin öznel görüşleri, geçicilikten ve uçuculuktan başka hiçbir anlamları olmayan nesnesiz düşünceler, kişisel kanılar, sanılar, eğilimler, giderek bilinçaltının dürtüsü ile devinen çağrışımcı uslamlamalar bilgelerin kalemlerinden ortalığa saçılır, ve ne kadar usdışı ve çirkin olurlarsa olsunlar kendileri ile aynı notaları çalan geniş sıradan bilinç alanlarında akrabalarını bulurlar. Bilgiyi ve bilimi isteyen us görecilik ile, olasılıkçılık ile, istatistik ile doyum bulmayı işlerin normal durumu olarak kabul etmeye başlar. Hermeneutik gibi, fenomenoloji gibi, görgücülük gibi açıkça bilgi olmadıklarını bildiren ve bilimin olanaksızlığında direten öznellikler felsefenin kendisini, bilimin ve bilginin kendisini karalamaya başlar, insanın saman ve küspe ile yetinmesi gerektiğini ileri sürerler. Bu felsefe kültürü gerçekte yalnızca ve yalnızca insanın usunun sapınçlarının neler olduğunu belgelemeye yarar, tıpkı kübizmin vb. insanın estetik duyarlığının nasıl duyarsızlaşabileceğini sergilemeye yaraması gibi. Bu banalite alanında ussallık özellikle dışlanır, ve onun yadsınması ile birlikte insanın değeri ve anlamı da silinir.

Platon'un felsefe için getirdiği koşul felsefenin kendisinin getirdiği koşuldur: Bilim insan özencinden saltık olarak özgürleşmelidir. Bu yapılmadığında, sağın kavram bağıntıları olması gereken uslamlamalar yerlerini çağrışımların dışsal bağıntılarına, dürtülerin güdümüne giren düşünce akışlarına bırakır. Böyle kurguların hiçbir nesneleri yoktur ve varlıklarını ancak geri bilinçlerin banalitesinde bulurlar.

Matematikçiler birbirlerine aykırı, tutarsız, giderek bütünüyle usdışı sayısız "felsefi" yöntem üzerine çalıştıklarına inansalar da, tümü de matematikçiler oldukları düzeye dek ussal olarak düşünürler.
Cantor bu olgunun uç örneğidir. Bütünüyle usdışı düşünceler taşımasına karşın, bunları ussallaştırarak çalıştı: Örneğin sonsuz dediği kümeleri gerçekte sonlu olarak aldı.

Tepe



Matematik Felsefesi — 2

İDEALAR, MATEMATİKSEL NESNELER


Matematiksel nesneler, sayılar, noktalar, çizgiler vb. duyusal değildir. Varlığı duyusallığa yükleyen görgücü bakış açısı matematiksel nesnelerin varlığını yadsımak zorundadır. Bu bakış açısı matematik ve realite arasında bir ilişkinin olmadığı sonucunu çıkarmak zorundadır. Eğer matematikte "mantıkçılık" bakış açısı matematiğin yalnızca "mantıksal" olduğunu söylemekle yetinirse ve realite ile ilişkisinin karakterini tanıtlamazsa, benzer olarak görgücü/kuşkucu bakış açısına düşmüş olur. Herşey bir yana, bilimlerde yalnızca "kabul etmek," "varsaymak," keyfi olarak doğrulamak ya da yadsımak geçersizdir. Nesnelliği duyusallık ile eşitleyen sıradan bilinç "matematiksel nesneler" anlatımının kendisi karşısında duraksayacaktır. Nesnelliğin duyusallık olduğu sanısı varlığı duyusallığın bir işlevi olarak gören görgücü bakış açısına akrabadır.

Tepe



Matematik Felsefesi — 3

MATEMATİKSEL BİLGİNİN DOĞASI


Matematiksel bilgi Nicelik kavramının işlevidir. Nicelik kavramsal olarak Niteliği kapsar ya da onu izler. Buna göre Nitelik ancak kendinde Niceliktir ve Nicelik kategorisinin altına düşmez. Birin ve Sonsuzun Nitelikler olmaları matematikteki yazgılarını belirler.

Matematiksel bilgi sınırlıdır, çünkü matematiksel kavramlar birincil olarak Nicelik kavramlarıdır: Birim, Miktar, Sayı, ve Sayının açınımları. Bir ya da Birim kavramı aynı zamanda süreklilik imler ve bunun olanağı Birin kendinde Çok olmasıdır: Birin sürekliliği onun süreksiz ya da kesikli olmasının işlevidir. Bu kavramlar düzleminde kalarak Doğa Bilimlerinin kavramlarını çıkarsamak geçersizdir. Nicelik kavramı nasıl çözümlenirse çözümlensin, ondan uzay, zaman, özdek kavramlarını çıkarsamak ancak imgelemin ve çağrışımın işi olabilir. Eğer Biri arı plenum olarak görürsek (örneğin Parmenides'in yaptığı gibi), burada da hiçbir boşluk, hiçbir vakum, hiçbir ayrılma ya da kesilme içermeyen arı süreklilik imlenir, ama plenumun kütle ya da özdek olarak düşünülmesi açıktır ki dışsal ya da tasarımsaldır. Parmenides'in Varlıktan plenum olarak söz etmesi ancak "Varlık = Özdek" denklemi zemininde olanaklıdır, ama açıktır ki Parmenides Varlığın Varlıktan başka birşey olduğunu söylemelidir çünkü başkası Birin Birliği ile tutarsızdır, onun çelişkili olduğunu imler. Oysa tüm Eleatik felsefenin başarmaya çalıştığı şey bu çelişkiyi yadsımak, yok saymaktır.

Geometri arı ya da saltık Uzayın bilimidir ve Uzay salt kavram olarak görüldüğünde dışsal olarak belirli Nicelikten daha çoğu değildir. Uzay kavramı bu reel niceliğin ilk belirlenimidir.

Tepe



Matematik Felsefesi — 4

MATEMATİK VE MANTIK


Matematiğin mantıksal yanı ancak görgücü bakış açısından problemlidir. Görgücülük bilgiyi duyusal kökenli yaptığı ve görgül kökenli tasarımlar ile çalıştığı zaman, mantığın kendisine yer bırakmaz. Görgücülük ve onun daha çağdaş biçimi olan Olguculuk bilgiyi bir duyusal-algı sorunu olarak gördüğü için "kavram" dediği şeyleri de izlenimlerden (örn. Hume), ve en sonunda duyumlardan (örn. Carnap) türettiği sanısı içindedir. Böyle ürettiği şeyler salt birer Gedankending, birer uydurmadır (ya da David Hume'un "faint ideas" dediği şeyler). Böyle sözde "bilimsel" temeller üzerine çalışan Olguculuk yalnızca matematiği değil, ama mantığı, giderek dilin kendisini bile tanınmayacak bir düzeye dek bozar, ve çağdaş bilim felsefeciliği bugün de önemli ölçüde böyle bir kavramsızlığın öznel denemecilik alanıdır.

Bertrand Russell 1903'te Principles of Mathematics'de matematik ve mantığın özdeş olduklarını ileri sürdü. "The fundamental thesis of the following pages, that mathematics and logic are identical, is one which I have never since seen any reason to modify." (The quotation is from the first page of Russell's introduction to the second (1938) edition.)

Simgesel Mantık Russell ve Whitehead tarafından matematiğin de "temeli" olarak kabul edilir (Principia).
PM, as it is often abbreviated, was an attempt to describe a set of axioms and inference rules insymbolic logic from which all mathematical truths could in principle be proven.

Bu saçmalık Wikipedia tarafından tutkulu bir proje olarak görülür:  "This ambitious project is of great importance in the history of mathematics and philosophy,[1] being one of the foremost products of the belief that such an undertaking may be achievable."

Gödel genellikle anlaşılmayan nedenlerle bu tutkulu projenin sonuçsuz kalmak zorunda olduğunu ileri sürdü.

Tepe



Matematik Felsefesi — 5

MATEMATİK NİCELİĞİN BİLİMİDİR


Yunanca μάθημα (mathema) sözcüğü “bilgi, inceleme, öğrenim" demektir. Sözel olarak, eski Yunanca'da μάθημα (máthēma "öğrenilen," "bilinen" demek iken, modern Yunanca'da yalnızca "ders" anlamına gelir.

Aristoteles Matematiği niceliğin incelemesi olarak tanımlar (Metafizik, Kitap Delta, 1020a7–14). Nicelik genellikle bileşen parçalara bölünebilir olan olarak kabul edilir.

Matematiğin niceliğin bilimi olması onu bütününde realitenin bilimi yapmaz. Varoluş nicelikten daha çoğudur. Uzaysal belirlenimleri ve sayıları kavramları anlatmak için kullanmayı istemek, tüm varoluşu nicelik belirlenimlerine indirgemeyi istemek, bu Pisagorcu nicel monizm şeylerin nitel belirlenimlerini gözardı etmektir. Matematik realite ile Ölçme kavramı düzleminde bağıntılıdır. Ama Ölçü nitel Niceliktir.

Nicelik sınırlı olarak yalnızca belli kavramlara değil ama sınırsız olarak tüm kavramlara katıldığı için, ilkin matematiğin tüm bilimlerin temeli, onların ortak dili vb. olduğu gibi tasarımlar doğar. Ama uzay, zaman, özdek, kuvvet vb. nicel olmanın dışında bir de kendileridir, nicelikten daha ötesi olan nitel belirlenimlerdir.

Nicelik ve Özdek üzerine Leibniz: (Leibniz’in ilk Söyleminden saklanan yedi Önermeden ikincisi, şöyledir (Yapıtlarının 1’inci Bölümünün son sayfası):
“Non omnino improbabile est, materiam et quantitatem esse realiter idem.”
::
“Özdek ve Niceliğin gerçekte aynı olmaları hiç de olasılık dışı değildir.”
— Bu Söylem — De Principio Individui, 1663 — ilkin 1837’de tam olarak yayımlandı. Leibniz, Die philosophischen Schriften, yay. haz. C. J. Gerhardt, Berlin 1875vs., Cilt 4, s. 15s.; 2. Corollarium, s. 26.]

Tepe



Matematik Felsefesi — 6

MANTIK KAVRAMI


Mantık düşüncenin, öznel olduğu denli de nesnel olan kavramın, ya da arı düşünce öğesindeki İdeanın bilimidir, çünkü İdea nesnel olduğu denli de özneldir. Mantığı bir başka bilime, örneğin Matematiğe benzetmek (örn. aşağıda SHAPIRO) bu iki bilimin de kavramlarının bilgisizliğine bağlıdır.

Mantık tüm bilimlerin, eş deyişle bilinecek herşeyin, tüm Doğa ve Tin alanlarının kavramlarını arılıkları içinde kapsar (Doğa alanı Mekanik, Kimya ve Ereksellik olarak, Tin alanı Yaşam, Bilgi ve Saltık İdea olarak).

Tepe



Matematik Felsefesi — 7

MATEMATİK FELSEFESİNİN YERİ


"Evren dili öğrenilinceye ve onun yazıldığı harfler tanıyıncaya dek okunamaz. Evren matematiğin dilinde yazılmıştır, ve harfler üçgenler, daireler ve başka geometrik şekillerdir ki, onlar olmaksızın tek bir sözcüğü kavramak insan açısından olanaklı değildir. Bunlar olmadığında, kişi karanlık bir labirentte dolanıp durur." "The universe cannot be read until we have learned the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometrical figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word. Without these, one is wandering about in a dark labyrinth."
Galileo Galilei (1564–1642)
Galileo'nun sözleri doğru ve eksiktir. Evren niceliğin dilinde değil, kavramın dilinde yazılıdır. Kavramlar olmaksızın nicelik ile yalnızca sayı okunabilir. Nicelik mantıksaldır. Realitede nicelik her zaman nicelik ile birliktedir.


Her belitsel bilim durumunda olduğu gibi, matematik de kavramsal problemlerini kendi belitsel yöntemi ile çözemez ve bilinçsiz işlemlerinin ötesine, kendi doğal mantığının ötesine, kavram mantığına doğru itilir. Sayı kavramı matematik felsefesinin bugün de çözmeye çalıştığı başlıca problemdir. Çözüm girişimlerinin kendilerinin mantıksız olmaları onları sonuçsuz bırakır.

Matematiğin Niceliğin bilimi olması —
1) Niceliğin arı mantıksal dizgesel bütünün tikel bir kıpısı olması ölçüsünde Matematiği kavramsal eriminde sınırlar.
2) Nicelik kavramının dizgesel konumu bu kavramı onu izleyen tüm kavramların bileşeni ya da kıpısı yapar. Nicelik göreli olarak öğesel bir kavramdır.
3) Matematik felsefesinde görülen mantıkçılık, biçimcilik, sezgicilik akımları Nicelik kavramının kavram olması olgusu tarafından matematiğin belirlenimi ile ilgisiz keyfilikler olarak görünür.

Matematiğin mantıksal olması onu evrensellik, zorunluk, önsellik gibi tanıdık belirlenimler altına getirir ve matematik felsefeciliğinin alışıldık sorusu mantıksal bir matematiğin realitenin olumsallıkları ile geçimsizliği durumunda matematiğin anlamının ve değerinin ne olacağıdır. Bu otomatik felsefecilik matematiksel kavramların ilgili olduğu doğal olgusallık kavramları konusunda ilgisiz ve bilgisiz olduğu için, problemin formülasyonunu doğru yapamaz. Tüm Doğa alanının mantıksal olarak ön kavramları olarak Uzay, Zaman ve Özdek kavramları nicelik belirlenimini bir bakıma tözleri olarak taşıyan ve onu tüm daha öte ölçü belirlenimlerine aktaran kavramlardır.

Kavramın Realite ile ilişkisi "öznel bilincin tasarımlarının fiziksel dünya ile ilişkisi" biçiminde görüldüğünde düalizmi yenmek olanaksızdır. Kavramın nesnelliği görgücü-olgucu matematik felsefeciliği için bir tabudur, ve gene de bu felsefecilik alanında kendini tikel ve keyfi olarak seçilen "realizm" kavramı ile anlatan akım matematiksel nesnelere bir tür ontolojik konum yüklemeye çalışır. Ama bu yükleme salt bir yeğleme sorunudur ve kavramın kendisi tarafından belirlenmediği için güvenilirlik kazanamaz. Gödel ve Frege matematiksel nesnelerin nesnelliğini ya da realitesini kabul eder, ama bu kabullenim yalnızca belitsel olarak, keyfi olarak görünür (örneğin Frege'nin "Alman İmparatorluğunun üyeleri" ya da "Kraliyet Arabasını çeken dört at" gibi sözde "kavramlarını" dikkate alırsak kavram ile anladığı şeyin kavram olmadığını görürüz).

Sezgicilik matematiksel nesnelerin yalnızca insan düşüncesinin yaratıları ve öznel olduğunu ileri sürmeyi yeğler. Varoluşları ancak düşünce tarafından belirlendikleri sürece kabul edilir (Heyting [1931]: 53).

Öte yandan matematiği simgeler ile oyanan anlamsız bir oyun olarak gören felsefeciler vardır (formalizm).

Matematiksel "nesnelerin" yalnızca insan bilincindeki düşünceler değil ama nesnel düşünce-belirlenimleri olarak kabul edilmesi bir yandan bu "nesnelerin" insan bilincindeki tasarımlar ile ilişkisi, öte yandan bu "nesnelerin" reel nesneler, uzay, zaman ve özdek ile ilişkisi gibi ikili bir problem yaratır.

Tepe



Matematik Felsefesi — 8

MANTIK ÜZERİNE TASARIMLAR


STEWART SHAPIRO (ED). THE OXFORD HANDBOOK OF PHILOSOPHY OF MATHEMATICS AND LOGIC (2005; s. 4)

"In these respects, at least, logic is like mathematics. At least some of the basic
principles of logic are, or seem to be, absolutely necessary and a priori knowable.
If one doubts the basic principles of logic, then, perhaps by definition, she cannot
go on to think coherently at all. Prima facie, to think coherently just is to think
logically.

"Like mathematics, logic has also been a central focus of philosophy, almost
from the very beginning. Aristotle is still listed among the four or five most influential
logicians ever, and logic received attention throughout the ancient and
medieval intellectual worlds. Today, of course, logic is a thriving branch of both
mathematics and philosophy."

"Matematik" burada bütünüyle gevşek bir sözcük değerindedir ve mantığın matematiğe benzetilmesi salt rhetoriktir. Mantığın "temel ilkeleri" dahaçok Mao Zedung'un söylemini anımsatır. Bunlardan yalnızca bir bölümünün saltık olarak zorunlu olması bir başka bölümünün saltık olarak zorunlu olmaması demektir, ve bu bölümde nelerin bulunduğunu çok merak ediyoruz. Mantıksallık uylaşımın ya da keyfiliğin karşıtı olduğu düzeye dek zorunluk imler. Ya da, evrik olarak, özgürlük imler çünkü kavramın devimi eğer bir istenci olsaydı yapacak olduğu şeydir. Zorunluk sözcüğü mantıksalı tanımlamak için ancak kabaca uygundur. Mantıksal olarak düşünmek yalnızca "coherently" ya da "tutarlı olarak" düşünmek değildir.

Descartes: "By intuition I understand, not the fluctuating testimony of the senses, nor the misleading judgment that proceeds from the blundering constructions of imagination, but the conception which an unclouded and attentive mind gives us so readily and distinctly that we are wholly freed from doubt about that which is understood. ... intuition is the undoubting conception of an unclouded (purae) and attentive mind. ..." [Descartes Kurallar (Kural III).]

Locke (1632–1704) in his Essay Concerning Human Understanding also emphasized the immediacy of intuition, as well its clarity and certainty. . . . "if we ... reflect on our own ways of thinking, we will find, that sometimes the mind perceives the agreement or disagreement of two ideas immediately by themselves, without the intervention of any other: and this I think we may call intuitive knowledge. ... this kind of knowledge is the clearest and most certain that human frailty is capable of. ... [it] is irresistible, and, like bright sunshine." [Locke 1689], vol. II, pp. 176–177.]

Tepe



Matematik Felsefesi — 9

MATEMATİKTE TANITLAMA


Tanıtlama tüm bilginin özsel problemidir çünkü bilgiyi bilgi yapan dolaylılıktır. Tanıtlama bilginin kendisine dışsal bir aygıt olamaz. Dolayısıyla bilgi kendi kendisini aklamalıdır.

Tanıtlama gerçek bilgiyi, bilgi kavramına uygun bilgiyi amaçlar. Tanıtlamanın duyusal olarak temellendirilmesi isteğinin kendisi paradoksaldir çünkü tanıtlama gereksinimini yaratan etmen tasarımın görgül ve en sonunda duyusal bileşenidir. Duyulara ontolojik bir rol yüklemek, onları varlığın ölçütü ya da doğrulayıcısı olarak görmek duyulara düşünme işlevi gibi birşey yüklemeye benzer. Duyular duyumsar, düşünmez. Viyana Çevresinin mantıksal pozitivizmi duyuların öznelliğini bilimin güvencesi olarak görür.

Aristoteles için "bir şeyin koşulsuz bilimsel bilgisi olgunun bağımlı olduğu nedeni olgunun nedeni olarak bilmek, ve dahası, olgunun olduğundan başka türlü olamayacağını bilmektir (bu yol sofistliğe özgü raslantısal bilme yoluna karşıttır)." (Analitik Posterior, I, 2 (71b9–11).)

Platon bir nesnenin bilinebilir olması için ilksiz-sonsuz ve değişmez olması gerektiğini kabul etti. Bilgi onun için özün düşünülmesidir, türeyişin değil (526e). Özel olarak geometrik bilgi "her zaman olanın bilgisidir, kimi zaman ortaya çıkan ve yitip gidenin değil. ... Geometri sonsuza dek varolanın bilgisidir." (527b).

Matematikte tanıtlama aritmetiksel bir önermenin ya da geometrik bir teoremin kendiliğinden-açık oldukları kabul edilen belitlere dayandırılması olarak görülür. Belitlerin kendilerinin tanıtlama gereksiniminde oldukları olgusu gözardı edilir, çünkü sıradan bilincin ya da anlağın bu tanıtlamayı yapacak aygıtları yoktur. Çıkarsama ya da tümdengelim denilen süreçler sağınlıktan yoksundur ve geçerli olup olmadıkları kararı doğal bilincin gevşekliğine bırakılır. Dahası, doğal dil tüm alışkısal yapısı ile böyle tanıtlama işlemlerinin ortamıdır.

Bir kavramın doğru olmasından söz edemeyiz. Doğal bilinçte bir önerme doğru ya da yanlış olabilir, ve bunu saptamak doğal bilincin bilinçsiz ve keyfi işlemlerine bırakılır.

Tanıtlama sürecinin tüm öğelerinin gerçek olması gerekir, doğru olması değil. Tanıtlamanın kavram bağıntılarını gerektirmesi "bağıntı" kavramının kendisinin bilgisini gerektirir. Bağıntı mantıksal olmalıdır. Bir kavram yalıtılmış olarak, salt kendisi olarak, bağıntısız olarak alındığında analitik bir soyutlamadır. Belirlenimsizdir ve dolayısıyla yoktur. Gerçekte yalıtılmış kavram kendinde bağıntıdır, çünkü belirlidir, ve salt "kavram" belirliliğinde alındığında bile kendisi olmayan ile bağıntıdır, onunla saltık olarak birlik içindedir. Kavramın olumsuzu olarak "kavram-olmayan" ilkin Varlık olarak düşünülebilir. Kavram ve Varlığın birliği sağındır, birinden ötekine geçiş ya da birinden ötekinin çıkarsaması keyfi değil ama zorunlu ve olanaklıdır. Bu diyalektik bağıntının kendisi bağıntılı olanların birliğinde yeni bir mantıksal geçiş yapar.

Bu kavramsal bağıntının analitik mi yoksa sentetik mi olduğu sorusu analitik ve sentetik kavramlarının kendilerinin doğası tarafından yanıtlanır. Sentetik bağıntı ya da bireşim analitik ya da yalıtılmış olanların birliğidir. Analitik olan doğal dilde sentezin dışında da kendi başına durabileni anlatır. Ve sentez böylece birlikleri zorunlu olanların değil ama dışsal olanların birliğidir. Sentezin bu dışsallığa izin vermesi onu mantıksal bir yöntem terimi olarak kullanmayı geçersiz kılar. Matematiksel tanıtlamaların sentetik olduğu görüşü matematiksel tanıtlamanın doğasına ilgisizdir.

Tanıtlamanın mantıksallığı kavram bağıntılarının anlatımıdır. Bu düzeye dek tanıtlamasız belitlerden tanıtlama hiçbir biçimde sağın değildir, çünkü belitlerin bireşimi, belitlerden çıkarsama denilen işlemler doğal bilincin işlemleridir ve kavram bilincinden yoksundur. Matematiksel simgeciliğin kendisi kavramsal bağıntıları anlattığı için aynı kavramsal sağınlık karakterini taşımalıdır. Simge kavramı doğru olarak anlattığı ölçüde simgedir. Bu nedenle simgesel işlemlerin yanlışlığı simgelerin yanlışlığı değil ama kavramların kavranmamasına bağlı yanlışlıktır.

Tepe



Matematik Felsefesi — 10

MATEMATİK VE MANTIK (DAHA DOĞRUSU: MATEMATİK VE "SİMGESEL" MANTIK)


Matematiğin mantıksal yanı ancak görgücü bakış açısından problemlidir. Görgücülük bilgiyi duyusal kökenli yapmakla mantığın kendisine yer bırakmaz. Görgücülük ve onun daha çağdaş biçimi olan Olguculuk bilgiyi bir duyusal-algı sorunu olarak gördüğü için "kavram" dediği şeyleri de izlenimlerden (örn. Hume), ve en sonunda duyumlardan (örn. Carnap) türettiği sanısı içindedir. Böyle ürettiği şeyler salt birer Gedankending, birer uydurmadır (ya da David Hume'un "faint ideas" dediği şeyler). Böyle sözde "bilimsel" temeller üzerinde çalışan Olguculuk yalnızca matematiği değil, ama mantığı, giderek dilin kendisini bile tanınmayacak bir düzeye dek çarpıtır, ve çağdaş bilim felsefeciliği bugün de önemli ölçüde böyle kavramsızlık tarafından bozulur.

Bertrand Russell 1903'te Principles of Mathematics'de matematik ve mantığın özdeş olduklarını ileri sürdü. "İzleyen sayfaların temel savı matematiğin ve mantığın özdeş oldukları savıdır ve hiçbir zaman bunu o günden bu yana değiştirmek için bir neden görmedim" :: "The fundamental thesis of the following pages, that mathematics and logic are identical, is one which I have never since seen any reason to modify." (The quotation is from the first page of Russell's introduction to the second (1938) edition.) Problem bu özdeşlikte Russell'ın mantık ile anladığı şeyin "simgesel mantık" olmasıdır. Ama özdeşlik kavramının kendisinin kullanımı biraz bulanıktır. Özdeş olsalar da, bu mantık, yani "simgesel" mantık aynı zamanda Russell ve Whitehead tarafından matematiğin "temeli" olarak da kabul edilir (Principia):
PM, as it is often abbreviated, was an attempt to describe a set of axioms and inference rules insymbolic logic from which all mathematical truths could in principle be proven.

Bu saçmalık Wikipedia tarafından hırslı bir proje olarak görülür:  "This ambitious project is of great importance in the history of mathematics and philosophy,[1] being one of the foremost products of the belief that such an undertaking may be achievable."

Gödel genellikle anlaşılmayan nedenlerle bu hırslı projenin sonuçsuz kalmak zorunda olduğunu ileri sürdü.

Tepe



Matematik Felsefesi — 11

MATEMATİK VE OLGUSALLIK


Mantık düşüncenin, öznel olduğu denli de nesnel olan kavramın, ya da arı düşünce öğesindeki İdeanın bilimidir, çünkü İdea nesnel olduğu denli de özneldir. Mantığı bir başka bilime, örneğin Matematiğe benzetmek (örn. aşağıda SHAPIRO) bu iki bilimin de kavramlarının bilgisizliğine bağlıdır. Mantık tüm bilimlerin, eş deyişle bilinecek herşeyin, tüm Doğa ve Tin alanlarının kavramlarını arılıkları içinde kapsar (Doğa alanı Mekanik, Kimya ve Ereksellik olarak, Tin alanı Yaşam, Bilgi ve Saltık İdea olarak).

Niceliğin bilimi olarak Matematiğin özdeksel evrene uygulanabilmesi evrenin kendisinin belirlenimlerinde düzenli ya da ussal olmasını gerektirir. Ussal matematik ussal Kozmoz için olanaklıdır. Kaos durumunda matematik bütünüyle biçimsel, realiteye bütünüyle ilgisiz olacaktır. Bir ışık dalgasına kalkülüsün fonksiyonlarının uygulanabilmesi fiziksel/görgül dalganın matematiksel sağınlık ve yalınlık ile davranmasını gerektirir. Havaya fırlatılan bir cismin deviminde gösterdiği hız değişimlerin kurallı, düzenli olmasını gerektirir. Kaotik değişim ivme kavramını ve realitesini olanaksız kılacaktır. Galileo hız ve ivme deneylerini yaparken özdeksel doğanın bu ussallığını varsaydı. Mekanik bilimi, özdeğin devim ve değişiminin bilimi olarak, ussal bir özdeksel evreni gerektirir. Ve doğal us doğaya onu bilmek için yaklaşırken bu gerektirimin karşılandığını, doğanın fenomenlerinin ussal bir özün anlatımları olduğunu varsayar. Özdeğin kütle olarak atomik ve galaktik ölçekte davranışı özsel olarak nicelik olmasından gelir: Süreklilik ve Kesiklilik kıpıları niceliğin olduğu denli uzay ve zamanın ve özdeğin de kıpıları olmalıdır. Frege'nin aktardığına göre, “Cantor … matematik bir deneyim-bilimidir der. Sayılar ancak nesnelerden soyutlama yoluyla ortaya çıkar”  (§ 21).

Matematiksel bağıntılar doğrulamalarını kendi içlerinde kazanırlar. Dışsal görgül doğa tarafından doğrulanmaları gerçekte bu doğanın kendisinin kavramsal yapısı nedeniyle eşit ölçüde içsel doğrulamadır. Matematikte görgül doğrulama olması gereken şey, örneğin hava ve sıvı dinamiği, katıların mekaniği gibi alanlarında yapılan "deneyler" nicelik kavramının bağıntılarının aklanması amaçlayamaz ve deneycilerin kendilerine ait olabilecek kavramsal hataların saptanmasını ilgilendirir. Arı matematik denilen şey realitenin "arı" olmadığı gibi bir önyargıyı getirir, sanki fiziksel dünya usdışı davranışa açıkmış gibi. Görgül doğrulama yaygın olarak birinin kendi kafasında ürettiği "kuramın" bir sağlamasıdır. Olasılık matematiği realitenin şu ya da bu oranda kaotik olduğunu değil, ama realiteye sağın olarak uygun düşmeyen kuramların realiteye göreli olarak ne oranda karşılık düştüklerini saptamaya çalışır. İstatistiğin önemi pragmatiktir. (Bayes kuramı koşullu olasılıkları hesaplamada kullanılır.)

Elektromanyetik evren görüşü ya da kuramları ve yerçekimi kuramları arasındaki bağıntı
Yerçekimi kuvveti ve elektromanyetik kuvvetin (ve ayrıca iki daha öte kuvvetin) konutlanması birbirinden ayrı kuvvet kavramlarının olduğu gibi görüşü besler, ve bu görüş yerçekimini ve elektromanyetik kuvveti bağdaştıramayan sözde standard model tarafından daha öte pekiştirilir.

Tepe



Matematik Felsefesi — 12

MATEMATİKTE SEZGİCİLİK


"Felsefe kendini yalnızca evrensel kavramlara sınırlarken, matematik ise salt kavramlar yoluyla hiçbirşeye ulaşamaz, tersine hemen sezgiye koşarak orada kavramları in concreto irdeler; ve gene de görgül olarak değil, ama yalnızca a priori betimlediği, e.d. yapılaştırmış olduğu bir sezgide — bir sezgi ki orada yapılaştırmanın evrensel koşullarından doğan herşey yapılaştırılan kavramın nesnesi için de evrensel olarak geçerli olmalıdır."
— Kant, Arı Usun Eleştirisi, A716/B744.

"Arı düşüncenin, duyular yoluyla ya da giderek bir sezgi yoluyla a priori verilen hiçbir içeriğe bakılmaksızın, nasıl yalnızca kendi yapısından doğan içerikten ilk bakışta ancak bir sezgi temelinde olanaklı olarak görünen yargıları ortaya çıkardığını görürüz. Bu bir çocuğun bilincine bir hiçlik olarak görünen havayı damlalar oluşturan görülebilir bir sıvıya dönüştüren yoğunlaşma ile karşılaştırılabilir. Aşağıda geliştirilen ... önermeler genellikte herhangi bir sezgiden türetilebilecek tüm genellikleri çok çok aşar."
— Frege, Begriffsschrift § 23.

Tepe


Matematik Felsefesi — 12B

MATEMATİKTE MANTIKÇILIK


"Felsefe kendini yalnızca evrensel kavramlara sınırlarken, matematik ise salt kavramlar yoluyla hiçbirşeye ulaşamaz, tersine hemen sezgiye koşarak orada kavramları in concreto irdeler; ve gene de görgül olarak değil, ama yalnızca a priori betimlediği, e.d. yapılaştırmış olduğu bir sezgide — bir sezgi ki orada yapılaştırmanın evrensel koşullarından doğan herşey yapılaştırılan kavramın nesnesi için de evrensel olarak geçerli olmalıdır."
— Kant, Arı Usun Eleştirisi, A716/B744.

"Arı düşüncenin, duyular yoluyla ya da giderek bir sezgi yoluyla a priori verilen hiçbir içeriğe bakılmaksızın, nasıl yalnızca kendi yapısından doğan içerikten ilk bakışta ancak bir sezgi temelinde olanaklı olarak görünen yargıları ortaya çıkardığını görürüz. Bu bir çocuğun bilincine bir hiçlik olarak görünen havayı damlalar oluşturan görülebilir bir sıvıya dönüştüren yoğunlaşma ile karşılaştırılabilir. Aşağıda geliştirilen ... önermeler genellikte herhangi bir sezgiden türetilebilecek tüm genellikleri çok çok aşar."
— Frege, Begriffsschrift § 23.

Bir bilimi kapsadığı alt dallardan birine benzetmek başarısını dizgesizliğe ve yöntemsizliğe borçlu olan bir tutumdur.

STEWART SHAPIRO (ED). THE OXFORD HANDBOOK OF PHILOSOPHY OF MATHEMATICS AND LOGIC (2005; s. 4)  
"In these respects, at least, logic is like mathematics. At least some of the basic principles of logic are, or seem to be, absolutely necessary and a priori knowable. If one doubts the basic principles of logic, then, perhaps by definition, she cannot go on to think coherently at all. Prima facie, to think coherently just is to think logically.
 

Mantığın temel ilkelerinin neler olduğunu söyleme gereğini bile duymayan Shapiro'dan hiç olmazsa "zorunlu olan kimi temel ilkelerin" neler olduğunu duymayı isterdik. Ayrıca bu temel ilkelerin "temel olmayan" ilkelerden ayrımını da merak etmemek olanaksızdır. Ve biri "mantığın temel ilkelerinden" söz etmeye başladığı zaman, mantığa temel olacak bu "daha derin" bilimin hiç olmazsa adını vermesini isteme hakkımız vardır. Mantığın en öğesel kavramından bile habersiz olan mantıkçılardan mantığın ne olduğunu öğrenen bir kültürün ciddi bir toparlanma gereksinimi içinde olduğunu düşünmek mantıksız değildir. Shapiro mantığın "temelleri" gibi birşeyden söz ederken bu temellerin dolaysız olduğunu kabul ediyorsa, bunları saltık ilkler olarak kabul ediyorsa, bu

 
"Like mathematics, logic has also been a central focus of philosophy, almost from the very beginning. Aristotle is still listed among the four or five most influential logicians ever, and logic received attention throughout the ancient and medieval intellectual worlds. Today, of course, logic is a thriving branch of both mathematics and philosophy."
 

Mantığın "matematiğin" bir dalı olduğu söylendiği zaman burada mantıktan başka bişeyin, örneğin "simgesel mantık" denilen bir doğal mantık alanının denmek istendiğini düşünmeliyiz. Simgesel mantık ise "mantıksal" olmaktan henüz öylesine uzaktır ki, olağan işlemlerinin bile bilincinden yoksundur.
 


Sentetik ve Analitik Problemi ve Mantıkçılık.
Matematiğin mantıksal olarak temellendirildiğini düşünmek ve sonra matematiksel önermelerin sentetik mi yoksa analitik mi olduğu tartışmak modern matematik felsefeciliğinde görülen tansıklardan bir başkasıdır. Sentetik ve analitik terimlerinin mantıksal olduğunu kabul etmek için mantığın olumsal olduğunu kabul etmek gerekir, çünkü sentez ve analiz hiçbir biçimde zorunluk imlemez ve mantık dediğimiz şeyi hiç olmazsa olumsallıktan, keyfilikten, raslantıdan bağışık tutmak gerekir. Kant matematiğin sentetik olduğunu söylerken sezgi dediği enteresan yetinin işe karışması gerektiğini demek ister. Onun için aritmetikçinin parmaklarını sayması, ya da bir geometrik şeklin çizilmesi sezgi edimleri ya da en azından herhangi bir belirsiz yolda sezgi ile bağıntılı edimlerdir. Geometrinin uzayın niceliği ile ilgili olduğunu dikkate aldığımız zaman "matematik arı mantıksaldır" gibi bir önermenin düşüncesiz olduğunu görürüz. Ama mantığın ötesine, uzaysalın alanına geçen geometrinin mantığı dışladığını ya da mantıksal olmadığını düşünmek yine dizgesiz ve kavramsız düşünmenin bir tuhaflığıdır.

Tepe


Matematik Felsefesi — 13

DAVID HILBERT


HILBERT:
" Geometry is the science that deals with the properties of space. It differs essentially from
pure mathematical domains such as the theory of numbers, algebra, or the theory of functions.
The results of the latter are obtained through pure thinking... The situation is completely
different in the case of geometry. I can never penetrate the properties of space by
pure reflection, much as I can never recognize the basic laws of mechanics, the law of
gravitation or any other physical law in this way. Space is not a product of my reflections.
Rather, it is given to me through the senses. I thus need my senses in order to fathom its
properties. I need intuition and experiment, just as I need them in order to figure out
physical laws, where also matter is added as given through the senses."
(The German original is quoted in (Toepell 1986, 21). Similar testimonies can be found in
many other manuscripts of Hilbert’s lectures. Cf., e.g., (Toepell 1986, 58).)


Geometri salt nicelik kavramı içerisinde işleyen Aritmetikten ayrı olarak Uzay kavramını kapsar. Hilbert "uzay duyular yoluyla verilir" der. Bu görüş kavramları deneyimden türeten görgücü bakış açısını anımsatır. Ama Hilbert bu kavramsal irdelemelere girmeyecektir. Her nasılsa "duyu" ve "uzay" kavramları arasında bir ilişkinin olduğu inancı içindedir. Öte yandan Kant'ta bile uzayın a priori ve biçim olduğu gibi daha iyi görüşler buluruz. Ona göre uzay (ve zaman) anlak tarafından deneyime verilen biçimlerdir ve duyular yoluyla alınması gibi bir tasarım geçersizdir.

David Hume (Treatise): “İlk uzay ve uzam kavramı yalnızca görme ve dokunma duyularından türer; ne de renkli ya da dokunulabilir olandan başka, parçaları o düşünceyi iletecek bir yolda düzenlenmiş herhangi bir şey vardır.” :: “The first notion of space and extension is deriv’d solely from the senses of sight and feeling; nor is there any thing, but what is colour’d or tangible, that has parts dispos’d after such a manner, as to convey that idea.”

GEOMETRİ VE SÜREKLİLİK
[Blumenthal'e göre Hilbert'in ünlü bildirimi:] "It must be possible to replace “point, line, and plane” with “table, chair, and beer mug” without thereby changing the validity of the theorems of geometry" (Blumenthal 1935, 402–403).

Burada sorun süreklilik kavramı ile ilgilidir. Sonsuz küçüklük kavramını ortadan kaldırabilmek için sürekliliğin olanağı yadsınmalıdır, çünkü eğer süreklilik kavramı kabul edilirse atomlar vb. bölünebilir olacak ve sonsuz-küçüklük kavramının yarattığı çelişki giderilemeyecektir.

Hilbert şöyle yazar:
"the axioms of geometry express observations of facts of experience, which are so simple that they need no additional confirmation by physicists in the laboratory."
(From his correspondence with Felix Klein (1849–1925),



David Hilbert / Sonsuz Üzerine / On the Infinite (1925)

... matematikte kullanıldığı biçimiyle sonsuz kavramının anlamı hiçbir zaman tam olarak durulaştırılmamıştır ...

Tıpkı sonsuz küçüklük kalkülüsünün sınır süreçlerinde sonsuz büyük ve sonsuz küçük anlamında sonsuzun yalnızca bir eğretileme olarak çıkmış olması gibi, onun tümdengelimli yöntemlerde kullanımını imleyen sonsuz bir büyüklük anlamında sonsuzun bir yanılsama olduğunu da anlamalıyız.

... başka yerlerde olduğu gibi matematikte de başarı en yüksek mahkemedir ki kararlarına herkes boyun eğer.

Buna göre giderek modern bilimin eğilimini sonsuz küçükten kurtulma olarak bile yorumlayabiliriz.

Geçtiğimiz yüzyılın sonunda ilk bakışta çok daha tuhaf görünen elektrik atomizmi ortaya çıktı. O güne dek bir sıvı olarak düşünülmüş ve sürekli etkin bir etmenin modeli olarak görülmüş olan elektriğin o zaman pozitif ve negatif elektronlardan yapıldığı gösterildi.

sonsuz ölçüde küçük olanı olgusallaştırmak için gerekli olan bölünebilirlik türünü kabul eden türdeş bir süreklilik [continuum] olgusallıkta hiçbir yerde bulunmaz. Bir süreklinin sonsuz bölünebilirliği yalnızca düşüncede varolan bir işlemdir.

Euklides geometrisi zorunlu olarak uzayın sonsuz olduğu konutlamasına götürür. Ama Euklides geometrisinin gerçekten de tutarlı bir kavramsal dizge olmasına karşın, bundan Euklides geometrisinin olgusallıkta edimsel olarak geçerli olduğu sonucu çıkmaz. Uzayın Euklides geometrisine uygun olup olmadığı ancak gözlem ve deney yoluyla belirlenebilir.

Einstein Euklides geometrisinin terk edilmesi gerektiğini göstermiştir. Einstein kendi yerçekimi kuramının temelinde, evrenbilimsel soruları ele alır ve sonlu bir evrenin olanaklı olduğunu gösterir.


Tepe


Matematik Felsefesi — 14

MANTIK ÜZERİNE TASARIMLAR


S.

Tepe



Aziz Yardımlı / İdea Yayınevi / 2014